关于目前热门讨论

喜报

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ZDZL 论坛 及 ZDZL OJ 已经正式支持 Markdown 与 LaTeX\LaTeXLATE X 本帖子重发，原因是希望能够上榜宣传 ZDZL 论坛新创作激励：加精帖如质量很高，可以获得 5-15 元的现金奖励。集训营的同学们可以把笔记发过去的哦。

【新】推荐一个非盈利性工具类网站！

工\TEXT{\HUGE\COLOR{RED}\FBOX{工}}工 具\TEXT{\HUGE\COLOR{ORANGE}\FBOX{具}}具 大\TEXT{\HUGE\COLOR{GREEN}\FBOX{大}}大 全\TEXT{\HUGE\COLOR{BLUE}\FBOX{全}}全 万\TEXT{\HUGE\COLOR{GRAY}\FBOX{万}}万 岁\TEXT{\HUGE\COLOR{PURPLE}\FBOX{岁}}岁 > 工具大全技术团队USEFUL TOOLS计划第一阶段圆满完成！ 网站域名：USEFUL-TOOLS.TOP 工具大全｜关于我们 工具数量：60个 最后更新时间：2026年8月1日 隆重发布我们的新工具👇\color{red}{隆重发布我们的新工具👇}隆重发布我们的新工具👇 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 最新战绩：

聊天区和排行榜提建议了！

提建议入口 摘要： 1.学术帖 和 灌水帖 分开设榜，并严查学术有没有灌水的 这样既能让灌水的上榜，又无需担心水贴会伤到学术区 2-？. 详见入口

请打出文本(答案已给)

已结束！公布答案！ 可以下榜了。 以下全部正确打出来即可获得空白团队5~10个 + 团队管理员1年！（时间：7.16.00:00:00~8.1.08:00:00） 见图片（防止有人直接复制）： 再加多个： 一个人∞次机会 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 答案(答案发布以后及2026年8月1日8:00:00，过后的所有答案一律作废)： 一-+— ♪ ∷∵∴∷ Ð â θæ ξΞζΠΔΩ νvw ΗH CŒE ÏlIIllΙ丨|ㅣl〡〣〢 忈〆〇 飝虪齺魕爧蠿齺虪龘靐齉齾爩{\boxed{{\color{Salmon}\mathbb{飝虪齺魕爧蠿齺虪龘靐齉齾爩}}}}飝虪齺魕爧蠿齺虪龘靐齉齾爩 大家的错误点： 0.两两之间需要换行。 1.最后一个字错了，是“飝虪齺魕爧蠿齺虪龘靐齉齾爩”。 2.最后一个的颜色，参考下面的图，是“SALMON”。 3.最后一个的字体，这是错的最多的其中之一，用“MATHBB”字体有字体和没字体的区别：飝虪齺魕爧蠿齺虪龘靐齉齾爩{\BOXED{{\COLOR{SALMON}\MATHBB{飝虪齺魕爧蠿齺虪龘靐齉齾爩}}}}飝虪齺魕爧蠿齺虪龘靐齉齾爩 和 飝虪齺魕爧蠿齺虪龘靐齉齾爩{\BOXED{{\COLOR{SALMON}飝虪齺魕爧蠿齺虪龘靐齉齾爩}}}飝虪齺魕爧蠿齺虪龘靐齉齾爩 ，是不是很明显，不是我截图不清晰，而是本来就是这样的。 4.Ν 和 V 不同，放大看看：Ν和V\HUGE{Ν 和 V}Ν和V,是不是不一样。 5.忘写删除线、斜体，粗体等。 7.Η和H不一样，不行复制去搜，Η：希腊大写伊塔，H：英文字母大写 H。 8.Ξ 和 Ζ 不一样，Ξ：希腊小写克西Ζ：希腊小写泽塔。 9.ÏLIILLΙ 丨 |ㅣL〡〣〢打错，Ï：大写 I 带分音符，L：小写 L，I：英文大写 I，I：英文大写 I，L：小写 L，L：小写 L，Ι：希腊大写 IOTA，丨：汉字竖笔画，|：键盘管道竖线，ㅣ：韩文元音竖，L：小写 L，〡：中文数字一竖（旧式数字 1），〣：中文旧式数字三，〢：中文旧式数字二 10.一-+—，一：中文汉字 “一”，-：英文短减号，+：加号，—：中文长破折号 11.图片中 忈〆〇 的后面没有用“　”，不是“ ” ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 竞赛： 8团暑期竞赛之多语言竞赛(邀请码:44HH) 13团暑期竞赛（邀请码：8554） 13团暑期竞赛附加赛(邀请码:YZZX) 【大师主宰×ACGO之星】2026暑期算法巅峰联赛（邀请码：8BAA） 讨论: 多只狗 炸了💥

2026暑期算法巅峰联赛(8baa)

已报名64人，参与18人，作弊嫌疑2人。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 竞赛链接：【大师主宰×ACGO之星】2026暑期算法巅峰联赛（邀请码：8BAA）） 其他竞赛： 8团暑期竞赛之多语言竞赛(邀请码:44HH) 13团暑期竞赛（邀请码：8554） 13团暑期竞赛附加赛(邀请码:YZZX) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 一、竞赛背景 这是一个为备战 CSP、省选、NOI 提供的专项训练比赛，试题由浅入深完整覆盖入门至 NOI 全梯度难度(骗你的，简单得很，8团暑期竞赛之多语言竞赛(邀请码:44HH)才难)， 难度和13团暑期竞赛差不多。 二、竞赛规则\COLOR{RED} 二、竞赛规则二、竞赛规则 1.参赛选手需遵守竞赛纪律，禁止抄袭（AI也算）、 作弊等行为（惩罚：拉入团队小黑屋3~30天、发帖警示并取消奖励）。 2.竞赛期间可使用编程语言：C++、PYTHON。 3.禁止与他人交流或使用非公开代码。 4.不准开多个小号竞赛。 三、主办方 由 ACGO之星、大师主宰级团队 合作承办。 四、奖项设置\COLOR{RED}四、奖项设置四、奖项设置 AK选手可自行选择2个团队的一年的管理员或1个团队的永久管理员或1个团队的一年的副队长或1个空白团队。 第一~第二的人可自行选择2个团队的永久的管理员或任意1个团队一年的副队长 或 1个空白团队 或 让 终极主宰大神 新创建一个团队并给选手很高的权限。 第三~第五的人可选2个团队的半年的管理员或1个团队的一年的管理员 或 让 终极主宰大神 新创建一个团队并给选手较高的权限 第六~第十的人选手可自行选择任意1个团队的三个月的管理员 或 终极主宰大神 新创建一个团队并给选手中等的权限 。 第十一~第二十的人可选2个团队的一周的管理员或1个团队的一个月的管理员 或让 终极主宰大神 和 码农爱历史 给你永久关注或 让 终极主宰大神 新创建一个团队并给选手较低的权限。 获奖时间：9月1日00时00分00秒~10月1日00时00分00秒。 奖项可以攒着，前提跟终极主宰大神说。 五、赛况 1234567不搞了，因为是人都会。 题目 用户名 8.FB 9.FB 杨智杰 10.FB 首AK 1st 注： 首 AK：第一个完成所有题目（All Kill）。 FB：第一个完成单道题目（First Blood）。

二分笔记

1. 查找 X 是否存在 思路简介 数组有序时，可以用二分查找。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2. 手写 LOWER_BOUND：查找第一个 >= X 的位置 思路简介 要找的是第一个满足： 的位置。 二分时，如果： 说明 mid 可能是答案，但是前面可能还有更靠左的答案，所以： 如果： 说明 mid 和左边都太小了，所以往右找： 如果不存在，输出 n + 1。 带注释代码 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3. STL LOWER_BOUND：第一个 >= X 思路简介 lower_bound 的含义是： 写法： 返回的是地址。 要转成下标，需要减去数组首地址： 带注释代码 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 4. STL UPPER_BOUND：第一个 > X 思路简介 upper_bound 的含义是： 写法： 返回的是地址。 转成下标： 带注释代码 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 5. 手写 UPPER_BOUND：查找第一个 > X 的位置 思路简介 要找的是第一个满足： 的位置。 二分时，如果： 说明 mid 可能是答案，但是前面可能还有更靠左的答案，所以： 如果： 说明 mid 和左边都不满足，只能往右找： 如果不存在，输出 n + 1。 带注释代码 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 总结口诀 这几份代码的前提都是：数组必须是有序的。如果题目没保证有序，需要先写： 出现次数2 保龄球 出现次数1 和为 0 的 4 个值 最后一个等于X的元素 不同分的人数 学生信息查询 A-B数对 递增三元组 放学人潮

那个被嘲笑的范进，或许比我们想象中...

那个被嘲笑的范进，或许比我们想象中更值得尊重\LARGE\textbf{那个被嘲笑的范进，或许比我们想象中更值得尊重} 那个被嘲笑的范进，或许比我们想象中更值得尊重 上语文课时，《范进中举》总能引来哄堂大笑。大家笑他五十四岁还在考试，笑他家里揭不开锅还要抱鸡赶考，笑他中了举人直接疯了……班里的人都普遍认为，这个又穷又迂的老头就是用来讽刺科举制度的反面典型——他越惨，讽刺就越有力。 可是笑完之后，我脑子里冒出一个问题：一个从二十岁考到五十四岁的人，考了三十四年，挨了二十多次落榜，真的只是一个笑话吗？ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ⚪为什么我们都在笑，却没人问他经历了什么 必须承认，范进绝不是一个完美的正面英雄。他的性格中有迂腐、懦弱、逆来顺受的一面——被丈人胡屠户骂了那么多年，只敢“唯唯连声”，几乎丧失了自尊。然而，我们之所以能笑得出来，恰恰是因为抽离了文本，忽略了他前半生的压抑和痛苦。 范进得知中举时的疯癫状态，与其说是运气突然反转的狂喜，不如说是一次彻底的、压抑了三十四年的情绪大爆发。吴敬梓笔下最令人心碎的细节之一，是出榜那天，范进家里已经断炊了，他不知道天大的喜事正在临近，抱着家里仅存的一只生蛋的母鸡去集市上卖。邻居来报喜时，他说了一句让人喉头发紧的话：“高邻，你晓得我今日没有米，要卖这鸡去救命，为什么拿这话来混我？”那一刻他不是不肯相信，而是不敢再相信了——经历了太多次的失望之后，失望已经变成了他唯一认识的答案。 我们这个年纪的人或许还没有真正经历过所谓的“倾尽所有却一无所获”，但每个人的成长里都或多或少被那种明明很努力、结果却依然糟糕的挫败感所笼罩过。将这种感觉乘以三十四年，再乘以范进所面对的社会歧视与经济的极度窘迫，还能咬牙不放弃，这样的人——无论他追求的是什么——这份令人不忍却又不得不叹服的韧性，难道不值得我们正视吗？ 有些同学会说，范进哪里是“努力”，分明是死脑筋，一条路走到黑。可问题是：在那个社会里，他能走别的路吗？ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ⚪如果走别的路，范进又能去哪儿呢 有人可能会问，考不上就不考了呗，干点别的不行吗？问题是——在范进所处的时代，他还能做什么？ 古代普通家庭供养一个读书人非常困难，买书、赶考都要花大把银子，而范进及其家人在科举上的“沉没成本”已经非常高了。越是如此，范进越没法放弃，这几乎成了一条绝路——“不成功，便成仁”，回头路几乎不存在。从今天的视角来看，我们当然可以用更广阔的视野评价他的偏执；但从当时的社会环境来看，他确实没有太多退路。 那么，为什么范进选择了科举这条路？这条路的历史意义又在哪里？ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ⚪当时的环境，科举已经是最公平的选项了 把时间线拉回到隋唐。在科举制度正式确立之前，中国实行过多种选官制度。有西周的血缘世袭，有秦朝的军功授爵，有两汉的察举推荐，有魏晋时期的九品中正制。然而，这些制度都有各自无法逃脱的弊端。察举制中的道德评价标准难以量化，极易导致任人唯亲；而最为人熟知的九品中正制，在发展中完全被世家门阀所垄断，最终彻底沦为了“上品无寒门，下品无世族”的局面——好位置全被贵族子弟占据，出身普通的人再优秀也几乎看不到一点希望。 相比之下，科举制的登场在历史上是一次真正的革命。它不仅让选拔官员有了统一的客观考试标准，更在制度层面上给了大量出身平民的普通读书人一个相对可以凭借自身努力去争取上升机会的平台。 钱穆先生曾说：“此制用意，在用一个客观的考试标准，来不断的挑选社会上的优秀分子，使之参与国家的政治。”考生可以自由报考，考试面前人人平等，这在传统中国是一场不小的社会革新。那么，这种制度变革的效果如何？数据给出了有力的回答。在宋朝三百余年间，《宋史》列传中记载的1533名有出身者中，平民入仕者竟然高达55.12%，许多优秀平民甚至能一路晋升到宰相这样的国家核心职位。放眼当时的世界，绝无仅有。在当时的历史条件和技术水平下，科举制度是中国古人所能找到的最不坏、最符合公平理性的选择。这项制度本身的生命力之旺盛也足以说明问题——它从隋唐持续运行到晚清，跨越了一千三百年的风雨岁月。 西方学者对此评价极高，有人甚至将科举制度列为中国古代的“第五大发明”，认为现代欧美文官制度的源头与根基正是中国开创的科举制度，这是一个影响了全人类文明演进的重要政治发明。因此，我们今天读《范进中举》，如果只看到讽刺，跳出了历史环境去一味批判，恰恰是一种脱离了客观语境的文本误读。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ⚪所以吴敬梓到底想说什么 我逐渐意识到，吴敬梓写范进，目的并不是单纯地让大家笑、让大家骂。他的高明之处在于，用看似荒诞的情节和幽默诙谐的文字，创造了一种“笑的三重奏”——第一重是嘲笑胡屠户的市侩势利，第二重是对范进的遭遇发出含泪的悲悯之叹。真正顶尖的讽刺文学，从来不是为了嘲笑而嘲笑。恰恰相反，最擅长讽刺的文学家，往往对自己笔下那些卑微又顽强的人物抱有更深的共情与悲悯。范进是悲剧，但更是那个时代底层知识分子最真实的缩影；他的身上凝结着被生活碾压太久之后那种卑微又极度渴望被认可的强烈心理。 回到最开始的问题——学完这篇课文，我们为什么要说范进值得尊重？不是因为他是所谓的榜样人物，而是因为他身上那种在无路可走时仍然拼命咬牙坚持的求生韧性。我们现在的班级里永远不缺成绩最好、最受老师关注的同学，但一个班难道只应由好成绩的人组成？那些虽然反复跌倒、却一直在奋力向前的同学，难道不就是生活本身最大的英雄吗？我们今天对高考制度和考试的种种批判，正如范进时代对八股文的种种批判，都有充足的理由和时代局限性。但我们必须承认，在没有更好办法的前提下，统一的考试制度依然是相对最公平公正的选拔路径。历史一直在这条路上摸索着、前进着，而我们所处的位置，正是这条道路上的一环。 再回过头看这节课文的开头和结尾——范进喜极而疯时，几乎所有老师都分析这是在批判被异化和扭曲的人格。可换个角度想，一个被社会黑暗、家庭贫困和三十四年失败的绝望反复磨砺的人，当梦想突然照进现实的那一刻，谁能保证比他更体面、更淡定呢？《范进中举》之所以能成为经久不衰的经典，或许从来就不是因为吴敬梓把我们这些未来会走进不同考场的初三学生当成旁观者来批判，而是因为他让我们在范进那充斥着笑声和泪水的发疯奔跑中，照见了每一个在微小希望面前绷断了情绪的人。 学会读懂文学作品里那些藏在纸页褶皱中的宽恕和悲悯，或许才是比得出“范进是个笑话”这种单一化结论更重要的学习。 历史的步伐早已走在当时所能达到的最好方向上。是那个不完美、却为千千万万普通读书人敞开了一条出路的科举制度，给予了一个名叫范进的五十四岁老童生爬起来的勇气。而今天的我们——初三的每一位同学，无论你现在正迷茫还是坚定，正抬头仰望还是埋头苦读，请记得范进那双手上黄泥和一身泥水的模样吧。他不是什么硬撑出来的英雄，却真真切切地用尽全力，为自己那早就被生活挤压得看不见形状的未来，亮明过一次绝不认输的态度！

关于目前热门讨论

可能后期会有变动，有不确定因素，所以先别急着对号入座。 建议下榜 榜一，榜二，榜三，榜四，榜七，榜九，榜十。 理由：有一定的讨论含金量，但是评论区有作者的大量无意义顶 建议删除 榜五 反复发送，已经被删除过帖子，且几乎没有讨论的必要，含有大量刷榜的行为

赢暑期活动 共赴团赛之约（有奖品）

一年一度的暑期活动在欢声笑语中走来啦！ > > 此次活动主办方@༺ད黯渊◈天蝎ཌ༻和支持方@AAA_Cheer_EndBet 活动主题（暂且不提团赛）入团才能参赛 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1·活动为字符打印赛（为@码农爱历史灵感，现在更新） 竞赛提示仅有一次哦 ⚠如果发现抄者重罚，打字规则如下 1.只能私信打字（赢者会在8月15日宣布） 2.报名活动在讨论区输入“我是‘谁’，我参加打字比赛“ 3.禁止相互问，期间作者会查你到底怎么打的 4.上述表格粘贴不了 5.禁止辱骂他人行为 6.打字素材有ACGO部分 开始时间：2026年7月25日，现在可报名 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 共赴团赛！！！ > 本次团赛出题员及审题员 > 跳转团赛 出题员 审题员 @AAA_Cheer_EndBet @编程&神(互关) @码农爱历史 @Expected expr @景梓萌（看猴常@） @wcqk > 本次团赛赛时答疑员及赛后检察员 赛时答疑员 赛后检察员 @💩💩百大游戏解说官💩💩 @wcqk > 团赛奖励 名次 奖品 NO.1 神秘实物，地址考完发我 NO.2 空白团队1个 NO.3 可以让作者买人数增加 NO.4 40罐 幸运奖5位 20罐或者一个空白团队 > 团后发罐小组 组员 @国服武术家(互关） @景梓萌（看猴常@） 竞赛有问题？ 我们欢迎所有人来发问，一起追究题目问题 用AI处罚 但凡发现有用AI作弊，则去除该奖项，所以大家都不要用AI，锻炼自己编程水平吧！ 至竞赛完毕则发布作弊&获奖名单 赛事答疑帖 点击跳转

MMOI Round 3 题解

明天就是 NOI 2026 Day 1，在这里祝我以及参加 NOI 2026 的选手好运，NOI 2026 rp++！ 赛后总结帖也许要晚一些发布。 T1 矿车交通 这道题的灵感来源于一道小学数学题：在等车回家的时候，是往车的方向走早点遇到车更快、往家的方向先走一段距离更快，还是原地等待更快？答案是一样快，因为坐的都是同一辆车。 因此可以发现换乘是没有必要的——如果 Steve 最后乘坐的是某辆矿车到达终点，那么他可以选择一直在起点等着这辆矿车并一直坐到终点。因此对于每辆矿车计算乘坐这辆矿车会在什么时候到达终点，并取最小值即可。注意特判只靠步行到达终点和 x=yx=yx=y 的情况。 T2 轮回 考虑第 iii 天时 a0a_0a0 在原序列中所对应的下标 pip_ipi ，显然当 iii 不是 mmm 的倍数时，pi=(pi−1+1) mod np_i=(p_{i-1}+1) \bmod npi =(pi−1 +1)modn；否则 pi=pi−1p_i=p_{i-1}pi =pi−1 。将 ppp 中的元素分为两部分进行计算： * 对于 i>0i>0i>0 且 i mod m=0i\bmod m=0imodm=0 的 pip_ipi ，这些 pip_ipi 的值为 (m−1)−1,2(m−1)−1,…(m-1)-1,2(m-1)-1,\dots(m−1)−1,2(m−1)−1,… 模 nnn 意义下的值； * 剩下的 pip_ipi 值为 −1,0,1,2,…-1,0,1,2,\dots−1,0,1,2,… 模 nnn 意义下的值。 可以发现，这两部分每一部分每 nnn 个数都会形成循环，通过计算整个循环带来的贡献，并额外加上剩下的部分即可，时间复杂度 O(n)O(n)O(n)。 T3 奇迹 考虑将 nnn 个数排成一个环，此时最近的一对 111 之间的距离不超过 ⌊nx⌋\left\lfloor\frac{n}{x}\right\rfloor⌊xn ⌋。从小到大枚举两个数的距离 ddd，将环上所有距离为 ddd 的 nnn 对点加入猜测序列中，总猜测次数不超过 ⌊n2x⌋\left\lfloor\frac{n^2}{x}\right\rfloor⌊xn2 ⌋。 T4 游戏 记 C(x,y)=∑k=1n[sufk(x)=prek(y)]dkC(x,y)=\sum\limits_{k=1}^n[\text{suf}_k(x)=\text{pre}_k(y)]d^kC(x,y)=k=1∑n [sufk (x)=prek (y)]dk，其中 sufk(x)\text{suf}_k(x)sufk (x) 为 xxx 长度为 kkk 的后缀，prek(y)\text{pre}_k(y)prek (y) 为 yyy 长度为 kkk 的前缀，[P][P][P] 表示当 PPP 成立时为 111，否则为 000。则子问题一的答案为： C(t,t)−C(t,s)C(s,s)−C(s,t)+C(t,t)−C(t,s)\dfrac{C(t,t)-C(t,s)}{C(s,s)-C(s,t)+C(t,t)-C(t,s)} C(s,s)−C(s,t)+C(t,t)−C(t,s)C(t,t)−C(t,s) 计算 C(x,y)C(x,y)C(x,y) 是简单的：构造字符串 S=y+#+xS=y+\text{\#}+xS=y+#+x，SSS 的每一个 border 都对应一个满足 sufk(x)=prek(y)\text{suf}_k(x)=\text{pre}_k(y)sufk (x)=prek (y) 的 kkk，使用 KMP 算法计算出 SSS 的每一个 border 即可。 对于子问题二，一种可能的构造方案是先取 sss 为 ttt 的前 n−1n-1n−1 位，并在 sss 的最前方放上任意与 t2t_2t2 不同的字符，将 s,ts,ts,t 带入子问题一的公式中很容易证明这是一种合法的构造方案。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 下面对子问题一的式子给出证明：先只考虑一个目标串 xxx，假设有一种下注游戏，在每一轮抛硬币之前，都新来一个下注者，他下注从当前位置开始未来会出现串 xxx。具体地，他初始时拥有 111 元，下注当前字符为 x1x_1x1 ，如果猜中，则钱数变成原来的 ddd 倍，继续下注 xxx 的下一个字符；否则他的钱数直接变成 000，游戏结束。 不难发现这个游戏是公平的，即每回合结束后每个下注者的期望钱数都仍然是 111，因此若游戏进行了 TTT 回合，所有下注者拥有的钱数和的期望值也是 TTT，因此整个游戏所有下注者拥有的钱数和的期望值为 E(T)E(T)E(T)。 对于原问题，假设每一轮抛硬币之前，都会有两个下注者分别下注 sss 和 ttt。考虑计算游戏以 sss 结束时，猜 ttt 的所有下注者拥有的钱数和：想要结束时有一位连续猜中的 kkk 次的下注者，这要求 sufk(s)=prek(t)\text{suf}_k(s)=\text{pre}_k(t)sufk (s)=prek (t)，并会带来 dkd^kdk 的贡献，这就是式子 C(x,y)C(x,y)C(x,y) 的由来。 设 Steve 获胜的概率为 ppp，则 Alice 获胜的概率为 1−p1-p1−p，那么对于猜测 sss 的所有下注者，其拥有的钱数和的期望值为 pC(s,s)+(1−p)C(t,s)pC(s,s)+(1-p)C(t,s)pC(s,s)+(1−p)C(t,s)。类似地，对于猜测 ttt 的所有下注者，其拥有的钱数和的期望值为 pC(t,t)+(1−p)C(s,t)pC(t,t)+(1-p)C(s,t)pC(t,t)+(1−p)C(s,t)。 按照刚刚的结论，我们发现这两个式子都等于 E(T)E(T)E(T)，所以 pC(s,s)+(1−p)C(t,s)=pC(t,t)+(1−p)C(s,t)pC(s,s)+(1-p)C(t,s)=pC(t,t)+(1-p)C(s,t)pC(s,s)+(1−p)C(t,s)=pC(t,t)+(1−p)C(s,t)，解方程即可得到上面的结论。