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一、三角形全等的基础认知
（一）全等形与全等三角形的定义
1. 全等形
能够完全重合的两个图形叫做全等形。想象一下，你用两张同样大小的正方形卡纸，把它们精准地叠在一起，没有任何缝隙、也没有重叠部分，这两张正方形卡纸就是全等形。再比如，两个形状、大小完全一致的圆形徽章，它们也是全等形。全等形的核心特征就是形状和大小都完全相同，这是判断两个图形是否为全等形的 “金标准” 。
2. 全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。当把两个全等三角形重合时，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。举个例子，有 △ABC\triangle ABC△ABC 和 △DEF\triangle DEF△DEF，当它们完美重合，点 AAA 和点 DDD 重合，点 BBB 与点 EEE 重合，点 CCC 与点 FFF 重合，那么 AAA 与 DDD 是对应定点，ABABAB 与 DEDEDE 是对应边，∠A\angle A∠A 与 ∠D\angle D∠D 是对应角。
（二）全等三角形的性质
1. 对应边相等
全等三角形的对应边长度肯定相等。若 △ABC≅△DEF\triangle ABC\cong \triangle DEF△ABC≅△DEF，那必然有 AB=DE,BC=EF,AC=DFAB=DE,BC=EF,AC=DFAB=DE,BC=EF,AC=DF。你可以动手做个小实验，用硬纸板剪出两个全等的三角形，拿尺子量一量对应的边，会发现长度丝毫不差。在解题时，要是知道一个三角形的三边长度，求与之全等的另一个三角形的某条边，直接用对应边相等就能轻松得出结果。比如，已知 △ABC\triangle ABC△ABC 三边为 3cm、4cm、5cm3cm、4cm、5cm3cm、4cm、5cm，且
△ABC≅△DEF\triangle ABC\cong \triangle DEF△ABC≅△DEF，AB=3cmAB=3cmAB=3cm 对应 DEDEDE，那 DEDEDE 就是 3cm3cm3cm。
2. 对应角相等
全等三角形的对应角大小相等。即 △ABC≅△DEF\triangle ABC\cong \triangle DEF△ABC≅△DEF 时，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F\angle A=\angle D，\angle B=\angle E，\angle C=\angle F∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。同样用测量的方法验证，拿三角板的角度去比对全等三角形的对应角，度数肯定一样。在求角的度数问题里，已知一个三角形的角的度数，求全等三角形对应角的度数，就靠这个性质。比如 △ABC\triangle ABC△ABC 中 ∠A=60∘\angle
A=60^\circ∠A=60∘，△ABC≅△DEF\triangle ABC\cong\triangle DEF△ABC≅△DEF，那么 ∠D\angle D∠D 就是 60∘60^\circ60∘
3. 衍生性质
因为对应边、对应角相等，所以全等三角形周长相等、面积也相等 。周长是三边长度和，对应边相等，周长自然相等；三角形面积公式是 S=12ahS=\frac{1}{2}ahS=21 ah（aaa 是底，hhh 是与底对应的高），全等三角形对应边当底时，对应的高也相等（对应角相等，高与边的夹角也对应相等，通过几何推理能证高相等 ），所以面积相等。像两个全等的直角三角形，三边对应相等，周长相同，以相同直角边为底和高算面积，结果也一样。
二、三角形全等的判定定理
（一）边边边（SSS）判定定理
1. 定理内容
三边分别相等的两个三角形全等 。用符号表示：在 △ABC和△DEF\triangle ABC 和 \triangle DEF△ABC和△DEF 中，若 AB=DE，BC=EF，AC=DFAB=DE，BC=EF，AC=DFAB=DE，BC=EF，AC=DF，则 △ABC≅△DEF\triangle ABC\cong \triangle DEF△ABC≅△DEF（SSS）
2. 推理验证
通过作图理解验证。给定三边长度，比如 3cm、4cm、5cm3cm、4cm、5cm3cm、4cm、5cm，用直尺和圆规画两个三角形，会发现它们能完全重合，证明三边相等的两个三角形全等 。解题时，找到两个三角形三边对应相等，就能判定全等。比如三角形框架，三边长度固定，形状大小就固定，另一个三边相同的框架，肯定和它全等 。
3. 例题应用
已知：如图，AB=CD,AD=CBAB=CD,AD=CBAB=CD,AD=CB，求证 △ABC≅△CDA\triangle ABC\cong \triangle CDA△ABC≅△CDA。
证明：在 △ABC\triangle ABC△ABC 和 △CDA\triangle CDA△CDA 中
{AB=CDBC=DA(公共边)AC=CA \begin{cases} AB = CD \\ BC = DA (公共边) \\ AC = CA \end{cases} ⎩⎨⎧ AB=CDBC=DA(公共边)AC=CA
所以 △ABC≅△CDA\triangle ABC\cong\triangle CDA△ABC≅△CDA（SSS）。这里 ACACAC 是公共边，结合已知 AB=CDAB=CDAB=CD，AD=CBAD=CBAD=CB（即 BC=DABC=DABC=DA），满足三边对应相等，判定全等
（二）边角边（SAS）判定定理
1. 定理内容
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 。符号表示：在△ABC\triangle ABC△ABC 和 △DEF\triangle DEF△DEF 中，若 AB=DE,∠B=∠E,BC=EFAB=DE,\angle B=\angle E,BC=EFAB=DE,∠B=∠E,BC=EF，则 △ABC≅△DEF\triangle ABC\cong \triangle DEF△ABC≅△DEF（SAS）。注意，必须是两边及其夹角，两边和其中一边的对角相等（SSA）不能判定全等 。
2. 几何推导
两边及其夹角确定，三角形形状大小就确定。因为两边长度和夹角确定，第三边长度可用余弦定理 c2=a2+b2−abccosCc^2=a^2+b^2-abc\cos Cc2=a2+b2−abccosC（a、ba、ba、b 是两边，CCC 是夹角，ccc 是第三边）确定，所以第三边唯一，三角形全等 。比如已知两边 2cm、3cm2cm、3cm2cm、3cm，夹角 60∘60^∘60∘，画的三角形形状大小固定，另一个满足条件的也能重合。
3. 例题与易错点
* 例题：已知 ACACAC 和 BDBDBD 相交于 OOO，OA=OCOA=OCOA=OC，OB=ODOB=ODOB=OD，求证：△AOB≅△COD\triangle AOB\cong \triangle COD△AOB≅△COD 中，
证明：在 △AOB\triangle AOB△AOB 和 △COD\triangle COD△COD 中
{OA=OG∠AOB=∠COD(对顶角相等）OB=OD \begin{cases} OA = OG \\ \angle AOB = \angle COD (对顶角相等） \\ OB = OD \end{cases} ⎩⎨⎧ OA=OG∠AOB=∠COD(对顶角相等）OB=OD
所以 △AOB≅△COD\triangle AOB\cong \triangle COD△AOB≅△COD(SAS)。这里 ∠AOB\angle AOB∠AOB 和 ∠COD\angle COD∠COD 是对顶角相等，结合已知边相等，满足 SAS，判定全等 。
* 易错点（SSA 反例）：在 △ABC\triangle ABC△ABC 和 △ABD\triangle ABD△ABD 中，AB=ABAB=ABAB=AB,AC=ADAC=ADAC=AD,∠B=∠B\angle B=\angle B∠B=∠B，但两三角形不全等 。因为 ∠B\angle B∠B 不是 AC、ADAC、ADAC、AD 的夹角，所以不能用 SAS 判定，说明必须是两边及其夹角才能判定 。
（三）角边角（ASA）判定定理
1. 定理内容
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 。符号表示：在 △ABC\triangle ABC△ABC 和 △DEF\triangle DEF△DEF 中，若 ∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E\angle A=\angle D,AB=DE,\angle B=\angle E∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E，则 △ABC≅△DEF\triangle ABC\cong \triangle DEF△ABC≅△DEF(ASA)。
2. 原理分析
两角及其夹边确定，三角形形状大小就确定。三角形内角和 180∘180^∘180∘，已知两个角，第三个角也确定（∠C=180∘−∠A−∠B，∠F=180∘=∠D−∠E\angle C=180^∘-\angle A-\angle B，\angle F=180^∘=\angle D-\angle E∠C=180∘−∠A−∠B，∠F=180∘=∠D−∠E，所以 ∠Ｃ＝∠F\angleＣ＝\angle F∠Ｃ＝∠F），夹边相等，用 SSS 或 SAS 也能推全等。作图时，给定两角及其夹边长度，只能画一个三角形，所以这样的两个三角形全等 。比如已知 ∠A=60∘\angle
A=60^\circ∠A=60∘，∠B=70∘\angle B=70^\circ∠B=70∘，夹边 AB=5cmAB=5cmAB=5cm，画的三角形形状大小固定，另一个满足条件的能重合 。
3. 例题应用
已知：点 DDD 在 ABABAB 上，点 EEE 在 ACACAC 上，AB=ACAB=ACAB=AC，∠B=∠C\angle B=\angle C∠B=∠C，求证：△ABE≅△ACD\triangle ABE\cong \triangle ACD△ABE≅△ACD。
证明：在 △ABE\triangle ABE△ABE 和 △ACD\triangle ACD△ACD 中，
{∠A=∠AAB=AC∠B=∠C \begin{cases} \angle A = \angle A \\ AB = AC\\ \angle B = \angle C \end{cases} ⎩⎨⎧ ∠A=∠AAB=AC∠B=∠C
所以 △ABE≅△ACD\triangle ABE\cong \triangle ACD△ABE≅△ACD(ASA)。这里 ∠A\angle A∠A 是公共角，AB=ACAB=ACAB=AC 是夹边，∠B=∠C\angle B=\angle C∠B=∠C 是另外两角，满足 ASA，判定全等 。
（四）角角边（AAS）判定定理
1. 定理内容
两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等 。符号表示：在 △ABC\triangle ABC△ABC 和 △DEF\triangle DEF△DEF 中，若 ∠A=∠D\angle A=\angle D∠A=∠D，∠B=∠E\angle B=\angle E∠B=∠E，BC=EFBC=EFBC=EF，则 △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF△ABC≅△DEF（AAS） 。AAS 可由 ASA 推导，因为三角形内角和 180∘180^\circ180∘，已知两个角相等，第三个角也相等，就转化为 ASA 情况 。比如 ∠A=∠D\angle
A=\angle D∠A=∠D，∠B=∠E\angle B=\angle E∠B=∠E，则 ∠C=∠F\angle C=\angle F∠C=∠F，若 BC=EFBC=EFBC=EF(BCBCBC 是 ∠A\angle A∠A 的对边，EFEFEF 是 ∠D\angle D∠D 的对边)，可判定全等
2. 与 ASA 的关系推导
由 ∠A=∠D\angle A=\angle D∠A=∠D，∠B=∠E\angle B=\angle E∠B=∠E，得 ∠C=∠F\angle C=\angle F∠C=∠F(内角和定理)。若 BC=EFBC=EFBC=EF，在 △ABC\triangle ABC△ABC 和 △DEF\triangle DEF△DEF 中，∠B=∠E\angle B=\angle E∠B=∠E，BC=EFBC=EFBC=EF，∠C=∠F\angle C=\angle F∠C=∠F，满足 ASA（两角及其夹边相等，BCBCBC 是 ∠B\angle B∠B 和 ∠C\angle C∠C 的夹角），所以 AAS
是 ASA 的延伸，基于内角和推导而来 。
3. 例题应用
已知：∠1=∠2,∠C=∠D\angle 1=\angle 2,\angle C=\angle D∠1=∠2,∠C=∠D，求证：△ABC≅△ABD\triangle ABC\cong \triangle ABD△ABC≅△ABD
证明：在 △ABC\triangle ABC△ABC 和 △ABD\triangle ABD△ABD 中，
{∠C=∠D∠1=∠2AB=AB \begin{cases} \angle C = \angle D \\ \angle1 = \angle 2\\ AB = AB \end{cases} ⎩⎨⎧ ∠C=∠D∠1=∠2AB=AB
所以 △ABC≅△ABD\triangle ABC\cong\triangle ABD△ABC≅△ABD(AAS)。这里 ∠1=∠2,∠C=∠D\angle 1=\angle 2,\angle C=\angle D∠1=∠2,∠C=∠D，ABABAB 是 ∠C、∠D\angle C、\angle D∠C、∠D 中一角的对边，满足 AAS，判定全等 。
（五）斜边、直角边（HL）判定定理（仅适用于直角三角形）
1. 定理内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 。符号表示：在 Rt△ABCRt\triangle ABCRt△ABC 和 Rt△DEFRt\triangle DEFRt△DEF 中，若 AB=DEAB=DEAB=DE （斜边），AC=DEAC=DEAC=DE（直角边），则 Rt△ABC≅Rt△DEFRt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEFRt△ABC≅Rt△DEF(HL)。直角三角形有直角相等（∠C=∠F=90∘\angle C=\angle F=90^\circ∠C=∠F=90∘)，加斜边和一条直角边相等，可判定全等 。
2. 特殊性与验证
HL 是直角三角形特有的全等判定方法，不适用于一般三角形。作图验证：给定斜边和一条直角边长度，画直角三角形，只能画一种，所以斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等 。解直角三角形全等问题，HL 常用，尤其已知直角边和斜边时 。
3. 例题应用
已知：AC⊥BCAC\perp BCAC⊥BC，BD⊥ADBD\perp ADBD⊥AD，AC=BDAC=BDAC=BD，求证：BC=ADBC=ADBC=AD。
证明：因为 AC⊥BCAC\perp BCAC⊥BC，BD⊥ADBD\perp ADBD⊥AD，AC=BDAC=BDAC=BD，所以 ∠C=∠D=90°。\angle C=\angle D=90°。∠C=∠D=90°。
在 Rt△ABCRt\triangle ABCRt△ABC 和 Rt△BADRt\triangle BADRt△BAD 中，
{AC=BD（公共斜边）AB=BA \begin{cases} AC = BD \\ &（公共斜边）\\ AB= BA \end{cases} ⎩⎨⎧ AC=BDAB=BA （公共斜边）
所以 Rt△ABC≅Rt△BADRt\triangle ABC\cong Rt\triangle BADRt△ABC≅Rt△BAD(HL)。
所以 BC=ADBC=ADBC=AD （全等三角形对应边相等） 。用 HL 判定直角三角形全等，得出对应边相等结论 。
三、三角形全等的证明思路与方法
（一）寻找全等条件的一般步骤
1. 观察图形与已知条件
先观察图形，找公共边、公共角、对顶角等隐含相等条件 。公共边是两三角形共有的边，相等；公共角是共有的角，相等；对顶角相等是基本性质，在相交线中常见，可作为全等条件。同时梳理已知的边、角相等条件，整理好方便分析 。
2. 确定要证明全等的三角形
根据题目要求，确定需证明全等的两个三角形。有时需通过中间三角形或多次证明全等，才能得到最终全等关系 。比如要证两条边相等，可能先证包含这两边的三角形全等，而这又依赖另外两个三角形全等 。
3. 分析所需判定定理
根据已知条件，结合全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL ），分析还需哪些条件。已知两边，找夹角（SAS）或第三边（SSS）；已知两角，找夹边（ASA）或其中一角的对边（AAS）；直角三角形考虑 HL 。缺少条件，用平行线性质、角平分线性质、中线性质等推导 。
（二）常见的辅助线做法（在证明全等中常用）
1. 连接线段构造全等三角形
当图形中存在分散的线段或角，通过连接某条线段，能构造出可证全等的三角形 。比如，四边形中，连接对角线，把四边形分成两个三角形，利用三角形全等解决问题 。
2. 截取线段构造全等
在较长线段上截取一段等于已知线段，构造全等三角形 。例如，要证某线段等于另两条线段和，可在长线段上截一段等于其中一条，证剩下部分等于另一条，通过全等实现 。
3. 作垂线或平行线构造全等
作垂线可构造直角三角形，利用 HL 或其他直角三角形全等判定定理；作平行线能利用平行线性质（同位角相等、内错角相等 ），构造相等角，为全等创造条件 。
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