一道一次函数分类讨论题
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
题目
已知一次函数 y=kx+by = kx + by=kx+b 的图像经过点 A(1,3)A(1, 3)A(1,3)，与 xxx 轴交于 BBB，与 yyy 轴交于 CCC。
若 △BOC\triangle BOC△BOC 的面积为 666（OOO 为原点），求这个一次函数的解析式。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
解题过程
设 y=kx+by = kx + by=kx+b。
求 C 点（与 y 轴交点）：令 x=0x = 0x=0，得
C(0,b)C(0, b) C(0,b)
求 B 点（与 x 轴交点）：令 y=0y = 0y=0，得
kx+b=0 ⟹ x=−bkkx + b = 0 \implies x = -\frac{b}{k} kx+b=0⟹x=−kb
B(−bk, 0)B\left(-\frac{b}{k},\ 0\right) B(−kb , 0)
列面积公式：
S△BOC=12×∣OC∣×∣OB∣=12×∣b∣×∣−bk∣=6S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \times |OC| \times |OB| = \frac{1}{2} \times |b| \times \left|-\frac{b}{k}\right| = 6 S△BOC =21 ×∣OC∣×∣OB∣=21 ×∣b∣× −kb =6
化简得
b2∣k∣=12\frac{b^2}{|k|} = 12 ∣k∣b2 =12
利用 A 点在函数图像上：
3=k+b ⟹ k=3−b3 = k + b \implies k = 3 - b 3=k+b⟹k=3−b
代入得：
b2∣3−b∣=12\frac{b^2}{|3 - b|} = 12 ∣3−b∣b2 =12
分类讨论（关键在于 ∣3−b∣|3-b|∣3−b∣ 的正负）：
情况一：B<3B < 3B<3
此时 ∣3−b∣=3−b|3-b| = 3-b∣3−b∣=3−b，方程变为：
b2=12(3−b)b^2 = 12(3 - b) b2=12(3−b)
b2+12b−36=0b^2 + 12b - 36 = 0 b2+12b−36=0
b=−12±144+1442=−6±62b = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 144}}{2} = -6 \pm 6\sqrt{2} b=2−12±144+144 =−6±62
两个根都满足 b<3b < 3b<3，均可取。
情况二：B>3B > 3B>3
此时 ∣3−b∣=b−3|3-b| = b-3∣3−b∣=b−3，方程变为：
b2=12(b−3)b^2 = 12(b - 3) b2=12(b−3)
b2−12b+36=0b^2 - 12b + 36 = 0 b2−12b+36=0
(b−6)2=0(b-6)^2 = 0 (b−6)2=0
b=6b = 6 b=6
满足 b>3b > 3b>3，可取。
最终答案
bbb k=3−bk = 3 - bk=3−b −6+62-6 + 6\sqrt{2}−6+62 9−629 - 6\sqrt{2}9−62 −6−62-6 - 6\sqrt{2}−6−62 9+629 + 6\sqrt{2}9+62 666 −3-3−3
三个解析式：
y=(9−62)x+(−6+62)y = (9 - 6\sqrt{2})x + (-6 + 6\sqrt{2}) y=(9−62 )x+(−6+62 )
y=(9+62)x+(−6−62)y = (9 + 6\sqrt{2})x + (-6 - 6\sqrt{2}) y=(9+62 )x+(−6−62 )
y=−3x+6y = -3x + 6 y=−3x+6
关键点
1. 答案有 3 个，不是 1 个。 很多人只做 b<3b < 3b<3 的情况，漏掉 b=6b = 6b=6。
2. 分类的依据是绝对值 ∣3−b∣|3-b|∣3−b∣ 的符号，不是面积。
3. 考点：一次函数图像性质、面积公式、绝对值方程、二次方程求根。
