《数学寒假作业》---生日问题
我的小学共有 434343 名同学，其中没有生日相同的，但是中学全班 505050 名同学，却有许多生日相同的！并且依靠神秘朋友人脉得知，其他班也有许多生日相同的
我很好奇，一、明明保证至少有 222 个人生日相同需要 366366366 个人（闰年 367367367 个），为什么 505050 名同学却有呢？二、小学只有 434343 个人，中学只多了 777 个，为什么会多出那么多生日相同的呢？
带着疑问，我开始了调查。
以下是我们班同学的生日情况调查：
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可以发现，确实有很多同学生日相同！
问题求解：
设全班有 nnn 个人 ，并且只有平年 （闰年我就不讨论了，因为极小的影响 其实是我懒）
惊人的注意力发现：
该问题等价于 "一对同学生日相同"
两个人生日相同的概率是 1365\frac{1}{365}3651 ，共有 n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2}2n(n−1) 对好朋友
也就是说
概率≈n(n−1)2×1365概率\approx\frac{n(n-1)}{2}\times \frac{1}{365} 概率≈2n(n−1) ×3651
但这个式子往大估了，甚至在 n>30n>30n>30 时，概率>1概率>1概率>1 了。。。我们需要一个更厉害的方法！
转换思想
很难直接计算该问题的解，所以尝试计算其对立面
设 PPP 表示所有人生日不相同的概率，则有：
P=365365×364365×363365×⋯×365−n+1365P=\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\times ⋯ \times \frac{365-n+1}{365} P=365365 ×365364 ×365363 ×⋯×365365−n+1
可以发现 PPP 的每一项几乎是均匀下降，因此参考平均值
所有值的算数平均值是 1+365−n+13652=1+1−n730\frac{1+\frac{365-n+1}{365}}{2}=1+\frac{1-n}{730}21+365365−n+1 =1+7301−n
所以 P≈(1+1−n730)nP\approx (1+\frac{1-n}{730})^nP≈(1+7301−n )n
展开 P≈1−n×n730+后面太小，略去P\approx 1-n\times\frac{n}{730}+后面太小，略去P≈1−n×730n +后面太小，略去
可惜的是，这个式子仅适用于 n≤20n\le 20n≤20 时，我已经绞尽脑汁，还是没能解出来。。。
AI=MVP
经过和AI的讨论，这个无法使用初中数学接出来，但为了让同学们知道，我决定使用高科技
再来一次
通过粗略公式，发现 PPP 一开始增长快，后面慢，跟对数很像，所以尝试用对数（虽然靠AI解的，但我起码想出来对数了吧，嘻嘻）
求解
取个自然对数，把乘法变成加法：
lnP=∑k=0n−1ln(1−k365)\ln P = \sum_{k=0}^{n-1} \ln\left(1 - \frac{k}{365}\right) lnP=k=0∑n−1 ln(1−365k )
这里 ln(1−x)\ln(1-x)ln(1−x) 在 xxx 小时可以用泰勒展开）：
ln(1−x)≈−x−x22\ln(1-x) \approx -x - \frac{x^2}{2} ln(1−x)≈−x−2x2
于是：
lnP≈−∑k=0n−1k365−12∑k=0n−1(k365)2\ln P \approx -\sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{365} - \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{k}{365}\right)^2 lnP≈−k=0∑n−1 365k −21 k=0∑n−1 (365k )2
求和公式：
∑k=0n−1k=n(n−1)2,∑k=0n−1k2=n(n−1)(2n−1)6\sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{n(n-1)}{2}, \quad \sum_{k=0}^{n-1} k^2 = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} k=0∑n−1 k=2n(n−1) ,k=0∑n−1 k2=6n(n−1)(2n−1)
代入：
lnP≈−n(n−1)2×365−n(n−1)(2n−1)12×3652\ln P \approx -\frac{n(n-1)}{2 \times 365} - \frac{n(n-1)(2n-1)}{12 \times 365^2} lnP≈−2×365n(n−1) −12×3652n(n−1)(2n−1)
现在就可以计算啦！
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先看小学 n=43n=43n=43：
n(n−1)=43×42=1806n(n-1) = 43 \times 42 = 1806 n(n−1)=43×42=1806
第一项：−1806730≈−2.4740-\frac{1806}{730} \approx -2.4740−7301806 ≈−2.4740
第二项：2n−1=852n-1 = 852n−1=85，n(n−1)(2n−1)=1806×85=153510n(n-1)(2n-1) = 1806 \times 85 = 153510n(n−1)(2n−1)=1806×85=153510
除以 12×133225=159870012 \times 133225 = 159870012×133225=1598700，得 −1535101598700≈−0.0960-\frac{153510}{1598700} \approx -0.0960−1598700153510 ≈−0.0960
所以 lnP≈−2.4740−0.0960=−2.5700\ln P \approx -2.4740 - 0.0960 = -2.5700lnP≈−2.4740−0.0960=−2.5700
P≈e−2.57≈0.0765P \approx e^{-2.57} \approx 0.0765P≈e−2.57≈0.0765（查 e−2.5=0.0821e^{-2.5}=0.0821e−2.5=0.0821，e−2.6=0.0743e^{-2.6}=0.0743e−2.6=0.0743，插值得约 0.0760.0760.076）
也就是说，434343 人全部生日不同的概率只有 7.6%，那么至少两人相同的概率就是 92.4%！我们小学竟然撞上了那 7.67.6%7.6 的“幸运”，真是比中彩票还稀罕。
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再看中学 n=50n=50n=50：
n(n−1)=50×49=2450n(n-1) = 50 \times 49 = 2450 n(n−1)=50×49=2450
第一项：−2450730≈−3.3562-\frac{2450}{730} \approx -3.3562−7302450 ≈−3.3562
第二项：2n−1=992n-1 = 992n−1=99，2450×99=2425502450 \times 99 = 2425502450×99=242550
除以 159870015987001598700，得 −2425501598700≈−0.1517-\frac{242550}{1598700} \approx -0.1517−1598700242550 ≈−0.1517
lnP≈−3.3562−0.1517=−3.5079\ln P \approx -3.3562 - 0.1517 = -3.5079lnP≈−3.3562−0.1517=−3.5079
P≈e−3.5079≈0.0300P \approx e^{-3.5079} \approx 0.0300P≈e−3.5079≈0.0300（精确计算得0.0296，差不多）
所以 505050 人全部生日不同的概率只有 3.0%，也就是说 97% 的可能性有至少两人同生日！难怪我们班一抓一大把。
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总结
1、这或许就是为什么全国那么多人只用抽查几百人就可以几乎反应全貌了，这或许就是概率论的魅力
2、没想到感觉理应的事情在经过计算后有这么多惊喜，我们也应该常以数学的远光看世界
