CF1770D.Koxia and Game

Koxia and Mahiru are playing a game with three arrays $a$, $b$, and $c$ of length $n$. Each element of $a$, $b$ and $c$ is an integer between $1$ and $n$ inclusive.

The game consists of $n$ rounds. In the $i$-th round, they perform the following moves:

• Let $S$ be the multiset ${a_i, b_i, c_i}$.
• Koxia removes one element from the multiset $S$ by her choice.
• Mahiru chooses one integer from the two remaining in the multiset $S$.

Let $d_i$ be the integer Mahiru chose in the $i$-th round. If $d$ is a permutation$^\dagger$, Koxia wins. Otherwise, Mahiru wins.

Currently, only the arrays $a$ and $b$ have been chosen. As an avid supporter of Koxia, you want to choose an array $c$ such that Koxia will win. Count the number of such $c$, modulo $998\,244\,353$.

Note that Koxia and Mahiru both play optimally.

$^\dagger$ A permutation of length $n$ is an array consisting of $n$ distinct integers from $1$ to $n$ in arbitrary order. For example, $[2,3,1,5,4]$ is a permutation, but $[1,2,2]$ is not a permutation ($2$ appears twice in the array), and $[1,3,4]$ is also not a permutation ($n=3$ but there is $4$ in the array).

Koxia 和 Mahiru 正在玩一个涉及三个长度为 $n$ 的数组 $a$、$b$ 和 $c$ 的游戏。数组 $a$、$b$ 和 $c$ 的每个元素均为介于 $1$ 到 $n$（含）之间的整数。

游戏共进行 $n$ 轮。在第 $i$ 轮中，他们执行以下操作：

• 令 $S$ 为多重集 $\{a_i, b_i, c_i\}$。
• Koxia 自主选择并从多重集 $S$ 中移除一个元素。
• Mahiru 从 $S$ 中剩余的两个元素中任选一个整数。

设 $d_i$ 表示 Mahiru 在第 $i$ 轮中所选的整数。若数组 $d = [d_1, d_2, \dots, d_n]$ 是一个排列$^\dagger$，则 Koxia 获胜；否则 Mahiru 获胜。

目前，仅数组 $a$ 和 $b$ 已被选定。作为 Koxia 的忠实支持者，你希望选定一个数组 $c$，使得 Koxia 必然获胜。请计算满足条件的数组 $c$ 的个数，并对 $998\,244\,353$ 取模。

注意：Koxia 和 Mahiru 均采取最优策略。

$^\dagger$ 长度为 $n$ 的排列指由 $1$ 到 $n$（含）这 $n$ 个互不相同的整数以任意顺序组成的数组。例如，$[2,3,1,5,4]$ 是一个排列，但 $[1,2,2]$ 不是排列（数组中 $2$ 出现了两次），$[1,3,4]$ 也不是排列（此时 $n = 3$，但数组中出现了 $4$）。

Each test consists of multiple test cases. The first line contains a single integer $t$ ($1 \leq t \leq 2 \cdot 10^4$) — the number of test cases. The description of test cases follows.

The first line of each test case contains a single integer $n$ ($1 \leq n \leq {10}^5$) — the size of the arrays.

The second line of each test case contains $n$ integers $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \leq a_i \leq n$).

The third line of each test case contains $n$ integers $b_1, b_2, \dots, b_n$ ($1 \leq b_i \leq n$).

It is guaranteed that the sum of $n$ over all test cases does not exceed ${10}^5$.

每个测试包含多个测试用例。第一行包含一个整数 $t$（$1 \leq t \leq 2 \cdot 10^4$），表示测试用例的数量。随后是各测试用例的描述。

每个测试用例的第一行包含一个整数 $n$（$1 \leq n \leq {10}^5$），表示数组的大小。

每个测试用例的第二行包含 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \dots, a_n$（$1 \leq a_i \leq n$）。

每个测试用例的第三行包含 $n$ 个整数 $b_1, b_2, \dots, b_n$（$1 \leq b_i \leq n$）。

保证所有测试用例的 $n$ 值之和不超过 ${10}^5$。

Output a single integer — the number of $c$ makes Koxia win, modulo $998\,244\,353$.

输出一个整数——使得 Koxia 获胜的 $c$ 的个数，对 $998\,244\,353$ 取模。

In the first test case, there are $6$ possible arrays $c$ that make Koxia win — $[1, 2, 3]$, $[1, 3, 2]$, $[2, 2, 3]$, $[2, 3, 2]$, $[3, 2, 3]$, $[3, 3, 2]$.

In the second test case, it can be proved that no array $c$ makes Koxia win.

在第一个测试用例中，共有 $6$ 种可能的数组 $c$ 可使 Koxia 获胜——$[1, 2, 3]$、$[1, 3, 2]$、$[2, 2, 3]$、$[2, 3, 2]$、$[3, 2, 3]$、$[3, 3, 2]$。

在第二个测试用例中，可以证明不存在任何数组 $c$ 能使 Koxia 获胜。