#创作计划# 素数篇（未完成）

‮‮༺དༀ༒∞░∞༒ༀཌ༻

2025-06-14 07:25:12

发布于：浙江

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本帖不是来水奖品的，只希望能上精华帖@AC君

言归正传，本帖是来讲素数的芝士的，废话不多说，见下↓

素数的定义：

素数，就是一个数的因数只有1和它本身，那么那个数就叫做素数，或质数。常见的素数有2,3,5等。0和1不是素数。详见小学数学书

来默写一下一百以内的素数：

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

素数的相关知识：

1：所有的合数都一定有一个素数作为其因数，也就是任意大于一的自然数，要么本身是素数，要么可以分解为几个素数之积，且这种分解是唯一的。

2：素数有无数个，合数也有无数个。

3：素数的个数公式 $π(x)$ 是不减函数。

4：假设n是一个正数，那么 $n^2$ 到 $(n+1)^2$ 中至少有一个素数。

5：假设n是大于等于2的正数，那么 $n$ 到 $n!$ 之间至少有一个素数。

6：假设n是一个素数，a小于n，那么有 $a^n ‌≡ 1(\bmod n)$

7：等等。

判断素数的方法：

方法一，试除法：

顾名思义，就是一个一个试过去，看看除了1和本身，是否含有其他的因数。优化后时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$

方法二

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 快速幂取模 (a^b mod n)
long long power_mod(long long a, long long b, long long n) {
    long long res = 1;
    a = a % n;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) res = (res * a) % n;
        b = b >> 1;
        a = (a * a) % n;
    }
    return res;
}

// Miller-Rabin 检测核心
bool miller_test(long long d, long long n) {
    long long a = 2 + rand() % (n - 4); // 随机基数 [2, n-2]
    long long x = power_mod(a, d, n);
    if (x == 1 || x == n - 1) return true;

    while (d != n - 1) {
        x = (x * x) % n;
        d *= 2;
        if (x == 1) return false;
        if (x == n - 1) return true;
    }
    return false;
}

// 主函数：k为检测迭代次数（默认5次）
bool is_prime(long long n, int k = 5) {
    if (n <= 1 || n == 4) return false;
    if (n <= 3) return true;

    long long d = n - 1;
    while (d % 2 == 0) d /= 2; // 分解 n-1 = 2^s * d

    for (int i = 0; i < k; i++) {
        if (!miller_test(d, n)) return false;
    }    
    return true;
}

int main() {
    srand(time(0)); // 初始化随机种子
    long long num;

    cin >> num;
    cout <<  (is_prime(num) ? "Yes":"No") << endl;
    return 0;
}