#创作计划# 论sigma的含义及应用

yaonainai

2025-08-11 21:30:04

发布于：浙江

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0.前言

也是被我同学鄙视了好吧！！！
那么，从今天开始，我要认真学数学了。最近数学社团在讲 $sigma$ ，那就写一篇关于 $sigma$ 的介绍吧。

1.sigma的由来

$sigma$ (表示为 $Σ$ )是希腊字母表中的第 $18$ 个字母，在数学中被用来表示 “求和”。
想象一下，如果要计算 $1+2+3+4+5$ ，虽然不难，但如果要计算 $1+2+3+……+1000$ ，逐个书写就太麻烦了。这时， $sigma$ 符号就能派上大用场，用它可以把长长的加法算式浓缩成一个简洁的表达式。

2.sigma的理解

在写法上的理解

$sigma$ 的基本写法是： $\sum_{i=a}^{b} f(i)$ ，其中：
$Σ$ 是 $igma $ 符号，代表 “总和”；
$i$ 是求和变量，也叫 “索引”，可以是任何字母，常见的有 $i,j,k$ 等；
$a$ 是下限，表示求和开始时变量的值；
$b$ 是上限，表示求和结束时变量的值；
$f(i)$ 是求和表达式，表示每个项的计算规则。
整个表达式的意思是：当变量 $i$ 从 $a$ 开始，每次增加 $1$ ，一直到 $b$ 时，将所有 $f(i)$ 的值加起来。

在c++中的理解

我们可以把 $sigma$ 函数当作 $for$ 循环，进行一系列累计，具体见下面的代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int a,b,sum=0;//分别表示下限和上限
    for(int i=a;i<=b;i++)// 变量i从a开始，每次增加1，一直到b
        sum+=f(i);//将需要计算的f(i)进行累加
    cout<<sum<<endl;//输出答案
    return 0;
}

3.sigma的用法

基本用法：简单数列求和

最基础的 $sigma$ 用法是计算连续整数的和。例如， $\sum_{i=1}^{5} i$ ，这里下限 $a=1$ ，上限 $b=5$ ，表达式 $f(i)=i$ ，它表示的就是 1+2+3+4+5，计算结果为 15。
再比如， $\sum_{k=3}^{6} k$ ，就是 $3+4+5+6$ ，结果是 $18$ 。

表达式含常数的求和

当求和表达式中出现常数时，计算方法也很简单。比如 $\sum_{i=1}^{4} 3$ ，表示有 $4$ 个 $3$ 相加，即 $3+3+3+3=12$ 。这里可以总结出一个规律： $\sum_{i=a}^{b} c = c \times (b - a + 1)$ ，其中 $c$ 是常数， $(b−a+1)$ 是项数。

表达式含变量倍数的求和

如果表达式是变量的倍数，如 $\sum_{i=1}^{3} 2i$ ，它表示的是 $2×1 + 2×2 + 2×3 = 2 + 4 + 6 = 12$ 。也可以把倍数提到 $sigma$ 外面，即 $2\times\sum_{i=1}^{3} i = 2\times(1 + 2 + 3)=2\times6=12$ ，结果是一样的。

多个表达式的求和

当 $sigma$ 的表达式是多个项的和或差时，可以拆分成多个 $sigma$ 的和或差。例如 $\sum_{i=1}^{2} (i + 2i^2)$ ，可以拆分为 $\sum_{i=1}^{2} i + \sum_{i=1}^{2} 2i^2$ 。
先计算 $\sum_{i=1}^{2} i = 1 + 2 = 3$ ；再计算 $\sum_{i=1}^{2} 2i^2 = 2×1^2 + 2×2^2 = 2 + 8 = 10$ ；最后相加得 $3 + 10 = 13$ ，和直接计算 $(1 + 2×1²)+(2 + 2×2²)= (1 + 2)+(2 + 8)=3 + 10=13$ 结果一致。

进阶用法：双重 sigma 求和

双重 $sigma$ 是指存在两个求和变量的情况，形如 $\sum_{i=a}^{b}\sum_{j=c}^{d}f(i,j)$ ，表示先固定 $i$ 的值，对 $j$ 从 $c$ 到 $d$ 的所有 $f (i,j)$ 求和，再将得到的结果对 $i$ 从 $a$ 到$ $b$ 求和。
例如 $\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}(i + j)$ ，先计算 $i=1$ 时， $j$ 从 $1$ 到 $2$ 的和： $(1+1)+(1+2)=2+3=5$ ；再计算 $i=2$ 时， $j$ 从 $1$ 到 $2$ 的和： $(2+1)+(2+2)=3+4=7$ ；最后将两个结果相加， $5+7=12$ 。

变量步长不为 1 的求和

之前我们接触的求和变量都是每次增加 1，其实变量的步长可以是其他数值。比如 $\sum_{\substack{i=1 \\ i+=2}}^{5}i$ ，这里 $i$ 从 $1$ 开始，每次增加 $2$ ，到 $5$ 结束，它表示的是 $1+3+5=9$ 。

含分式的求和

当表达式中含有分式时，计算过程稍显复杂，但原理不变。例如 $\sum_{i=1}^{3}\frac{i}{i + 1}$ ，分别计算每一项：
$i=1$ 时， $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$
$i=2$ 时， $\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$
$i=3$ 时， $\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$
求和， $\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{6}{12}+\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{23}{12}$ .

4.sigma在c++中的例题

题目传送门

题目描述

给定一个长度为 $N$ 的整数序列 $A=(A_1,A_2,\ldots,A_N)$ 。定义 $f(l,r)$ 如下：

$f(l,r)$ 表示区间 $(A_l,A_{l+1},\ldots,A_{r-1},A_{r})$ 中不同数的个数。

请计算下式的值：

$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=i}^N f(i,j)$

输入格式

输入以如下格式从标准输入中给出。

$N$ $A_1$ $A_2$ $\ldots$ $A_N$

输出格式

请输出答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
1 2 2

输出 #1

输入输出样例 #2

输入 #2

9
5 4 2 2 3 2 4 4 1

输出 #2

限制条件

$1\leq N\leq 2\times 10^5$
$1\leq A_i\leq N$
输入的所有数均为整数

样例解释 1

以 $f(1,2)$ 为例， $(A_1,A_2)=(1,2)$ ，其中不同的数有 $2$ 个，所以 $f(1,2)=2$ 。再看 $f(2,3)$ ， $(A_2,A_3)=(2,2)$ ，其中不同的数有 $1$ 个，所以 $f(2,3)=1$ 。 $f$ 的总和为 $8$ 。

分析

ABC371E
对于每个区间，如果有重复的数，我们认为最早出现的那个数有贡献。
例如 $1,2,3,4,1,4,5$ 中，第 $1,2,3,4,7$ 个数对答案有贡献。
统计每个数对答案的贡献即可。
我们设 $j$ 为满足 $a_ j=a_i$ 且 $j<i$ 的最大值（若不存在为 $0$ ），那么 $a_i$ 的贡献就是 $(i−j)×(n−i+1)$ ，其中 $(i−j)$ 为左端点的可能数， $(n−i+1)$ 为右端点的可能数。

#include<bits/stdc++.h>//最水的洛谷绿题了
using namespace std;
#define int long long
int n,a[200005],ans;
unordered_map<int,int>mp;
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		ans+=(i-mp[a[i]])*(n-i+1);
		mp[a[i]]=i;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

5.完结撒花

@AC君求加精
@洛谷：姚昕辰,看到没有！！！
怎么只有3个赞QAQ，大家加吧劲

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全部评论 5

AAA混泥土批发ppl哥
事实上贴主在 $\LaTeX$ 规范上依旧存在很多问题

5小时前来自浙江
0
- AAA混泥土批发ppl哥
  回复AAA混泥土批发ppl哥
  为什么不对这个查严一点
  
  5小时前来自浙江
  0
菜猴子
%%%

7小时前来自广东
0
yaonainai
感谢支持

15小时前来自浙江
0
yaonainai
OK

昨天来自浙江
0
dchk-SY
自信のある人が最強！
帖主写的没什么大问题。但是我觉得帖主在对于求和符号的理解上有一些偏差。With respect，帖主没有从 $\Sigma$ 符号的本质上理解。
$\Sigma$ 并不是一个函数或者一个工具。和加减乘除一样，它只是一个记号，是典型的数学家们为了偷懒发明的级数求和的符号。（~~数学者たちは時間を節約するために苦労していますね~~）
一般地，除非级数和特别容易计算，否则我们一般不会去展开求和。
备注：数学上习惯的称呼是求和符号。
如果还有什么解释上的问题，但讲无妨。

昨天来自广东
0
- yaonainai
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  昨天来自浙江
  0