喜报

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ZDZL 论坛 及 ZDZL OJ 已经正式支持 Markdown 与 LaTeX\LaTeXLATE X 本帖子重发，原因是希望能够上榜宣传 事实上，CXXP2已经开赛了 ZDZL 论坛新创作激励：加精帖如质量很高，可以获得 5-15 元的现金奖励。集训营的同学们可以把笔记发过去的哦。

提建议 进入 百家争鸣 阶段

吃瓜入口1 吃瓜入口2 摘要： 1.学术帖 和 灌水帖 分开设榜，并严查学术有没有灌水的 这样既能让灌水的上榜，又无需担心水贴会伤到学术区 2-7. 降低评论的权重，.......，详见入口 阅读量：1300 下滑还有肥美好东西 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ lene冷知识，网上很多梗和段子来自《儒林外史》 1.肥美+物品 2.某些搞笑段子模板 3. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 我们英语听力belike： 78年前的音响+肥美音乐+全损音质+声音忽高忽低+特大教室回音强+监考老师不在然后聊天+对答案 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 这是几百人没人正常做对的题因为测试点有误 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1.如果想提建议请进入提建议入口 2.只能发送建议或‘支持’的评论，其他评论如‘D’可发但不得多余10次。 3.互关 4.进入入口后多刷新页面

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工\TEXT{\HUGE\COLOR{RED}\FBOX{工}}工 具\TEXT{\HUGE\COLOR{ORANGE}\FBOX{具}}具 大\TEXT{\HUGE\COLOR{GREEN}\FBOX{大}}大 全\TEXT{\HUGE\COLOR{BLUE}\FBOX{全}}全 万\TEXT{\HUGE\COLOR{GRAY}\FBOX{万}}万 岁\TEXT{\HUGE\COLOR{PURPLE}\FBOX{岁}}岁 > 工具大全技术团队USEFUL TOOLS计划第一阶段圆满完成！ 网站域名：USEFUL-TOOLS.TOP 工具大全｜关于我们 工具数量：60个 最后更新时间：2026年8月1日 隆重发布我们的新工具👇\color{red}{隆重发布我们的新工具👇}隆重发布我们的新工具👇 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 最新战绩：

关于目前热门讨论

可能后期会有变动，有不确定因素，所以先别急着对号入座。 建议下榜 榜一，榜二，榜三，榜四，榜七，榜九，榜十。 理由：有一定的讨论含金量，但是评论区有作者的大量无意义顶 建议删除 榜五 反复发送，已经被删除过帖子，且几乎没有讨论的必要，含有大量刷榜的行为 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 感觉下榜治标不治本，个人建议是把发布大量无意义刷榜内容的人禁言了，挑几个典例禁了威慑。

全体目光向我看齐！

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关于热门榜的建议

热门学术内容 和 热门灌水内容 确实可以分开排榜，这样可以减少大量麻烦。学术和建议帖就发“学习讨论”或“站务中心”板块，灌水内容就发“灌水池塘”板块，并且合理修改上榜条件，以免因大量无意义评论而增加热度。 支持讨论，有建议或意见@我，我会考虑修改，我修改后认为没有问题再@AC君或者管理员，请不要在评论区私自@管理员，如果被我发现将会删评，这是对管理员的尊重。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 关于 sczans.，他刚才私信问了我很多问题，现在他也删帖并公开道歉了，希望他和之前大部分神人不同，能有所改变，也希望你们能原谅他，他并不邪恶。 2026.8.1 @sczans. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2026.8.1初稿 2026.8.3修改

月色真美

今天8月4号我妹生日，能给我说一句月色真美吗 月が綺麗ねと言われたい！(多想听你说月色真美！) 月が綺麗ねと(月色真美) 🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🎂🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰🍰 给你们的蛋糕 小馋猫的蛋糕 💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩 蛋糕自取

三国杀【神】改编 QWQ

嗯对，今天闲来没事就改编了一些三国杀中的神武将AWA 可能有些字打错了，希望大家能说说意见 不喜勿喷QWQ 提前说明，我可能不会再修改一些武将了，实在太累了，所以可以找我要制作网址自己做TWT 一般来说，评论我都是会解答、解释的，有一些不适合加入、修改的我就不会做相应的调整 本人还是一个小新手，可能有很多技能不严谨、不合理，多多体谅 都来看看这位的帖子AWA 看到这里了，也看看这位的帖子吧 都来看看 未完待续awa

关于 ZDZL 与 ACGO 社区的关系

此帖结（2026.8.3），具体内容如下。我希望通过这个帖子能够减少ZDZL人员与ACGO之间的某种冲突，无引战内容，若评论区内出现引战@我，我第一时间删除，以免引发更多冲突。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 关于 ZDZL 和 ACGO 之间的关系，LZM 的回话在置顶评论，可以参考。 关于LIN.ZIKANG的一些攻击性言论（证据就不放了），他已私信道歉，希望大家能够原谅他。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 最后希望两个社区和平相处，蒸蒸日上。 @Eucatastrophe‌ @wcqk

“蚂蚁圆柱问题”最优路径判别及解析

创作者：YYF LINK（此为转载，版权为YYF LINK所有，原文出处） 本文研究蚂蚁在圆柱体表面从一点到其正对点（主视图最左下到最右上）的最短路径问题，通过将路径分解为底面弦与侧面展开图直线，建立总长度关于底面圆心角 Θ的目标函数 L(Θ)利用微分法求得驻点，通过二阶导数严格证明内部驻点均为局部极大值，从而确定全局最小值仅在区间端点取得。比较两端点路径长度，得到最短路径的判别准则。本文推导严谨，结论简洁明确。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 一、问题溯源 有一个底面半径为 rrr，高为 hhh 的圆柱，AAA 是底面圆周上的一点，在主视图最左下角；BBB 为顶面圆周上一点，在主视图最右上角。一只蚂蚁从 AAA 出发，可在圆柱表面自由爬行，求其爬至 BBB 点的最短路径。 二、表示总长度 设蚂蚁从 AAA 沿底面某一条弦走到底面圆周上一点 PPP，再由 PPP 沿侧面最短路径至 BBB。设底面圆心为 OOO，弧 APAPAP 的圆心角为 θ\thetaθ，即 ∠AOP=θ\angle AOP=\theta∠AOP=θ（0≤θ≤π0\leq \theta \leq \pi0≤θ≤π）。 如图为蚂蚁路线及圆柱体沿高 PP′PP'PP′ 切割的侧面展开图。图中 P′B′=P′B^P'B'=\widehat{P'B}P′B′=P′B，则总长度 L(θ)=AP+PB′L(\theta)=AP+PB'L(θ)=AP+PB′. 计算底面弦长 APAPAP： OA=OP=rOA=OP=rOA=OP=r，在等腰 △AOP\triangle AOP△AOP 中，顶角为 θ\thetaθ。取 APAPAP 的中点 MMM，连结 OMOMOM。 因为等腰三角形三线合一，则 ∠AOM=θ/2\angle AOM=\theta/2∠AOM=θ/2。 由正弦定义，sin⁡θ2=AMr\sin \frac{\theta}{2}=\frac{AM}{r}sin2θ =rAM ∴AM=rsin⁡θ2\therefore AM=r\sin \frac{\theta}{2}∴AM=rsin2θ ∴AP=2AM=2rsin⁡θ2\therefore AP=2AM=2r\sin \frac{\theta}{2}∴AP=2AM=2rsin2θ 计算侧面长 B′P′B'P'B′P′： ∵AC\because AC∵AC 为直径，PP′PP'PP′ 是圆柱的一条高 ∴\therefore∴ 显然弧 P′BP'BP′B 与弧 PCPCPC 长度相等。 又 ∵AC\because AC∵AC 是直径 ∴\therefore∴ 弧 APAPAP 与弧 P′BP'BP′B 的度数之和为 180∘180^\circ180∘ ∵∠AOP=θ\because \angle AOP=\theta∵∠AOP=θ ∴AP^=rθ\therefore \widehat{AP}=r\theta∴AP=rθ，P′B^=r(π−θ)\widehat{P'B}=r(\pi-\theta)P′B=r(π−θ) ∴P′B′=r(π−θ)\therefore P'B'=r(\pi-\theta)∴P′B′=r(π−θ) ∴PB′=[r(π−θ)]2+h2\therefore PB'=\sqrt{[r(\pi-\theta)]^2+h^2}∴PB′=[r(π−θ)]2+h2 ∴\therefore∴ 总长度 L(θ)=2rsin⁡θ2+[r(π−θ)]2+h2L(\theta)=2r\sin \frac{\theta}{2}+\sqrt{[r(\pi-\theta)]^2+h^2}L(θ)=2rsin2θ +[r(π−θ)]2+h2 ，θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi]θ∈[0,π] (1) 三、求驻点 对 θ\thetaθ 求导（链式求导）： L′(θ)=rcos⁡θ2−12[r2(π−θ)2]−1/2⋅ddθ[r2(π−θ)2+h2]L'(\theta)=r\cos \frac{\theta}{2}-\frac{1}{2}[r^2(\pi-\theta)^2]^{-1/2}\cdot \frac{d}{d\theta}[r^2(\pi-\theta)^2+h^2]L′(θ)=rcos2θ −21 [r2(π−θ)2]−1/2⋅dθd [r2(π−θ)2+h2] =rcos⁡θ2−12r2(π−θ)2+h2⋅[−r2⋅2(π−θ)]=r\cos \frac{\theta}{2}-\frac{1}{2\sqrt{r^2(\pi-\theta)^2+h^2}}\cdot[-r^2\cdot 2(\pi-\theta)]=rcos2θ −2r2(π−θ)2+h2 1 ⋅[−r2⋅2(π−θ)] =rcos⁡θ2−−r2(π−θ)r2(π−θ)2+h2=r\cos \frac{\theta}{2}-\frac{-r^2(\pi-\theta)}{\sqrt{r^2(\pi-\theta)^2+h^2}}=rcos2θ −r2(π−θ)2+h2 −r2(π−θ) (2) 令 L′(θ)=0L'(\theta)=0L′(θ)=0，得方程： rcos⁡θ2−−r2(π−θ)r2(π−θ)2+h2=0r\cos \frac{\theta}{2}-\frac{-r^2(\pi-\theta)}{\sqrt{r^2(\pi-\theta)^2+h^2}}=0rcos2θ −r2(π−θ)2+h2 −r2(π−θ) =0 rcos⁡θ2=−r2(π−θ)r2(π−θ)2+h2r\cos \frac{\theta}{2}=\frac{-r^2(\pi-\theta)}{\sqrt{r^2(\pi-\theta)^2+h^2}}rcos2θ =r2(π−θ)2+h2 −r2(π−θ) −r(π−θ)r2(π−θ)2+h2=cos⁡θ2\frac{-r(\pi-\theta)}{\sqrt{r^2(\pi-\theta)^2+h^2}}=\cos \frac{\theta}{2}r2(π−θ)2+h2 −r(π−θ) =cos2θ （3） 四、判定驻点非全局最小值 1.求二阶导数 第一项：原式 =−r2sin⁡θ2=-\frac{r}{2}\sin \frac{\theta}{2}=−2r sin2θ 第二项：原式 =r2h2[r2(π−θ)2+h2]3/2=\frac{r^2 h^2}{[r^2(\pi-\theta)^2+h^2]^{3/2}}=[r2(π−θ)2+h2]3/2r2h2 ∴L′′(θ)=−r2sin⁡θ2+r2h2[r2(π−θ)2+h2]3/2\therefore L''(\theta)=-\frac{r}{2}\sin \frac{\theta}{2}+\frac{r^2 h^2}{[r^2(\pi-\theta)^2+h^2]^{3/2}}∴L′′(θ)=−2r sin2θ +[r2(π−θ)2+h2]3/2r2h2 2.求解 hhh 并代入 由(3): −r(π−θ)r2(π−θ)2+h2=cos⁡θ2\frac{-r(\pi-\theta)}{\sqrt{r^2(\pi-\theta)^2+h^2}}=\cos \frac{\theta}{2}r2(π−θ)2+h2 −r(π−θ) =cos2θ r2(π−θ)2=cos⁡2θ2⋅[r2(π−θ)2+h2]r^2(\pi-\theta)^2=\cos^2 \frac{\theta}{2}\cdot [r^2(\pi-\theta)^2+h^2]r2(π−θ)2=cos22θ ⋅[r2(π−θ)2+h2] r2(π−θ)2=cos⁡2θ2⋅[r2(π−θ)2]+cos⁡2θ2⋅h2r^2(\pi-\theta)^2=\cos^2 \frac{\theta}{2}\cdot [r^2(\pi-\theta)^2]+\cos^2 \frac{\theta}{2}\cdot h^2r2(π−θ)2=cos22θ ⋅[r2(π−θ)2]+cos22θ ⋅h2 cos⁡2θ2⋅h2=r2(π−θ)2−cos⁡2θ2⋅[r2(π−θ)2]\cos^2 \frac{\theta}{2}\cdot h^2=r^2(\pi-\theta)^2-\cos^2 \frac{\theta}{2}\cdot [r^2(\pi-\theta)^2]cos22θ ⋅h2=r2(π−θ)2−cos22θ ⋅[r2(π−θ)2] cos⁡2θ2⋅h2=r2(π−θ)2(1−cos⁡2θ2)\cos^2 \frac{\theta}{2}\cdot h^2=r^2(\pi-\theta)^2(1-\cos^2 \frac{\theta}{2})cos22θ ⋅h2=r2(π−θ)2(1−cos22θ ) （4） ∵sin⁡2x+cos⁡2x=1\because \sin^2 x+\cos^2 x=1∵sin2x+cos2x=1 所以 cos⁡2θ2⋅h2=r2(π−θ)2sin⁡2θ2\cos^2 \frac{\theta}{2}\cdot h^2=r^2(\pi-\theta)^2\sin^2 \frac{\theta}{2}cos22θ ⋅h2=r2(π−θ)2sin22θ ∵sin⁡2(θ/2)cos⁡2(θ/2)=tan⁡2θ2\because \frac{\sin^2(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2)}=\tan^2 \frac{\theta}{2}∵cos2(θ/2)sin2(θ/2) =tan22θ ∴h2=r2(π−θ)2tan⁡2θ2\therefore h^2=r^2(\pi-\theta)^2\tan^2 \frac{\theta}{2}∴h2=r2(π−θ)2tan22θ ∵h>0,θ∈(0,π)\because h>0,\theta\in(0,\pi)∵h>0,θ∈(0,π) 所以 h=r(π−θ)tan⁡θ2h=r(\pi-\theta)\tan \frac{\theta}{2}h=r(π−θ)tan2θ （5） 将（5）代入（4）：L′′(θ)=−r2sin⁡θ2+r2⋅r2(π−θ)2tan⁡2(θ/2)[r2(π−θ)2+r2(π−θ)2tan⁡2(θ/2)]3/2L''(\theta)=-\frac{r}{2}\sin \frac{\theta}{2}+\frac{r^2\cdot r^2(\pi-\theta)^2\tan^2(\theta/2)}{[r^2(\pi-\theta)^2+r^2(\pi-\theta)^2\tan^2(\theta/2)]^{3/2}}L′′(θ)=−2r sin2θ +[r2(π−θ)2+r2(π−θ)2tan2(θ/2)]3/2r2⋅r2(π−θ)2tan2(θ/2) L′′(θ)=−r2sin⁡θ2+r4(π−θ)2tan⁡2(θ/2)[r2(π−θ)2(1+tan⁡2(θ/2))]3/2L''(\theta)=-\frac{r}{2}\sin \frac{\theta}{2}+\frac{r^4(\pi-\theta)^2\tan^2(\theta/2)}{[r^2(\pi-\theta)^2(1+\tan^2(\theta/2))]^{3/2}}L′′(θ)=−2r sin2θ +[r2(π−θ)2(1+tan2(θ/2))]3/2r4(π−θ)2tan2(θ/2) L′′(θ)=−r2sin⁡θ2+r4(π−θ)2tan⁡2(θ/2)[r2(π−θ)2(1+tan⁡2(θ/2))]3/2L''(\theta)=-\frac{r}{2}\sin \frac{\theta}{2}+\frac{r^4(\pi-\theta)^2\tan^2(\theta/2)}{[r^2(\pi-\theta)^2(1+\tan^2(\theta/2))]^{3/2}}L′′(θ)=−2r sin2θ +[r2(π−θ)2(1+tan2(θ/2))]3/2r4(π−θ)2tan2(θ/2) ∵tan⁡2x****ec⁡2x\because \tan^2 x+1=\sec^2 x∵tan2x****ec2x ∴L′′(θ)=−r2sin⁡θ2+r4(π−θ)2tan⁡2(θ/2)[r2(π−θ)2sec⁡2(θ/2)]3/2\therefore L''(\theta)=-\frac{r}{2}\sin \frac{\theta}{2}+\frac{r^4(\pi-\theta)^2\tan^2(\theta/2)}{[r^2(\pi-\theta)^2\sec^2(\theta/2)]^{3/2}}∴L′′(θ)=−2r sin2θ +[r2(π−θ)2sec2(θ/2)]3/2r4(π−θ)2tan2(θ/2) ∴L′′(θ)=−r2sin⁡θ2+r4(π−θ)2tan⁡2(θ/2)r3(π−θ)3sec⁡3(θ/2)\therefore L''(\theta)=-\frac{r}{2}\sin \frac{\theta}{2}+\frac{r^4(\pi-\theta)^2\tan^2(\theta/2)}{r^3(\pi-\theta)^3\sec^3(\theta/2)}∴L′′(θ)=−2r sin2θ +r3(π−θ)3sec3(θ/2)r4(π−θ)2tan2(θ/2) ∴L′′(θ)=−r2sin⁡θ2+rtan⁡2(θ/2)(π−θ)sec⁡3(θ/2)\therefore L''(\theta)=-\frac{r}{2}\sin \frac{\theta}{2}+\frac{r\tan^2(\theta/2)}{(\pi-\theta)\sec^3(\theta/2)}∴L′′(θ)=−2r sin2θ +(π−θ)sec3(θ/2)rtan2(θ/2) ∵sec⁡x=1cos⁡x\because \sec x=\frac{1}{\cos x}∵secx=cosx1 ，tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}tanx=cosxsinx ∴L′′(θ)=−r2sin⁡θ2+rsin⁡2(θ/2)cos⁡(θ/2)(π−θ)=rsin⁡θ2(−12+sin⁡2(θ/2)cos⁡(θ/2)π−θ)\therefore L''(\theta)=-\frac{r}{2}\sin \frac{\theta}{2}+\frac{r\sin^2(\theta/2)\cos(\theta/2)}{(\pi-\theta)}=r\sin \frac{\theta}{2}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sin^2(\theta/2)\cos(\theta/2)}{\pi-\theta}\right)∴L′′(θ)=−2r sin2θ +(π−θ)rsin2(θ/2)cos(θ/2) =rsin2θ (−21 +π−θsin2(θ/2)cos(θ/2) ) ∵sin⁡θ2cos⁡θ2=12sin⁡θ\because \sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}=\frac{1}{2}\sin\theta∵sin2θ cos2θ =21 sinθ ∴L′′(θ)=rsin⁡(θ/2)2(sin⁡θπ−θ−1)\therefore L''(\theta)=\frac{r\sin(\theta/2)}{2}\left(\frac{\sin\theta}{\pi-\theta}-1\right)∴L′′(θ)=2rsin(θ/2) (π−θsinθ −1) （6） 3.证明全局最小 我们需要证明 θ∈(0,π)\theta\in(0,\pi)θ∈(0,π) 时，sin⁡θπ−θ<1\frac{\sin\theta}{\pi-\theta}<1π−θsinθ <1，即 sin⁡θ<π−θ\sin\theta<\pi-\thetasinθ<π−θ 令 g(θ)=π−θ−sin⁡θg(\theta)=\pi-\theta-\sin\thetag(θ)=π−θ−sinθ， 则 g′(θ)=−1−cos⁡θ≤0g'(\theta)=-1-\cos\theta\leq 0g′(θ)=−1−cosθ≤0 ∴g(θ)\therefore g(\theta)∴g(θ) 在 (0,π)(0,\pi)(0,π) 上严格递减 且 g(0)=πg(0)=\pig(0)=π，g(π)=0g(\pi)=0g(π)=0 ∴\therefore∴ 在 (0,π)(0,\pi)(0,π) 上，g(θ)>0g(\theta)>0g(θ)>0 所以 π−θ−sin⁡θ>0\pi-\theta-\sin\theta>0π−θ−sinθ>0，即 π−θ>sin⁡θ\pi-\theta>\sin\thetaπ−θ>sinθ （7） 将（7）代入（6），则 L′′(θ)<0L''(\theta)<0L′′(θ)<0. 在任意驻点 θ∈(0,π)\theta\in(0,\pi)θ∈(0,π) 处，L′′(θ)<0L''(\theta)<0L′′(θ)<0，所以该驻点是局部极大值，不可能是局部最小值。因此，L(θ)L(\theta)L(θ) 的全局最小值只能在区间端点取得。即路程最小时，θ\thetaθ 的值只能为 000 或 π\piπ。 五、精确结果 端点 θ=0\theta=0θ=0：L(0)=π2r2+h2L(0)=\sqrt{\pi^2 r^2+h^2}L(0)=π2r2+h2 端点 θ=π\theta=\piθ=π：L(π)=2r+hL(\pi)=2r+hL(π)=2r+h 令两者相等，得 h=π2−44rh=\frac{\pi^2-4}{4}rh=4π2−4 r 因此最终判别规则为： ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 【预告】我们即将开始研究蚂蚁圆台问题，具体内容详见此贴。