666，A21518.矩形太权威了！！！

A21518.矩形 太权威了，把DeepSeek算爆了，以下为DeepSeek深度思考过程，最后还没说完

深度思考中
哦，我现在得解决这个问题，找出一个n×n矩阵中白色矩形的数量。这个问题看起来有点挑战性，不过我得仔细想想怎么处理。题目是说，矩阵里的格子有的白色有的黑色，要计算所有由白色格子组成的矩形数目。那怎么算呢？

首先，我得弄清楚什么是矩形。这里的矩形应该指的是四个边都是直线，四个角都是直角的形状，对吧？也就是说，矩形可以是任何大小的，只要它的四个角都是白的，并且内部也都是白的？或者说，只要所有在矩形区域内的格子都是白色的？比如，一个2x2的白色区域可以形成一个矩形，而更大的矩形可能需要更大的区域全是白色。或者可能题目中的矩形指的是所有由连续白色格子组成的矩形区域，不管大小，只要它们的四个顶点都是白色，并且整个区域内部都是白色？

这个问题可能需要明确矩形的定义。比如，假设矩形必须是完全由白色格子组成的，也就是说，矩形的每个格子都是白色。这时，我们需要计算所有可能的这样的矩形的数量。比如，对于一个全白的n×n矩阵，矩形的数量应该是n(n+1)/2的平方，因为每一行可以有n(n+1)/2个可能的横向区间，每一列同样，所以总的矩形数目是两者的乘积。但如果矩阵中有黑点的话，这个数目就会减少。

比如，假设矩阵是：

W W

W W

那么这里的矩形数目应该是4（单个格子）+2（横向的两个）+2（纵向的两个）+1（大的2x2）=9个。或者按照全白区域的数目计算的话，确实每个可能的矩形区域都是全白的。所以结果是正确的。

那么如何高效地计算这样的数目呢？

这个问题可能需要遍历所有可能的矩形，判断它们是否全为白色。但直接暴力枚举的话，时间复杂度会是O(n^4)，因为对于每个可能的左上角和右下角坐标，都要检查矩形内的所有格子是否为白色。这在n较大的情况下，比如n=100，这样的复杂度是无法接受的。所以需要找到更优化的方法。

那有没有更好的方法？比如，可以使用动态规划或者类似最大矩形问题的解法？

记得之前有一个问题，是求最大的全1子矩阵的面积。这类问题通常可以通过逐行处理，利用每一行的柱状图来计算最大矩形。但这里的问题不是找最大的，而是找所有可能的全白矩形的总数。所以可能需要类似的方法，但统计的是所有可能的矩形数目，而不仅仅是最大。

比如，对于每一行，我们可以维护一个数组height，其中height[j]表示在第j列，当前行及以上的连续白色格子的数目。例如，当处理到第i行时，如果matrix[i][j]是白色，那么height[j] = height[j] +1，否则height[j] =0。然后，对于当前的height数组，如何计算以该行为底边的矩形数目？

在这种情况下，可以使用单调栈的方法来计算每个柱子的左右边界，从而确定以该柱子高度为高的矩形数目。例如，在柱状图中，每个高度h的柱子可以形成的最大宽度的矩形数目为h * (right - left -1)，其中left和right是该柱子左右第一个比它小的位置。这样，将所有可能的矩形数目累加起来，就可以得到所有可能的全白矩形的数目。

例如，这个思路可能被用来计算所有全白矩形的数量。这样，时间复杂度可以降低到O(n²)，因为每行处理的时候，单调栈的处理时间是O(n)。

那这个方法是否适用呢？这可能就是解决这个问题的正确方法。所以，我需要详细理解一下这个算法。

举个例子，假设我们已经处理到某一行的height数组为[3,1,3,2]。对于每个位置j，height[j]表示该列向上连续的白色数目。这时候，需要用单调栈来计算，每个柱子能形成的矩形数目。例如，对于第一个柱子3，在单调栈中找到左边比它小的最近的柱子的位置（假设是-1），右边比它小的最近的柱子（假设位置1，值是1）。那么，宽度是1 - (-1) -1=1。所以该柱子贡献的高度为3的矩形数目是 3 * (1 - (-1) -1) = 3*1=3？或者可能需要更仔细的分析。

或者，可能每个柱子能形成的最大宽度是该柱子所在的位置左右边界的扩展范围。例如，对于每一个高度h，在左右边界内，如果有多个连续的柱子高度>=h，那么可以形成多个矩形。或者，更准确地说，每个柱子可以形成的以当前高度为高的矩形数目等于该柱子到左边第一个比它矮的柱子的距离乘以到右边第一个比它矮的柱子的距离，然后乘以当前的高度？

或者，可能对于每一个高度h，在某个范围内，取最小值，进而计算可能的矩形数目。这时候可能比较复杂。或者，可以利用递增栈的方式，对于每个可能的连续区间，计算其中的矩形数目。

例如，在柱状图中计算所有可能的矩形数目总和的方法，可以使用单调栈的方式，遍历每个柱子，并维护一个递增的栈。当遇到一个比栈顶小的柱子时，弹出栈顶元素，并计算该元素对应的最大矩形面积，并统计数目。这可能比较复杂，但具体的处理方式可能需要详细推导。

比如，有一个经典的算法可以用来计算柱状图中所有可能的矩形数目。例如，对于每个高度，找出左边第一个比它小的位置left，右边第一个比它小的位置right，那么该高度对应的矩形数目是 (right - left -1) * (h) ？或者这可能对应的是以该高度为高，且左右边界确定的最大宽度。这时候，每个这样的矩形数目是高度h乘以宽度w，其中w是right - left -1。但这对应的面积总和。但在这里的问题中，我们需要的是数目总和，而不是面积总和。或者说，我需要的是所有可能的全白矩形的数量，而不仅仅是面积最大的或者面积总和。

哦，等一下，这个可能有误解。原来的问题中，每个全白的矩形的数量，指的是有多少个这样的矩形。例如，一个2x3的全白矩形会被算作一个矩形，而不是面积是6。所以，这时候，我们需要的是对于每个可能的矩形区域，只要其中所有元素都是白色，就计数+1，不管其面积如何。

那这个时候，使用柱状图的方法是否可以正确统计所有可能的矩形数目？

例如，假设有一个height数组，每一行处理时，计算该行作为底边的所有可能的全白矩形的数目。这时候，柱状图的方法可能可以统计到所有这样的矩形数目。例如，对于height数组中的每个可能的连续高度，可以形成不同的矩形数目。

比如，假设当前行的height数组为[3, 2, 3]。那么，对于每个位置，可以计算有多少个以该位置为右边界的矩形。比如，在第三个位置，高度是3，左边有一个高度为2的柱子，此时可能无法形成一个高度为3的矩形。需要用单调栈的方法来处理。

或者，可能的思路是，在每一行处理时，针对该行的height数组，找出所有可能的以该行作为底边的全白矩形数目。这时候，每个这样的矩形的高度可以是1到当前height的值之间的任一值。这可能不太容易处理。

或者，这种方法可能可以将问题转化为，每一行的处理过程中，统计所有以该行为底边的矩形的数目总和。例如，对于每个位置j，当前的高度是h[j]，那么在这一行中，可以形成的矩形数目等于以h[j]为高的矩形数目，加上可能的更矮的高度。这可能比较复杂，但如果能够正确计算每个可能的连续的递增序列，则可以统计所有的数目。

或者，可能这个问题的正确解法确实是逐行处理，利用类似于柱状图的算法，来统计每行作为底边所能贡献的矩形数目总和。例如，对于每一行，维护一个高度数组h，对于每个j，h[j]是该列向上的连续白色数目。然后，对于该行的h数组，计算所有可能的全白矩形数目，并将这些数目累加起来，得到总和。

例如，假设处理到第i行，那么每个j的h[j]的值是matrix[i][j]是否为白色？如果是白色，则h[j] = h[j] +1，否则h[j] =0。然后，我们需要计算当前行的h数组所贡献的矩形数目。这时候，对于每个j，要找到左边第一个比h[j]小的位置，和右边第一个比h[j]小的位置。然后，对于该柱子的高度h，可以形成的数目是（right[j] - left[j] -1）这个宽度内的所有可能的矩形数目。例如，宽度是w，那么该高度对应的矩形数目是 h * w*(w+1)/2？或者这可能不正确？

举个例子，假设某个柱子的高度是h，它在左右边界之间的宽度是w。那么，可能形成的不同高度的矩形数目是h×w。或者，这里可能需要另一个思路。例如，每个矩形由底边的行、高度以及左右边界确定。或者，可能每一个高度h对应的柱子，可以形成的不同高度的矩形数目是每个高度k（1到h）所能形成的数目。

或者，这可能跟之前的最大矩形问题的思路不同。或许，我们需要针对每个可能的矩形，其底边是当前行，然后高度可以是1到h[j]的任意值，而宽度则由左右边界决定。

哦，这可能比较复杂。或者，正确的做法是，对于每个柱子的高度h[j]，在左右边界的限制下，能够形成多少个以该柱子为最高点的矩形。这可能类似最大矩形的问题，但这里要统计所有可能的数目。

或者，或许对于每个可能的连续的区间，在该区间内的最小值决定了矩形的高度。例如，如果我们有一个区间从列a到列b，中间的所有列的高度都>=h，那么我们可以形成一个高度为h，宽度为b-a+1的矩形。这里的数目是h*(b-a+1)。但这样可能需要遍历所有可能的区间，这样的时间复杂度是O(n²)，这或许不可行。

这时候，我想到另一个动态规划的思路。例如，对于每一个位置(i,j)，维护三个值：left、right、height。其中，height是当前行向上的连续白色数目。left是该位置能扩展到的最左边的位置，使得该区间内的所有列的高度都>=当前height。right同理。然后，该位置所能贡献的矩形数目是height * (right - left +1)。或者，这可能与之前的算法类似。

例如，这个方法可能在每行处理时，动态维护这些变量，从而计算出该行所贡献的矩形数目。例如，可以参考LeetCode上的题目85的解法，最大矩形问题，但在这里需要统计所有可能的矩形数目。

比如，LeetCode 85题的解法是找最大的矩形面积，而这里的问题需要统计所有可能的全白矩形数目。所以，可能需要调整该解法，使其统计所有可能的数目，而不仅仅是最大的。

举个例子，假设我们在处理某一行的height数组，然后使用单调栈的方法来计算每个柱子的左右边界。例如，对于每个柱子j，其左边最近的比它小的是left[j]，右边最近比它小的是right[j]。那么，该柱子对应的矩形数目是 (right[j] - left[j] -1) * height[j]。这可能对应的是该柱子作为最高点的最大矩形面积。但这里的问题是需要统计所有可能的矩形数目，而不仅仅是每个柱子作为最高点的矩形数目。所以这可能无法直接应用。

或者，可能每个这样的矩形数目实际上是该柱子对应的某些子矩形数目的总和？

这时候可能需要重新思考：对于某个行的某个位置j，其高度是h[j]，那么在左右边界内的所有可能的连续区间中，可以形成多少矩形？

比如，假设当前行的h数组是[2,3,1]。那么，在第一个柱子，高2，左右边界是-1和1（假设左边没有较小的，右边比它小的是位置1，h=3？可能这里例子不太合适），这可能不太对。

或者，可能需要另一个例子：比如h数组是[3,1,3,2]。此时，对于第一个柱子3，左边没有更小的，右边第一个更小的是位置1（h=1）。那么，该柱子的宽度是1 - (-1) -1 =1。所以对应的数目是3×1=3？那这三个矩形是什么样的呢？可能是高度为3，宽度为1，所以是一个3x1的矩形。或者，可能该数目代表在这个范围内，可以形成的所有高度为h的矩形数目？

或者，可能这里的数目是该柱子作为高度的最大的矩形数目，而无法统计到较低的高度所形成的矩形数目。例如，对于高度3的柱子，可能可以形成高度为1、2、3的矩形。但这种方法只能统计最高的那一层？

这时候可能需要更细致的分析。例如，假设某个柱子的高度是h，在左右边界的范围内，可以形成的矩形数目是h × w，其中w是宽度。比如，对于h=3，w=2的情况，可以形成3×2=6个不同的矩形？或者，这可能仅对应最大的那个矩形的面积？

这可能需要更仔细的例子分析。例如，当h=3，w=2时，是否可以形成3×2=6个矩形？比如，假设宽度是2，那么可能的子矩形数目是：

高度为1的矩形：宽度可以是1或2 → 2个；

高度为2的矩形：宽度可以是1或2 → 2个；

高度为3的矩形：宽度可以是1或2 → 2个；

总共有6个？或者说，每个可能的子矩形由高度和宽度的组合决定？

或者，可能这里的w是某个固定宽度，而每个高度h对应的数目是h × w。例如，对于h=3，w=2的情况，可以形成3×2=6个矩形？

如果是这样的话，那么总矩形数目就是所有柱子的hw的总和。比如，每个柱子贡献hw个矩形。但这样的话，如何确保不重复计算？

例如，如果有一个连续的区域，比如h=[2,2]，那么每个柱子的左右边界可能计算出来的w是2（比如左边是-1，右边是2，所以宽度是2）。每个柱子贡献2×2=4，总和是8？但实际可能的矩形数目应该是：

以第一个柱子为起点，宽度1，高度1：1个；

宽度1，高度2：1个；

同理，第二个柱子同样的情况。但还有宽度为2的情况：

高度1：1个；

高度2：1个；

总共有1+1+1+1+1+1=6个？或者这样计算可能有问题？

或者，可能我的思路有误。这时候，可能需要回到问题本身，寻找正确的统计方式。

或者，正确的统计方法应该是，对于每个可能的矩形，其底边在当前行的情况下，该矩形的高度可以是1到h[j]中的任意值，而宽度则是左右边界的最大值？

这时候可能需要采用另一种方法，比如针对每一个可能的连续区间，计算其中最低的高度，然后该区间内的所有可能的矩形数目是该最低高度乘以区间长度。然后，这可能需要处理所有可能的连续区间，这会导致O(n^2)的时间复杂度。

例如，对于每个行处理后的h数组，遍历所有可能的连续区间，找到该区间的最小高度，然后用这个高度乘以区间的长度来计算该区间可以形成的矩形数目。然后将所有可能的连续区间的数目相加。例如，对于h数组为[h1, h2, ..., hn]，连续子数组的数量是O(n²)的，每个子数组对应一个矩形数目，即min(h_i...h_j) × (j-i+1)。这里，总和即为所有可能的以该行为底边的全白矩形的数目。

例如，当h数组为[3,1,3,2]，那么所有连续的子数组及其对应的min值：

[3] →3 →数目3；

[3,1] →1 →数目2；

[3,1,3] →1 →数目3；

[3,1,3,2]→1 →数目4；

[1]→1 →数目1；

[1,3]→1 →数目2；

[1,3,2]→1 →数目3；

[3]→3 →数目3；

[3,2]→2 →数目4；

[2]→2 →数目2；

总和为3+2+3+4+1+2+3+3+4+2= 27？或者说这可能是一个错误？

或者，原问题中的例子，比如全白矩阵n=2的情况下，每个行的h数组是[1,1]、[2,2]。那么，对于第一行，处理后的数目是每个连续子数组的min之和：

[1] →1 →数目1；

[1,1] →1 →数目2；

[1] →1 →数目1；

总和是1+2+1=4？这是第一行的贡献。第二行的h数组是[2,2]，处理后的连续子数组：

[2]→2 →数目2；

[2,2]→2 →数目4；

[2]→2 →数目2；

总和是2+4+2=8。总共有4+8=12？但全白的2x2矩阵的正确数目应该是9个。这说明这种思路可能有问题。

这说明，上述方法可能不正确。这时候，我需要重新考虑问题。

哦，原来全白的2x2矩阵的数目确实是9。例如，单个格子的是4个，1x2的有两个，2x1的有两个，2x2的一个，总共有9个。但按照上述方法，每个行的贡献总和为4（第一行）和8（第二行），总和是12？这说明上述思路不正确。

这说明，这种方法可能不是正确的解法。那这表明我需要重新考虑问题。

那另一个可能的思路是，矩形的数量等于所有可能的左上角(x1,y1)和右下角(x2,y2)的组合，其中x1<=x2，y1<=y2，并且对应的矩形区域内的所有格子都是白色的。所以，我们需要计算满足这些条件的(x1,y1,x2,y2)的数量。

如何高效计算这个数目？

一个暴力方法是枚举所有可能的矩形，并检查是否全为白色。但时间复杂度是O(n^4)，这在n较大的情况下显然不行。

所以需要更高效的方法。这时候，或许可以按行来进行处理，并对于每个可能的列区间[y1,y2]，统计该区间内连续的行数，即有多少行在[y1,y2]区间内都是白色。

例如，对于每个可能的列区间[y1,y2]，我们可以计算有多少个连续的行数，使得这些行的[y1,y2]区间内的所有列都是白色。然后，对于这样的连续行数k，可以产生k*(k+1)/2个矩形数目。例如，连续的k行可以形成k*(k+1)/2个不同的高度。

例如，假设y1=0，y2=0（即单列），连续的行数是3，那么对应的矩形数目是3*(3+1)/2=6个：高度为1、2、3的各两个？

或者，这可能对应的是不同的高度数目。例如，连续行数k对应的高度为1到k，每个高度对应的数目是k - h +1。例如，k=3的话，高度1有3种（行0-0，1-1，2-2），高度2有2种（行0-1，1-2），高度3有1种（行0-2），总和为3+2+1=6=3*4/2。

所以，这可能是一个可行的方法。例如，对于每个可能的列区间[y1,y2]，计算最长连续的行的数目，使得这些行的对应列区间[y1,y2]都是白色。然后将这些连续的块的长度转化为对应的矩形数目，并进行累加。

但如何高效枚举所有可能的列区间[y1,y2]？

这可能比较困难，因为列区间的数量是O(n²)的，每个列区间的处理需要O(n)的时间。总的时间复杂度为O(n³)，这在n=100时是可行的，但对于更大的n可能不够。不过这可能比暴力法的O(n^4)要好。

所以，如何实现这个思路？

首先，预处理每个可能的列区间[y1,y2]，然后在每一行检查是否可以扩展该行的列区间[y1,y2]是否为全白。如果可以，则当前连续行数加1，否则重置为0。然后，每个列区间的连续行数k对应的矩形数目是k*(k+1)/2，累加到总和中。

但这种方法的问题在于，枚举所有列区间[y1,y2]的时间复杂度是O(n³)，因为对于每个列区间，需要遍历所有行进行验证。

例如，预处理每个可能的列区间[y1,y2]，然后在每行i中，检查该行的[y1,y2]是否是全白。如果是，则对应的连续计数器加1，否则重置为0。然后，每个列区间的连续行数k产生的贡献是k*(k+1)/2。

这可能的时间复杂度是O(n^{3)，这在n=100时，是10}6的计算量，可能可以接受。

例如，对于n=100，列区间的数量是100*101/2=5050。每列区间需要遍历n=100行，每次检查y1到y2的所有列是否都是白色的。检查的时间复杂度是O(y2-y1+1) =O(n) per check。这样，总的时间复杂度是O(n^3 *n) = O(n^4)，这显然是不可取的。

比如，当检查每个列区间[y1,y2]在行i的情况时，每次检查需要遍历y1到y2的每个格子，是否为白色。这导致每个列区间的每次检查需要O(n)时间，总的时间复杂度为O(n^4)，与暴力法相同。

这表明这种方法不可行。所以必须寻找更高效的方法。

那另一个思路是，预处理每个行的所有可能的列区间是否为全白。例如，对于每一行，预先计算其所有可能的列区间[y1,y2]是否是全白的。可以用二维数组来存储这些信息。但这需要O(n^3)的存储空间，这在n较大的情况下不可行。

或者，可以使用动态规划的方法，对于每个行i，每个可能的列区间[y1,y2]，是否全白。例如，预处理每个行的前缀和，或者利用类似前缀和的方式来判断区间是否全白。

例如，对于每行i，维护一个数组row_white，其中row_white[y]表示该行前y个格子是否是全白的。或者，可以预处理每行的每个可能的列区间是否为全白。或者，可以预处理每行的所有可能的列区间的全白状态，利用动态规划的方式。

例如，对于每行i，列y，可以维护一个数组len[y]，表示以y结尾的最长的连续白色格子的数目。例如，如果当前格子是白色，则len[y] = len[y-1] +1；否则，len[y]=0。这样，对于每个位置y，可以得到最大的连续长度。然后，对于该行，我们可以枚举所有可能的列区间[y1,y2]，其中y2 >=y1，且该区间的长度为l = y2-y1+1 <= len[y2]。这可能无法直接得到所有可能的列区间的全白状态，但可以用于生成所有可能的右端点y2的最长连续区间。

例如，对于每个行i，遍历每个可能的右端点y2，当前最长连续白色区间的长度为current_len。然后，对于每个可能的左端点y1 = y2 - l +1，其中 l从1到current_len，这区间[y1, y2]是全白的。这样，针对每个这样的区间，可以更新对应的列区间在连续的行的数目。

这可能需要结合另一个数组，例如，对于每个列区间[y1, y2]，维护一个变量count[y1][y2]，表示当前连续的符合条件的行数目。例如，当处理行i时，如果该行的[y1, y2]是全白的，则count[y1][y2] +=1；否则，count[y1][y2] =0。然后，该列区间的贡献是count*(count+1)/2。但维护这样的数组需要O(n^{2)的空间和时间，这可能对于每行处理来说是O(n}2)的时间复杂度，总时间复杂度是O(n^3)。

例如，对于每行i，我们找出该行中所有可能的连续白色列区间。这可以通过遍历该行的每个格子，维护当前连续白块的起始位置。例如，当处理到该行的列y时，如果当前格子是白色，则当前连续区间的右端点为y，左端点是y - len +1。对于每个可能的连续区间[y1, y2]，我们遍历这些区间，然后将对应的count[y1][y2]加1，否则设为0。然后，每个count[y1][y2]的当前值与之前的连续行数有关。

但这样的处理方式可能比较复杂，因为不同的行i可能有不同的连续区间，需要找到所有可能的[y1,y2]区间，这在每行中可能有很多不同的区间。

例如，对于该行的某个连续白块长度为l，那么对应的区间有l*(l+1)/2个可能的子区间。例如，如果某行的连续白块长度为3（列0,1,2都是白色），那么对应的区间有三个长度为1的（0-0,1-1,2-2），两个长度为2的（0-1,1-2），一个长度为3的（0-2）。总共有6个区间。因此，对于每个行i，需要枚举所有可能的连续白色区间，然后更新对应的count数组。

但这样的处理方式，每行的时间复杂度可能高达O(n^{2)。例如，对于长度为n的连续白块，需要枚举O(n}2)个区间。这样，总的时间复杂度是O(n^3)，这在n=100时是可能的（1e6次操作），但对于更大的n来说可能不太行。

不过，这可能在实际中是可行的，尤其是当矩阵中有较多的黑点时，连续白块的长度较短，这样可以减少枚举的区间数量。

因此，这可能是一个可行的解决方案。现在如何具体实现呢？

具体步骤如下：

初始化一个二维数组count，其中count[y1][y2]表示当前连续的行的数目，其中列区间[y1,y2]是全白的。初始时，所有count[y1][y2]为0。

然后，对于每一行i：

遍历该行的所有连续白色列区间。例如，对于该行的每个位置y，找到连续的白色块，然后生成所有可能的子区间[y1,y2]属于该连续块。

对于每个这样的子区间[y1,y2]，如果上一行的count[y1][y2]存在连续的行，则当前行的count[y1][y2] = count_prev[y1][y2] +1，否则当前行的count[y1][y2] =1。

但是，为了处理这种情况，每次在处理当前行时，需要针对每个可能的连续白块子区间，判断其在上一步中的count值是否大于0，并累加。

或者，另一种方式是，对于当前行的每个连续白块生成的所有可能子区间[y1,y2]，在上一行的count[y1][y2]的值上加1，否则设为1。例如，如果上一行的该区间的count为k，并且当前行该区间也是全白，则当前行的count变为k+1，贡献的矩形数目为k+1。或者，更准确地说，由当前连续的k+1行形成的矩形数目是(k+1)的数目？

或者，可能每个连续的k行的count的增长，将使该区间的贡献增加k*(k+1)/2？

可能我之前的方法中的count[y1][y2]表示当前连续的行数。例如，当处理到当前行i时，如果该行的[y1,y2]区间是全白的，则count[y1][y2] = count_prev[y1][y2] +1。否则，count[y1][y2] =0。

然后，该区间在行i的贡献是count[y1][y2] * (count[y1][y2]+1)/2 - prev_contribution[y1][y2]，其中prev_contribution是上一行的贡献。或者，这可能比较难处理。

或者，对于每个当前的count[y1][y2]=k，该区间在行i的贡献为k。例如，当连续k行可以形成一个高度为k的矩形，而每个高度为1到k的都可能产生多个矩形。例如，连续k行可以形成的矩形数目是k*(k+1)/2。例如，对于连续3行，可以形成3个高度为1的，2个高度为2的，1个高度为3的矩形，总共有3+2+1=6个。

所以，每个连续k行对应的该区间的贡献是k*(k+1)/2。那么，每当count[y1][y2]变为k时，该区间的当前行的贡献是k*(k+1)/2 - (k-1)*k/2 =k。比如，当k=3时，当前行的贡献是3，这对应于新增的3个矩形：高度为3的（1个），高度为2的（1个），高度为1的（1个）？这可能不正确。

哦，例如，当count从2变为3时，总共有3*(3+1)/2=6。之前的贡献是2*(2+1)/2=3。所以，这一行的新增贡献是6-3=3。这3个新增的矩形可能对应于以当前行为底边，高度分别为1、2、3的三个矩形。例如，高度为3的矩形是这一行和前两行组成的；高度为2的是这一行和前一行的组成的；高度为1的就是这一行本身的。

所以，对于每个区间的每行处理，总贡献其实是k*(k+1)/2。因此，在每一行的处理中，对于每个可能的区间[y1,y2]，我们需要计算该区间在此行是否全白。若是，则当前的count是prev_count +1。然后，该区间的贡献是当前的count*(count+1)/2 - prev_count*(prev_count +1)/2。这将给出这一行新增的矩形数目。

但是，这样的处理方式需要保存每个区间的之前的count值，这可能比较困难，因为需要存储所有可能的区间的count。

这可能需要使用动态的数据结构，或者只能计算当前行的贡献，而不是累积的总贡献。

或者，另一种思路是，对于每一行，枚举所有可能的连续白块区间，然后对于每个这样的区间，计算该区间在当前行能产生的矩形数目，即该区间的count_new*(count_new+1)/2 - count_prev*(count_prev+1)/2。其中count_prev是上一行该区间的count值，count_new是当前行的count值（count_prev+1）。

例如，假设在上一行中没有这个区间的全白记录，那么count_prev=0，当前的count_new=1。贡献为1*2/2 -0=1。这对应的是新增一个1行的矩形数目，即该区间本身。

如果在上一行中存在该区间的count_prev=2，当前行的count_new=3，则贡献是34/2 -23/2 =6-3=3。这对应的是新增了三个矩形：高度3、2、1。

这是否正确？

例如，如果某个列区间[y1,y2]连续出现了3次全白，那么该区间的贡献是3*(3+1)/2=6个矩形。而每次新增的数目则是当前的贡献减去之前的贡献。比如，当连续出现第一行时，贡献是1；第二行时，贡献是3；第三行时，贡献是6。所以，每一行新增的数目分别是1、2、3，总和为6。

因此，总矩形数目是所有行处理中各区间贡献的总和。

但这种方法需要为每个可能的区间[y1,y2]维护其之前的count值。这在存储上可能需要O(n^{2)的空间，这对于n较大的情况可能不可行。例如，当n=1000时，n}2=1e6，这可能还可以处理，但更大的n可能会有内存问题。

这可能是一个可行的解决方案。现在，如何具体实现？

具体步骤：

初始化一个字典或二维数组prev_counts，保存每个区间[y1,y2]的上一行的连续行数。

初始化总结果为0。

对于每一行i：

预处理该行的所有可能的连续白色列区间。例如，遍历该行，找到所有连续的白色块，并生成所有可能的子区间。

创建一个临时字典current_counts，保存当前行各区间的连续行数。

对于每个连续白色块，比如从列a到列b：

text
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对于所有可能的子区间[y1,y2]，其中a <= y1 <= y2 <=b：

   如果prev_counts中存在该区间的计数k，则当前计数为k+1；

   否则，当前计数为1；

   计算该区间的新增贡献：(k+1)*(k+2)/2 - k*(k+1)/2 = (k+1)*(k+2 -k)/2 = (k+1)*2/2 =k+1.

   将k+1加到总结果中。

   将该区间的当前计数k+1存入current_counts[y1][y2]。

否则，如果该区间在当前行不是连续的白色，则当前计数为0。
将prev_counts更新为current_counts。

这样，总结果即为所有可能的全白矩形数目。

然而，这样的实现方式在枚举所有可能的子区间时，时间复杂度可能太高。例如，对于长度为l的连续白色块，枚举所有子区间的时间复杂度是O(l²)。对于每个行来说，假设最坏情况下整个行都是连续的白色块，那么需要枚举O(n²)个子区间。总的时间复杂度为O(n³)，这在n=100时是1e6操作，可能可以接受，但在n=1e3时是1e9操作，这将无法处理。

因此，这样的算法的时间复杂度可能无法适用于较大的n。

因此，必须找到一个更高效的算法。

回到最初的想法，即利用动态规划和单调栈的方法，逐行处理，统计每一行作为底边的矩形数目。这可能的时间复杂度是O(n²)，这在n=1e5时仍然可行。

那么，如何正确理解这种方法的原理？

例如，对于每一行，我们维护一个高度数组h，其中h[j]表示该列向上连续白色的数目。然后在每个h数组中，计算该数组中所有可能的全白矩形数目。

这个方法的关键是，如何将问题转化为柱状图中所有可能的矩形数目。

例如，假设我们有一个h数组，每个元素是当前列的高度。那么，该柱状图中所有可能的矩形的数目，即为当前行作为底边的矩形数目的总和。例如，每个这样的矩形的高度可以是任意可能的，只要对应的列区间的高度都大于等于该高度。

那么，问题转化为：如何计算一个柱状图中所有可能的矩形的数目？

这可能可以通过单调栈的方式来实现。

例如，LeetCode的类似问题中，例如题目1504，统计全1子矩阵的数量。其中的解法可能可以利用这种方法。这可能正是这个问题的解法。

因此，我需要查阅LeetCode的相关题目，并参考其解法。

例如，LeetCode 1504的题目描述是：“给定一个二进制矩阵，计算其中全部由1组成的子矩阵的数量。” 而这与当前问题中的白色矩形数目的问题是完全相同的。因此，该题的解法可以直接应用在此处。

LeetCode 1504的解法中，通常使用逐行处理，维护高度数组h，然后对每个h数组使用单调栈的方法计算该行带来的矩形数目。因此，该方法的正确性已经被验证。

例如，该解法的思路是：

对于每一行，维护一个高度数组h，其中h[j]表示该列向上连续的白色数目。

对于每个h数组，计算其中有多少个全1子矩阵（即白色矩形）的数目。这些数目的总和就是最终的结果。

而如何计算h数组的矩形数目呢？这可以通过类似单调栈的方法，找到每个位置j的左右边界，其中左右边界的柱子高度都小于h[j]。然后，该柱子可以形成的矩形数目为 (h[j]) * (right[j] - left[j] -1) * (right[j] - left[j]) / 2。

或者，可能具体的计算方式是，对于每个可能的矩形数目，等于每个柱子j的贡献，即h[j] * (right[j] - left[j] -1)。然后求和。但这可能不正确，因为这样的做法可能只考虑了每个矩形的最大高度的情况。

或者，正确的计算方式是，对于每个h数组，计算所有可能的以该行作为底边的全白矩形的数目。例如，对于每个可能的列区间[y1,y2]，找到该区间的最小高度h_min，然后该区间可以形成的矩形数目为h_min。对于每个y1,y2的组合，将所有这些h_min累加，就是该行的贡献。

例如，这样的计算方式的时间复杂度是O(n²)，但对于较大的n，这可能无法承受。因此，必须找到一种O(n)处理每个h数组的方法。

根据LeetCode的讨论，正确的方法是使用单调栈来计算每个可能的柱状图中的矩形数目。例如，对于每个h数组，计算该数组的所有可能的矩形数目，可以通过单调栈的方法在O(n)的时间内得到。

例如，具体步骤是：

初始化一个栈，用于保存索引，栈中的索引对应的h值是非递减的。

遍历每个柱子的索引j：

当栈不为空且h[j] < h[栈顶元素]，则弹出栈顶元素，记为k。此时，计算以h[k]为高的矩形的数目：

text
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left边界是栈顶元素（弹出后的新栈顶），若栈为空则为-1。

right边界是当前j。

宽度是 right - left -1.

该高度h[k]可以形成的矩形数目为 h[k] * (width) * (width +1)/2。或者，这一步可能需要更详细的推导。
或者，可能这里的计算方式与之前的思路不同。例如，对于柱子k，其左右边界的宽度是w = right - left -1。此时，该矩形的数目等于h[k] * w，即每个可能的宽度的组合？

或者，可能这里的数目是不同高度的数目。例如，对于柱子k，它可以形成的矩形数目为h[k] * w * (w +1) / 2？这可能需要更深入的分析。

或者，可能这里每个柱子k对应的数目是h[k] * (w choose 2 +w)，即所有可能的宽度组合？

此时，我需要参考LeetCode中的解法。

例如，根据某个LeetCode题解的代码，该题的解法中的关键部分是：

对于每一行，维护一个数组h，然后对h数组进行处理：

使用单调栈，找到每个柱子左边第一个比它小的索引left[j]，右边第一个比它小的索引right[j]。

然后，每个柱子j对应的矩形数目为 h[j] * (j - left[j]) * (right[j] - j).

例如，这似乎与之前的思路不同。或者，这可能是一个错误的代码？

或者，可能该代码是正确的，因为每个柱子j的贡献是h[j] * (j - left[j]) * (right[j] - j)，这样总和就是所有可能的矩形数目？

例如，假设h数组为[3,1,3,2]，处理每个柱子：

柱子0：left=-1，right=1。贡献3*(0-(-1))(1-0) =31*1=3.

柱子1：left=0，right=4.贡献1*(1-0)(4-1)=11*3=3?

这可能不正确，因为柱子1的h值是1，其左右的边界是0和4。宽度是4-0-1=3?

或者，可能该公式的正确性需要例子验证。

假设有一个全白的2x2矩阵，那么每行的h数组是[1,1]和[2,2]。

处理第一行的h数组[1,1]:

对于每个柱子：

柱子0:

left是-1，right是2.

贡献1*(0 - (-1))(2-0) =11*2=2.

柱子1:

left是-1，right是2.

贡献1*(1 - (-1))(2-1)=12*1=2.

总和是4。但该行的贡献应该是：每个可能的列区间的数目，例如，在第一行，h数组为[1,1]，所以可能的矩形数目是：

单个格子：2个 →每个贡献1×1=1×1=1 →总和2.

两个格子的区间：1个 →贡献1 →总共有3个？或者我可能弄混了。

或者，该公式的正确性需要重新验证。

例如，对于h数组为[2,2]，每个柱子的贡献：

柱子0：left=-1，right=2.

贡献2*(0-(-1))(2-0) =21*2=4.

柱子1：left=-1，right=2.

贡献2*(1- (-1))(2-1) =22*1=4.

总和是8。而该行的矩形数目应该是：

该行的h数组是2，对应的连续行数是2。所以，可能的矩形数目包括：

高度为1的：每个列区间的数目是，每个列区间的数目是连续的2行中的数目。或者这可能比较复杂。

可能该公式的正确性还需要进一步分析。

综上，这似乎不是正确的解法。或者，可能我的之前的思路不正确，需要重新考虑。

或者，正确的解法是，对于每个h数组，使用单调栈处理，每个柱子j的贡献为h[j] * (right[j] - left[j] -1)，然后将所有贡献累加，得到该行带来的矩形数目。例如，这似乎与LeetCode 85题的思路相似，但这里要统计数目而非最大面积。

例如，假设h数组为[3,1,3,2]:

对于柱子0，left是-1，right是1，宽度是1-0-1=0？这可能不太对。或者可能，right[j]是第一个比h[j]小的右边的柱子索引。柱子0的右边第一个比它小的是柱子1。所以，width = j - left[j] -1？或者 width = right[j] - left[j] -1？

例如，柱子k的左右边界是left和right，那么该柱子作为高度的最大宽度是 width=right - left -1。对应的面积是h[k] * width。所以，每个柱子的贡献是h[k] * width。将所有的面积累加，得到柱状图中的最大矩形面积。但这个问题是要统计所有可能的矩形数目，而不是面积总和或者最大面积。

此时，可能需要重新思考这个问题：如何将柱状图的处理方式转化为矩形数目。

例如，在柱状图中，每个可能的矩形由左右边界和高度决定。这里的矩形数目是否等于所有可能的这样的矩形的面积总和？例如，面积是高度乘以宽度，而数目是每个可能的矩形各算一个？

假设问题中的矩形数目等于柱状图中所有可能的矩形数目，每个不同的矩形（不同的位置、不同的宽度和高度）各算一个。例如，对于一个高度为3，宽度为2的矩形，它会被视为一个单独的矩形，而不是面积6。

那么，柱状图的处理方式可能无法直接应用于该问题，因为原来的方法统计的是面积的最大或者面积总和，而这里需要的是数目。

这表明，我需要找到另一种方法。

至此，我意识到自己可能无法迅速想出正确的解决方案。因此，我需要查阅相关的算法知识，或者寻找类似问题的解法。

经过一番查阅，我发现这个问题确实与LeetCode 1504题相同，解法是利用动态规划结合单调栈。例如，对于每个行的高度数组，计算该行的贡献，即在柱状图中每个可能的子矩形的数量。每个行的贡献总和就是答案。

对于每个h数组的处理，计算其中所有可能的全1子矩阵的数目，可以通过以下方法来实现：

对于每个柱子j，找到左边第一个比它小的柱子位置left[j]，和右边第一个比它小的位置right[j]。那么，该柱子j对应的最大宽度为w = right[j] - left[j] -1。该宽度内的所有可能的宽度的子区间的数量为 (w +1)*w//2，每个可能的宽度对应的数目为h[j] - min(left_height, right_height)。或者这可能比较复杂。

或者，另一种思路是，在柱状图中，每个可能的矩形由底边的行决定。例如，对于每个可能的连续区间[left, right]，其中left <= j <= right，并且对于所有k in [left, right], h[k] >= h[j]。那么，该区间对应的矩形数目为h[j] * (right - left + 1). 但这可能也不正确。

这可能表明，我需要进行更深入的分析。

假设正确的解法是，对于每个行i对应的h数组，计算其中有多少个全白的矩形。例如，每个全白的矩形由底边在i行，高度可以是1到h[j]之间的任意值，并且左右扩展的范围由h数组决定。这时候，可以使用单调栈的方法，计算每个位置j的左右边界，然后对于每个高度h[j]，计算其在左右边界内的宽度，从而得到该高度所能构成的矩形数目。

例如，假设对于当前的h数组，每个柱子j的左右边界分别是left[j]和right[j]。那么，该柱子对应的最大高度为h[j]，宽度为w = right[j] - left[j] -1。那么，该柱子能形成的矩形数目为 h[j] * w。比如，这可能对应的是每个可能的子矩形数目，其中底边在当前行，高度为h[j]，且宽度为w。例如，这样的数目等于h[j] * w。但这可能不是正确的，因为每个这样的矩形可能被多个柱子计算。

或者，可能每个矩形被计算多次，而实际上应只计算一次。例如，某个矩形的底边在当前行，高度为h，那么它会被对应的某个柱子j计算到。

例如，假设h数组是[3,2,3]。那么，对于中间的柱子j=1，h[j]=2，left[j]= -1，right[j]=3。宽度是3 - (-1) -1=3-0=3-1？这可能计算错误。或者，正确的计算方式应该是w = right[j] - left[j] -1。例如，right[j]=3， left[j]=-1 →w=3-(-1)-1=3.

此时，该柱子的贡献是h[j] * w = 2*3=6。这可能对应的矩形数目是6？

但这与实际可能的数目不符。例如，如果当前行的h数组是[3,2,3]，那么这个柱状图可能对应的是一个二维区域，其中：

行i-2: 全白；

行i-1: 可能有部分黑色；

行i: 全白。

在这种情况下，该行的贡献可能包括多个矩形。

或者，可能这种解法是正确的，而我需要相信该方法的正确性。

根据LeetCode 1504的题解，正确的解法是对于每个h数组，计算其中所有全1子矩阵的数量。每个这样的子矩阵对应一个矩形。每个行的贡献等于该h数组的全1子矩阵数目。因此，总的结果是所有行的贡献总和。

那么，如何计算每个h数组对应的矩形数目？

一种方法是，对于每个h数组，使用动态规划的方法，计算每个柱子j为右边界的可能矩形数目。

例如，对于每个位置j，维护一个列表，其中保存了高度和对应的left位置。当处理到j时，将当前高度h[j]与之前的列表中的高度进行比较，合并可以扩展的区间，并计算可能形成的矩形数目。

例如，这可能需要维护一个单调递增的栈，其中每个元素保存了高度和该高度的起始位置。当遇到一个高度小于栈顶的高度时，弹出栈顶，计算其对应的矩形数目，并更新当前高度的起始位置。

例如，这个方法的正确性可以通过以下步骤解释：

初始化一个栈，初始时栈中有一个哨兵元素，高度为-1，位置为-1。

对于每个j in 0..n-1:

起始位置为j。

当前高度为h[j].

while 栈顶元素的高度 >当前高度：

text
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弹出栈顶元素，得到高度h_prev和位置pos_prev.

计算以h_prev为高的矩形的数目：h_prev × (j - pos_prev_last).

起始位置更新为pos_prev.
将当前高度和起始位置压入栈中。

对于每个栈中的元素，计算可能的矩形数目。

这样的处理方式可能可以统计所有可能的矩形数目。

例如，举个例子：

h数组为 [3,1,3,2].

初始栈：[(-1, -1)].

j=0, current_h=3:

stack[-1].h=-1 <=3 → push (3,0).

栈： [(-1,-1), (3,0)]

j=1, current_h=1:

stack[-1].h=3 >1 →弹出 (3,0).

该元素的高是3，宽度是1-0=1 →贡献 3*1=3.

起始位置是0.

现在栈顶是 (-1,-1).h <=1，所以压入 (1,0).

栈： [ (-1,-1), (1,0) ]

j=2, current_h=3:

stack[-1].h=1 <=3 →压入 (3,2).

栈： [ (-1,-1), (1,0), (3,2) ]

j=3, current_h=2:

stack[-1].h=3>2 →弹出 (3,2).

贡献3*(3-2) =3*1=3.

起始位置变为2.

now stack[-1].h=1 <=2 →压入 (2,2).

栈： [ (-1,-1), (1,0), (2,2) ]

最后，处理栈中的剩余元素：

弹出 (2,2): h=2,贡献2*(4-2) =4.

弹出 (1,0): h=1,贡献1*(4-0) =4.

弹出 (-1,-1): 哨兵，结束.

总贡献：3+3+4+4=14.

但该行的h数组对应的矩形数目是否正确？

例如，对于h数组[3,1,3,2]，当前行作为底边的所有可能的矩形数目是否等于14？

例如，该行的每个可能的列区间：

假设该行的h数组对应的列的高度是每个列向上连续的白色数目。例如，该行对应的四个列中，第一个列可以形成高度3的矩形，第二个列高度1，第三个3，第四个2。

那么，该行的贡献包括了所有以该行为底边的矩形数目。例如，可能的矩形数目包括：

对于第一个列（h=3）：

高度3的矩形数目：1×1=1 →高度3，宽度1。

高度2的矩形数目：？这可能需要更详细的分析。

或者，可能