#创作计划#数学三角形全等知识点详细解析

Lexora_

2025-07-30 19:32:49

发布于：浙江

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现在进入正题讲解

一、三角形全等的基础认知

（一）全等形与全等三角形的定义

全等形

能够完全重合的两个图形叫做全等形。想象一下，你用两张同样大小的正方形卡纸，把它们精准地叠在一起，没有任何缝隙、也没有重叠部分，这两张正方形卡纸就是全等形。再比如，两个形状、大小完全一致的圆形徽章，它们也是全等形。全等形的核心特征就是形状和大小都完全相同，这是判断两个图形是否为全等形的 “金标准” 。
全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。当把两个全等三角形重合时，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。举个例子，有 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ ，当它们完美重合，点 $A$ 和点 $D$ 重合，点 $B$ 与点 $E$ 重合，点 $C$ 与点 $F$ 重合，那么 $A$ 与 $D$ 是对应定点， $AB$ 与 $DE$ 是对应边， $\angle A$ 与 $\angle D$ 是对应角。

（二）全等三角形的性质

对应边相等

全等三角形的对应边长度肯定相等。若 $\triangle ABC\cong \triangle DEF$ ，那必然有 $AB=DE,BC=EF,AC=DF$ 。你可以动手做个小实验，用硬纸板剪出两个全等的三角形，拿尺子量一量对应的边，会发现长度丝毫不差。在解题时，要是知道一个三角形的三边长度，求与之全等的另一个三角形的某条边，直接用对应边相等就能轻松得出结果。比如，已知 $\triangle ABC$ 三边为 $3cm、4cm、5cm$ ，且 $\triangle ABC\cong \triangle DEF$ ， $AB=3cm$ 对应 $DE$ ，那 $DE$ 就是 $3cm$ 。
对应角相等

全等三角形的对应角大小相等。即 $\triangle ABC\cong \triangle DEF$ 时， $\angle A=\angle D，\angle B=\angle E，\angle C=\angle F$ 。同样用测量的方法验证，拿三角板的角度去比对全等三角形的对应角，度数肯定一样。在求角的度数问题里，已知一个三角形的角的度数，求全等三角形对应角的度数，就靠这个性质。比如 $\triangle ABC$ 中 $\angle A=60^\circ$ ， $\triangle ABC\cong\triangle DEF$ ，那么 $\angle D$ 就是 $60^\circ$
衍生性质

因为对应边、对应角相等，所以全等三角形周长相等、面积也相等。周长是三边长度和，对应边相等，周长自然相等；三角形面积公式是 $S=\frac{1}{2}ah$ （ $a$ 是底， $h$ 是与底对应的高），全等三角形对应边当底时，对应的高也相等（对应角相等，高与边的夹角也对应相等，通过几何推理能证高相等），所以面积相等。像两个全等的直角三角形，三边对应相等，周长相同，以相同直角边为底和高算面积，结果也一样。

二、三角形全等的判定定理

（一）边边边（SSS）判定定理

定理内容

三边分别相等的两个三角形全等。用符号表示：在 $\triangle ABC 和 \triangle DEF$ 中，若 $AB=DE，BC=EF，AC=DF$ ，则 $\triangle ABC\cong \triangle DEF$ （SSS）
推理验证

通过作图理解验证。给定三边长度，比如 $3cm、4cm、5cm$ ，用直尺和圆规画两个三角形，会发现它们能完全重合，证明三边相等的两个三角形全等。解题时，找到两个三角形三边对应相等，就能判定全等。比如三角形框架，三边长度固定，形状大小就固定，另一个三边相同的框架，肯定和它全等。
例题应用

已知：如图， $AB=CD,AD=CB$ ，求证 $\triangle ABC\cong \triangle CDA$ 。

证明：在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle CDA$ 中
$\begin{cases} AB = CD \\ BC = DA (公共边) \\ AC = CA \end{cases}$

所以 $\triangle ABC\cong\triangle CDA$ （SSS）。这里 $AC$ 是公共边，结合已知 $AB=CD$ ， $AD=CB$ （即 $BC=DA$ ），满足三边对应相等，判定全等

（二）边角边（SAS）判定定理

定理内容

两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。符号表示：在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，若 $AB=DE,\angle B=\angle E,BC=EF$ ，则 $\triangle ABC\cong \triangle DEF$ （SAS）。注意，必须是两边及其夹角，两边和其中一边的对角相等（SSA）不能判定全等。
几何推导

两边及其夹角确定，三角形形状大小就确定。因为两边长度和夹角确定，第三边长度可用余弦定理 $c^2=a^2+b^2-abc\cos C$ （ $a、b$ 是两边， $C$ 是夹角， $c$ 是第三边）确定，所以第三边唯一，三角形全等。比如已知两边 $2cm、3cm$ ，夹角 $60^∘$ ，画的三角形形状大小固定，另一个满足条件的也能重合。

例题与易错点

例题：已知 $AC$ 和 $BD$ 相交于 $O$ ， $OA=OC$ ， $OB=OD$ ，求证： $\triangle AOB\cong \triangle COD$ 中，

证明：在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle COD$ 中

$\begin{cases} OA = OG \\ \angle AOB = \angle COD (对顶角相等） \\ OB = OD \end{cases}$

所以 $\triangle AOB\cong \triangle COD$ (SAS)。这里 $\angle AOB$ 和 $\angle COD$ 是对顶角相等，结合已知边相等，满足 SAS，判定全等。

易错点（SSA 反例）：在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ABD$ 中， $AB=AB$ , $AC=AD$ , $\angle B=\angle B$ ，但两三角形不全等。因为 $\angle B$ 不是 $AC、AD$ 的夹角，所以不能用 SAS 判定，说明必须是两边及其夹角才能判定。

（三）角边角（ASA）判定定理

定理内容

两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。符号表示：在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，若 $\angle A=\angle D,AB=DE,\angle B=\angle E$ ，则 $\triangle ABC\cong \triangle DEF$ (ASA)。

原理分析

两角及其夹边确定，三角形形状大小就确定。三角形内角和 $180^∘$ ，已知两个角，第三个角也确定（ $\angle C=180^∘-\angle A-\angle B，\angle F=180^∘=\angle D-\angle E$ ，所以 $\angleＣ＝\angle F$ ），夹边相等，用 SSS 或 SAS 也能推全等。作图时，给定两角及其夹边长度，只能画一个三角形，所以这样的两个三角形全等。比如已知 $\angle A=60^\circ$ ， $\angle B=70^\circ$ ，夹边 $AB=5cm$ ，画的三角形形状大小固定，另一个满足条件的能重合。

例题应用

已知：点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 在 $AC$ 上， $AB=AC$ ， $\angle B=\angle C$ ，求证： $\triangle ABE\cong \triangle ACD$ 。

证明：在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ACD$ 中，

$\begin{cases} \angle A = \angle A \\ AB = AC\\ \angle B = \angle C \end{cases}$

所以 $\triangle ABE\cong \triangle ACD$ (ASA)。这里 $\angle A$ 是公共角， $AB=AC$ 是夹边， $\angle B=\angle C$ 是另外两角，满足 ASA，判定全等。

（四）角角边（AAS）判定定理

定理内容

两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。符号表示：在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，若 $\angle A=\angle D$ ， $\angle B=\angle E$ ， $BC=EF$ ，则 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ （AAS）。AAS 可由 ASA 推导，因为三角形内角和 $180^\circ$ ，已知两个角相等，第三个角也相等，就转化为 ASA 情况。比如 $\angle A=\angle D$ ， $\angle B=\angle E$ ，则 $\angle C=\angle F$ ，若 $BC=EF$ ( $BC$ 是 $\angle A$ 的对边， $EF$ 是 $\angle D$ 的对边)，可判定全等

与 ASA 的关系推导

由 $\angle A=\angle D$ ， $\angle B=\angle E$ ，得 $\angle C=\angle F$ (内角和定理)。若 $BC=EF$ ，在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中， $\angle B=\angle E$ ， $BC=EF$ ， $\angle C=\angle F$ ，满足 ASA（两角及其夹边相等， $BC$ 是 $\angle B$ 和 $\angle C$ 的夹角），所以 AAS 是 ASA 的延伸，基于内角和推导而来。

例题应用

已知： $\angle 1=\angle 2,\angle C=\angle D$ ，求证： $\triangle ABC\cong \triangle ABD$

证明：在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ABD$ 中，

$\begin{cases} \angle C = \angle D \\ \angle1 = \angle 2\\ AB = AB \end{cases}$

所以 $\triangle ABC\cong\triangle ABD$ (AAS)。这里 $\angle 1=\angle 2,\angle C=\angle D$ ， $AB$ 是 $\angle C、\angle D$ 中一角的对边，满足 AAS，判定全等。

（五）斜边、直角边（HL）判定定理（仅适用于直角三角形）

定理内容

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。符号表示：在 $Rt\triangle ABC$ 和 $Rt\triangle DEF$ 中，若 $AB=DE$ （斜边）， $AC=DE$ （直角边），则 $Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEF$ (HL)。直角三角形有直角相等（ $\angle C=\angle F=90^\circ$ )，加斜边和一条直角边相等，可判定全等。
特殊性与验证

HL 是直角三角形特有的全等判定方法，不适用于一般三角形。作图验证：给定斜边和一条直角边长度，画直角三角形，只能画一种，所以斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等。解直角三角形全等问题，HL 常用，尤其已知直角边和斜边时。
例题应用

已知： $AC\perp BC$ ， $BD\perp AD$ ， $AC=BD$ ，求证： $BC=AD$ 。
证明：因为 $AC\perp BC$ ， $BD\perp AD$ ， $AC=BD$ ，所以 $\angle C=\angle D=90°。$
在 $Rt\triangle ABC$ 和 $Rt\triangle BAD$ 中，

$\begin{cases} AC = BD \\ &（公共斜边）\\ AB= BA \end{cases}$

所以 $Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle BAD$ (HL)。
所以 $BC=AD$ （全等三角形对应边相等）。用 HL 判定直角三角形全等，得出对应边相等结论。

三、三角形全等的证明思路与方法

（一）寻找全等条件的一般步骤

观察图形与已知条件

先观察图形，找公共边、公共角、对顶角等隐含相等条件。公共边是两三角形共有的边，相等；公共角是共有的角，相等；对顶角相等是基本性质，在相交线中常见，可作为全等条件。同时梳理已知的边、角相等条件，整理好方便分析。
确定要证明全等的三角形

根据题目要求，确定需证明全等的两个三角形。有时需通过中间三角形或多次证明全等，才能得到最终全等关系。比如要证两条边相等，可能先证包含这两边的三角形全等，而这又依赖另外两个三角形全等。
分析所需判定定理

根据已知条件，结合全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL ），分析还需哪些条件。已知两边，找夹角（SAS）或第三边（SSS）；已知两角，找夹边（ASA）或其中一角的对边（AAS）；直角三角形考虑 HL 。缺少条件，用平行线性质、角平分线性质、中线性质等推导。

（二）常见的辅助线做法（在证明全等中常用）

连接线段构造全等三角形

当图形中存在分散的线段或角，通过连接某条线段，能构造出可证全等的三角形。比如，四边形中，连接对角线，把四边形分成两个三角形，利用三角形全等解决问题。
截取线段构造全等

在较长线段上截取一段等于已知线段，构造全等三角形。例如，要证某线段等于另两条线段和，可在长线段上截一段等于其中一条，证剩下部分等于另一条，通过全等实现。
作垂线或平行线构造全等

作垂线可构造直角三角形，利用 HL 或其他直角三角形全等判定定理；作平行线能利用平行线性质（同位角相等、内错角相等），构造相等角，为全等创造条件。