DEEPseeK出的一道神秘题目

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快乐小狗

2026-10-09 20:26:04

发布于：广东

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一道一次函数分类讨论题

题目

已知一次函数 y=kx+by = kx + b 的图像经过点 A(1,3)A(1, 3)，与 xx 轴交于 BB，与 yy 轴交于 CC。

若 △BOC\triangle BOC 的面积为 66（OO 为原点），求这个一次函数的解析式。

解题过程

设 y=kx+by = kx + b。

求 C 点（与 y 轴交点）：令 x=0x = 0，得

C(0,b)C(0, b)

求 B 点（与 x 轴交点）：令 y=0y = 0，得

kx+b=0  ⟹  x=−bkkx + b = 0 \implies x = -\frac{b}{k}

B(−bk, 0)B\left(-\frac{b}{k},\ 0\right)

列面积公式：

S△BOC=12×∣OC∣×∣OB∣=12×∣b∣×∣−bk∣=6S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \times |OC| \times |OB| = \frac{1}{2} \times |b| \times \left|-\frac{b}{k}\right| = 6

化简得

b2∣k∣=12\frac{b^2}{|k|} = 12

利用 A 点在函数图像上：

3=k+b  ⟹  k=3−b3 = k + b \implies k = 3 - b

代入得：

b2∣3−b∣=12\frac{b^2}{|3 - b|} = 12

分类讨论（关键在于 ∣3−b∣|3-b| 的正负）：

情况一：b<3b < 3

此时 ∣3−b∣=3−b|3-b| = 3-b，方程变为：

b2=12(3−b)b^2 = 12(3 - b)

b2+12b−36=0b^2 + 12b - 36 = 0

b=−12±144+1442=−6±62b = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 144}}{2} = -6 \pm 6\sqrt{2}

两个根都满足 b<3b < 3，均可取。

情况二：b>3b > 3

此时 ∣3−b∣=b−3|3-b| = b-3，方程变为：

b2=12(b−3)b^2 = 12(b - 3)

b2−12b+36=0b^2 - 12b + 36 = 0

(b−6)2=0(b-6)^2 = 0

b=6b = 6

满足 b>3b > 3，可取。

最终答案

bb k=3−bk = 3 - b
−6+62-6 + 6\sqrt{2} 9−629 - 6\sqrt{2}
−6−62-6 - 6\sqrt{2} 9+629 + 6\sqrt{2}
66 −3-3

三个解析式：

y=(9−62)x+(−6+62)y = (9 - 6\sqrt{2})x + (-6 + 6\sqrt{2})

y=(9+62)x+(−6−62)y = (9 + 6\sqrt{2})x + (-6 - 6\sqrt{2})

y=−3x+6y = -3x + 6

关键点

  1. 答案有 3 个，不是 1 个。 很多人只做 b<3b < 3 的情况，漏掉 b=6b = 6。
  2. 分类的依据是绝对值 ∣3−b∣|3-b| 的符号，不是面积。
  3. 考点：一次函数图像性质、面积公式、绝对值方程、二次方程求根。
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