#创作计划# 数学中的“拆解艺术”

忘川秋库

2025-07-12 17:30:24

发布于：湖北

276阅读

0回复

0点赞

感谢AC君，让帖子的a不被*
此帖建议有一定整式的加减乘除基础者阅读（即5年级以上）（后续会出整式运算帖子）

（赞赞跟上）

附1

支线故事的起因是这样的（你们往下翻评论还能看到）

7/11 上午11点左右写：
左括号已经解出来是二项式定理标准形式（上面的公式表格里提到过），结果为 $(a-b)^{2025}$ ，右括号看是我先想出来还是先有高人指点（作者只是个6升7的小初生）

7/11 下午15点半左右写：
好好好已经解出来了，根本不需要高人指点好吧 ~~（特别鸣谢：湖北明心数学6升7B班讲师董老师）~~
过程大概如下

解：
左括号 $=\sum_{i=0}^{2025} \binom{2025}{i}(-1)^i a^{2025-i}b^i = (a-b)^{2025}$ （一眼二项式定理）
$~~$
右括号有点麻烦，因为@不会C++的noah说不要 $(-1)^j$ ，~~但我感觉要还简单一点怎么回事~~
第一步，先不管连成符号 $Π$ ，优先计算每一个对于 $Π$ 来说的 $i$ ， $\sum_{j=0}^{2^i} \binom{2^i}{j}a^{2^i-j}b^j = (a+b)^{2^i}$
第二步，把连城符号 $Π$ 乘进来，得到 $\prod_{i=0}^{2025}(a+b)^{2^i} = (a+b)^{\sum_{i=0}^{2025}2^i}$
那接下来将会是一场酣畅淋漓的公比为二等比数列求和（在那个右括号指数上），指数为 $1+2+4+8+...+2^{2025}$ ， ~~有五年级文凭的人应该都知道是~~ $2^{2026}-1$
$~~$
那最后一步自然就是写成因式分解形式，即左右括号乘积
$(a-b)^{2025} (a+b)^{2^{2026}-1}$
~~作者武汉滴~~

未更完，上次更新时间2025/7/10下午

引言：

数学历史：古希腊数学家丢番图在《算术》中首次提出因式分解思想
核心概念：用乘法逆向思维简化复杂多项式（在分式计算中会作为工具性的东西经常使用）
现实意义：密码学、工程优化、计算机算法等领域的基础工具
作者OS $~~$ ：看到人教八年级课本上没讲很细致，再来讲一讲吧，~~反正闲着也是闲着~~。
注意：作者只是个6~7的蒟蒻，只是~~在湖北明心~~学因式分解板块快学吐了，于是破大防，写下文章
作者再次OS：这个题不会做但是依然有感而发而写下全文

第一章因式分解基础

1.1 基本定义与原理

数学定义（这个作者查阅了一下资料）：因式分解（Factorization）是代数学中的一种基本运算，指将一个多项式（或整数）表示为若干个因式（因子）的乘积形式。其核心思想是“拆解”——将复杂的表达式转化为更简单的组成部分的乘积，从而便于进一步的计算、求解或分析。

例1：

因式分解过程： $x^{2} - x - 6 \rightarrow (x + 2)(x - 3)$
整式乘法过程： $(x + 2)(x - 3) \rightarrow x^2 - x - 6$
即两种运算互为逆运算看到没有，一定不能搞混两种概念，~~否则一分拿不到。~~

1.2 因式分解的方法

因式分解方法	举例
提公因式法	$ab-ac=a(b-c)$
公式法 $1$ 即完全平方公式	$a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$
公式法 $2$ 即平方差公式	$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
公式法 $3$ 即立方差公式	$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^3)$
公式法 $4$ 即立方和公式	$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^3)$
公式法 $5$ 即三项和的平方公式	$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2$
公式法 $6$ 即完全立方和公式	$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$
公式法 $7$ 即完全立方差公式	$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$
十字相乘法	$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$
拓展知识：二项式定理	计算 $(a+b)^4,(a+b)^5$ 观察各项系数，再把正号换成负号，重新计算

拓展公式如果你一直往下算你会发现系数呈杨辉三角，把正号换成负号后你会发现奇数项前符号为+，偶数项前符号为-
~~不会有人来抄公式吧~~

注意※：

立方和差公式中，前-后+，前+后-
立方和差公式中，没有二倍项
完全立方差中，系数符号为+-+-...
三项完全平方和中如有负号,如 $(a+b-c)^2$ 情况，请注意符号的变化

第二章：提公因式法

2.1公因式的定义及找到两单项式之公因式之方法

公因式的定义：

找到一个单项式 $P$ ，使 $P$ 能被单项式 $A$ 和单项式 $B$ 所除尽（即没有余式），则称 $P$ 为 $A$ 和 $B$ 的公因式。

找到两个或多个单项式的公因式的方法

例2： 找到 $-12a^2b^{13}c$ 与 $15ab^5c^{12}$ 的公因式
解：
1.找 $P$ 的系数：两单项式之系数之最大公约数，即 $3$ ，不考虑负号。
2. 确定每一个字母的次数
$~~$ (1)字母 $a$ 的次数：单项式 $A$ 中 $a$ 的次数为 $2$ ，单项式 $B$ 中 $a$ 的次数为 $1$ ，取次数之较小值，所以 $P$ 中 $a$ 的次数取 $1$ 。
$~~$ (2)字母b的次数：单项式 $A$ 中 $b$ 的次数为 $13$ ，单项式 $B$ 中 $b$ 的次数为 $5$ ，取次数之较小值，即 $5$ ，所以 $P$ 中 $b$ 的次数为 $5$ 。
$~~$ (...)以此类推
3.写下 $P$ ： $3ab^5c$

着重注意※：如题目给出的是一个多项式，且该多项式首项带负号，则在找公因式时通常保留负号

例3： 找到多项式 $-12a^2b^{13}c+15ab^5c^{12}$ 的公因式
此时 $P$ 为 $-3ab^5c$ 。

提公因式方法

例4： $-12a^2b^{13}c+15ab^5c^{12}$
1.找到公因式 $-3ab^5c$
2.用该多项式的每一项除以对应公因式 $-3ab^5c$

$~~$ (1) $\frac{-12a^2b^{13}c}{-3ab^5c}=4ab^8$

$~~$ (2) $\frac{15ab^5c^{12}}{-3ab^5c}=-5c^{11}$

3.将得到的两个单项式相加并乘上公因式
得到： $-3ab^5c(4ab^8-5c^{11})$ ，即题目答案

章节笔记：

作者再次再次OS： 看到上面的水印没有，别想拿走

第三章：公式法在因式分解中的应用

3.1平方差公式在因式分解中的应用

例5： 分解因式 $a^2-b^2$
解：原式= $(a+b)(a-b)$
是不是很简单，直接套公式，那我们再来一题

例6： 分解因式 $a^4-b^4$
解：原式= $(a^2)^2-(b^2)^2$
$=(a^2+b^2)(a^2-b^2)$ 注意※： 第二个因式分解不彻底
$=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)$

3.2完全平方公式在因式分解中的应用

例7： 分解因式 $a^2-2ab+b^2$
解：原式= $(a-b)^2$

很简单对吧，那就再来一题

例8： 因式分解 $a^4-2a^2b^2+b^4$
阁下如何应对？？？
妙计：解：原式= $(a^2-b^2)^2$ 注意※： 因式分解不彻底
$=[(a+b)(a-b)]^2$ 注意※： 因式分解结果不应带中括号(或大括号)
$=(a+b)^2(a-b)^2$ 此步骤理由※： 积的乘方，指数分配到每一个因数（或因式）中

3.3立方公式在因式分解中的应用

例9： 因式分解 $a^3-b^3$
这道题确实很简单，所以给大家判断 $4$ 种解法
解1：原式= $(a+b)(a^2-2ab+b^2)$
解2：原式= $(a-b)(a^2+2ab+b^2)$
解3：原式= $(a-b)(a^2-ab+b^2)$
解4：原式= $(a-b)(a^2+ab+b^2)$
那么，请各位判断哪一个正确。
很明显只有解4正确，错误原因分析
解1：前-后+，没有2倍项
解2：没有二倍项
解3：前-后+
解4：正确
这里作者平常这样记：前面因式中的符号是原式的符号，后面括号的中间项的符号，和原式符号相反，但是这句话课本上没有，所以知道就好：前括号是符号位，后括号中间项相反符号位
~~因为这里例题没有立方和公式，所以大家就自己悟吧，后面的混合分解会有~~

例10： 分解因式 $a^6-b^6$
这里给大家看两种正确解法
解1：原式 $=(a^2)^3-(b^2)^3$
$=(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)$
$=(a+b)(a-b)(a^4+a^2b^2+b^4)$ 这就是不建议大家用方法1的原因，因为很多同学在这里误以为第 $3$ 个因式不可分解，实际可用配方法分解
$=(a+b)(a-b)(a^4+2a^2b^2+b^4−a^2b^2)$
$=(a+b)(a-b)[(a^2+b^2)^2−(ab)^2]$ 平方差
$=(a+b)(a-b)(a^2+b^2−ab)(a^2+b^2+ab)$ 虽然分解到这里结果正确，但是通常还会往下写一步
$=(a+b)(a-b)(a^2−ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$

解2：原式 $=(a^3)^2-(b^3)^2$
$=(a^3+b^3)(a^3-b^3)$ 局势明了，进一步分解
$=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2+ab+b^2)$ 很轻松得到四个因式

此题结论：在同时可以用立方公式和平方公式时，一定优先用平方公式，否则很有可能分出来最后只有 $3$ 个因式，想不到用配方法

3.4完全立方公式在因式分解中的应用

例11： 因式分解： $a^3-3a^2b+3ab^2+7b^3$
~~这道题有天坑（作者的作业这其实是到选择题，问一下哪一项不能因式分解，作者觉得选C（就是这个题），结果错了）~~
圆规正转：这道题应该用配方法解题
解：原式 $=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3+8b^3$
$=(a-b)^3+(2b)^3$
$=(a-b+2b)[(a+b)^2-2b(a-b)+4b^2]$
$=(a^2-4ab+7b^2)(a+b)$

章节笔记

至此，公式法告一段落（后续会补充更多例题)，进入因式分解重难点板块，十字相乘法

未更完，预计下次更新：2025/7/14上午

小广告来咯

有帮助，赞一个

去预览

0/2000

全部评论 25