A49453.计算平方 题解

首先通过观察发现，答案为 $\frac{n(n+1)}{2}$。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll _,n;
inline void solve(){
    cin>>n;
    cout<<n*(n+1)/2<<'\n';
    return;
}
int main(){
    cin>>_;
    while(_--) solve();
    return 0;
}

证明：

分类讨论 $n$ 的奇偶性。

若 $n$ 为偶数：

$$|\sum_{i=0}^n (-1)^i \times (n-i)^2| \\ =-1^2+2^2-3^3+4^4-\dots+n^2 \\ = 2^2+4^2+\dots+n^2-(1^2+3^2+\dots+(n-1)^2) \\ =4(1^2+2^2+\dots+(\frac{n}{2})^2)-(1^2+2^2+3^2+\dots+n^2-(2^2+4^2+\dots+n^2)) \\ =\frac{8\frac{n}{2}(\frac{n}{2}+1)(n+1)}{6}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ =\frac{2n^3+6n^2+4n}{6}-\frac{2n^3+3n^2+n}{6} \\ =\frac{3n^2+3n}{6} \\ =\frac{n(n+1)}{2} \\$$

若 $n$ 为奇数，同理。