A85959.「WC2020」猜数游戏

黑板上写有 $n$ 个互不相等且都小于 $p$ 的正整数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$。小 J 想用这些数字和小 M 玩一个猜数游戏。

游戏规则十分简单：游戏开始时，小 J 会从这些数字中随机选择若干个让小 M 来猜，而小 M 则可以通过若干次询问来确定小 J 选择了哪些数字。

每一次询问的模式如下：小 M 可以任意指定一个数字 $a_k$，若它是小 J 所选择的数字之一，则小 J 会告诉小 M 他所选择的数字中所有能表示成 $(a_k)^m \bmod p$ 的数，其中 $m$ 是任意正整数，$\bmod$ 表示求二者做带余除法后的余数。反之，若 $a_k$ 没有被小 J 选中，则小 J 只会告诉小 M $a_k$ 没有被选中。

游戏会在小 M 确定小 J 所选中的所有数字后立刻结束。

例如，若 $n=4$，$p=7$，数字 $\{a_n\}$ 按下标顺序依次为 $\{1, 3, 4, 6\}$，小 J 选定的数字为 $\{1, 4, 6\}$，一种可能的游戏进行的过程（并非是最优过程）如下：

小 M 的询问	小 J 的反馈
$a_2 = 3$	$a_2$ 没有被选中
$a_4 = 6$	$6(= 6^1 \bmod 7)$，$1(=6^2 \bmod 7)$
$a_3 = 4$	$4(= 4^1 \bmod 7)$，$1(=4^3 \bmod 7)$

$3$ 次询问后小 J 所选出的所有数都已被小 M 确定，游戏结束。

小 M 还有作业没有写完，因此他需要对游戏进行的时间进行评估。他想知道为了使游戏结束，他所需要做出询问的最小次数的期望 $S$ 是多少。

为了避免精度误差，你需要输出答案乘 $(2^n - 1)$ 后模 $998244353$ 的余数。在本题中，你可以认为小 J 每次在选数时会在集合 $\{a_1, a_2, \cdots, a_n\}$ 的全部非空子集中等概率地选择一个，在这个前提下可以证明 $(2^n - 1) \times S$ 一定是一个整数。

第一行两个正整数 $n$ 和 $p$。

第二行 $n$ 个正整数，依次表示 $a_1, a_2, \cdots, a_n$。

仅一行一个整数表示答案。

对于所有测试点：$1 \leq n \leq 5000$，$3 \leq p \leq 10^8$，$1 \leq a_i < p\ (1 \leq i \leq n)$ 且 $a_i$ 两两不同。

对于所有编号为奇数的测试点，保证 $p$ 是一个素数；对于所有编号为偶数的测试点，保证存在奇素数 $q$ 和正整数 $k > 1$ 使得 $p = q^k$。

测试点编号	$n\leq$	$p\le$	特殊性质	测试点编号	$n\leq$	$q\le$	特殊性质
$1$	$10$	$100$	无	$2$	$10$	$100$	无
$3$	$10$	$100$	无	$4$	$10$	$100$	无
$5$	$200$	$5000$	无	$6$	$200$	$5000$	无
$7$	$300$	$10^6$	无	$8$	$300$	$10^6$	无
$9$	$300$	$10^6$	A	$10$	$300$	$10^6$	B
$11$	$5000$	$10^7$	A	$12$	$5000$	$10^7$	无
$13$	$5000$	$10^7$	无	$14$	$5000$	$10^7$	无
$15$	$5000$	$10^8$	A	$16$	$5000$	$10^8$	B
$17$	$5000$	$10^8$	无	$18$	$5000$	$10^8$	无
$19$	$5000$	$10^8$	无	$20$	$5000$	$10^8$	无

特殊性质 A：在模 $p$ 意义下 $3^i\ (1 \leq i \leq p - 1)$ 两两不同余。

特殊性质 B：对所有的 $1 \leq i \leq n$ 都有 $(a_i, p) > 1$。