题解

作者提醒：不要复制全文，否则可能产生预期以外的后果。

Difficulty：3.2 / Easy

想了几个非多项式做法，发现状态数都在 $2^{30}$ 以上。于是考虑多项式做法。

令 $m=\frac{B_i}{3}$。

考虑朴素的背包 DP。定义 $dp[i][C_1][C_2][C_3]$ 为前 $i$ 个人，第 $j$ 个小组总贡献值为 $C_j$ 的最少更换次数。

发现这么做是对的。转移只需要看除第一维外任意一维减 $B_i$ 的情况即可。答案就是 $dp[n][m][m][m]$。

但是我们发现这么定义，状态数量是 $O(nm^3)$ 而不是 $O(n^3)$。 是 $O(nm^3)$，不是 $O(n^3)$。 是 $O(n^4)$，不是 $O(n^3)$。 是 $O(n^4)$，不是 $O(n^3)$。 是 $O(n^4)$，不是 $O(n^3)$。 是 $O(n^4)$，不是 $O(n^3)$。 是 $O(n^4)$，不是 $O(n^3)$。 是 $O(n^4)$，不是 $O(n^3)$。 是 $O(n^4)$，不是 $O(n^3)$。 是 $O(n^4)$，不是 $O(n^3)$。 是 $O(n^4)$，不是 $O(n^3)$。 是 $O(n^4)$，不是 $O(n^3)$。 是 $O(n^4)$，不是 $O(n^3)$。 是 $O(n^4)$，不是 $O(n^3)$。 是 $O(n^4)$，不是 $O(n^3)$。 是 $O(n^4)$，不是 $O(n^3)$。 是 $O(n^4)$，不是 $O(n^3)$ 哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈5555558080558055哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈5555558080558055哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈55555585555558080558055080558055哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈55555580805580555555558080558055哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈5555558080558055哈哈哈哈哈哈哈哈5555558080558055哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈 W̨̧͍͎̹͚̹̳͕̼̠̜̦̙̋ͬͯͧ̒ͦ̿̀̅͢͞h͍͍̙̘̣͕ͨ̽ͥ̈̍̀̂̑͘͢y̵̧̲͉̳̫̙̣͒͆̆͐ͣͤ̑̀̿ͅ 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c̸̨̛͍̟͔͍̙͙̓͑ͯͣ̐͟a̧̍ͯ̂̽̔͗ͯͯ́ͣ͢͏͎͖̦̘͉̗ṅ̛̲̥̻̠͕͇͙̓̿̓̉̅̍̌̕ į̵͎͍̻̲̱̺͕ͪ͆̑̎̂̈́͠t̛͎͉̫͓̮̹̗̱̫̺̜͐̐ͩ͌̈̔̐ͦ̀ b͍̳͈͇̝͚̻͍̲̟̻̏̐ͬ͌̂ͥ͘͠͝͠ͅe̴͉̣͎̮̙͉̹̩͌̀̍̌̓́́̕͞ O͔̰̲͙̤͕ͯͬ̐̌͆̉̀̕͠͝n̨͎͍̟̖̥̹̭͉̬ͣ̉̇̊̄ͥ͆͑̎͜͝3̶̵͎͍̫̠̠͓͈̲̹͍̓̈ͫ̀ͦ̔͂ͨ̅?̡̛̜͖̙̤̖̺̊̂̏ͬ̓͐̒̐ͫ͑̄̓ W̨͈̩̯̮͔̜̝̳͆̈ͫ̿̍ͭ͂ͦͭ̽͑́͢͝h̵̢̩͈͇̭̫͈̮ͤͦͤͪͮ͊̋̕͘y͍ͩͮ̊̑͘͘͠͏͔̬̘̲̭̹ č̵͈͇̺̺̬̟̠̳̬ͪͩͬ̍͗͟͞a͎͍̺͎̤̜̖͗ͩ̽̓ͯͤ͊̒̃͝͠ń̸͍̟͍̰͎̟̭̬̲̳̠̻̿̆̇ͤ̌͜͜͠ i͕̦͚͕͈͖̻̳̊̌͑ͮ̓͜͠ͅţ̡̨̛̩͖̬̱̯̠̩́̃̉͊̽̌̏ b̵͍͎̻̹̙͈̱̣͑̈͆ͣ̃̀e͍̪̪͈̻̹̩̭̮̘̅͌ͣ̅̉ͮͭ̀͌̒̕͟ Ȯͣ̔͑̏͑̉ͮ̓͞͏̶̹̤̼̳̹͇̩̘̦̹̗̀n̛͍͚̙̹͈̰̙͓͗͗ͮ̌͌͢͝3̶̶̛͎͇͈̲̫͎̱͍͍̦̤̯̀ͬͭ̍̉̍̔ͨ?̵̢̬̬̹̱̫̫̳̭̯͕͖̫̆͋ͭ͂̉̈́̐ͯ̐̈́͝ W̛͔̟͙͍̞̙̥͎̞͙͈͈ͮ͆͂͑ͤ̔̊̅ͩ̅͢͠h̴͎̞̪͎̭͚̦̬̥̼̥ͦͬ̿ͧ̃ͨ̋̃̐̋̕͝y̨̡͚̱̬̠͈̻̝̹̩̙ͫ̋͆͊ͯͯ̈́ͥ͆͗̉ͫ c̡̢͍̗̼͇͇̤̔̔̓͊͌ͪ͞ą̤̘̥̦̯̪̭̳̬͉̩̂̈́ͨ̉̇͌̊̀n̵̢̦͙̗̩̄̿̑ͥ̉͑ͩ́͠ͅ i̸ͫ̆̊̓ͤ͏̴̙̞͕͇̦͢ẗ̢̡͍͙̤̙̲̗͈̦͕͐̃̔̌͐ͨ̔̋͜ b̗̬̟̬̞̥̪ͨ̃ͪ̌ͩ̉̈̓ͪ̀͘͠͠ȅ̸͍͍͍̳̺̗̪͙̿̉̄͌́ O̢̩͎̠̥̞͂̌̋̊͗̒͒͘n̡̩̪̤̫̝̓ͦ̓ͧ̓̍͊̔ͦ͜͠͞ͅ3̴̡͍͔͓͚̲̳̝͈̠̼̝͉̤ͫ̇̂̒ͮ̀͂͑ͭͧ̇͘͜?̧̖͈̬̮̱̱̒̓̈́̿ͪ̄ͪ̕͜ W̴̲͓̟̮͇̗͚̑̃̏̐̽ͦ̌͞͝͝ḩ̶̘̳̣̲̠̻̝̀̋̇ͦ͋ͨ̈ͦ̀y̴̵̸̩̬̫̺̟̬̯̣̲ͬ̌̉̒̏̒̌ͨͫ͝ c̸̢̡͙͈̻͇̹̠͉ͫ͗̍̅̊ͮ̎ͮ̊̈̀̓͞a͍̝̲͈͙͖͖ͨ̂̐̌̓̍ͭͭ̃͒ͧ̀͘͜n̸̵̠̦̭̼̗̰͐̏͋͋̆̑͟ͅ į̸͎̫̩̦͇̱͚̩͉̪͚̜͑ͮ͂̅ͪ̇͒̀̂ͯ͟t͍͓͓̩͍̖̠͍̺̲͒ͨͣ͋ͥͣ̒͋ͬͮ́͘͟ͅ b̘̞̹̫͙̮̹͚̐́ͬ̇͊ͪ͗̑ͥ͒ͭ́͘͟͞ȩ͍̊͋̃͒ͦ̊ͨͤͧ͏̶̬̗̞̫̳̱̱̩̮̥ O͖̭̮̻̜͕̙̱͈͕ͦ̿̒̎͒̀͋̈́̈̔ͭ́͞͝n̸̨͎̂̄ͮͩ̋̓̿̊̉̀͏̫̹̙̲̩̤̥͙͚̪3̨͎͖̖̯̰͉̟͕̖̥̍͑͐̉̃̓̍̌ͨ̎̈́͟ͅ?ͩͧ̋̈ͤ͐̏̈͏̨̤̩̮̟̯ Ẅ̛̖̤̞͍̲̗̫̪̭́̋̐̅͒ͥͬ̎̅͋͝͞ͅh͍͈̬̥̦̙̱̥̥̻̝ͪ̔̀̃̊ͦ̃ͧ̋͑͘̕͟y̶̧͍̣̪̥̟̲̻͂̋̽̉̂̈̕ ċ̸̵͖͍̘̩͍̬͚̥̟̼̩ͧ͂̆̍̄ͥͫͭͅa̶̸̵̱̼̝͚̫̭̝̱̳̖ͯͣ͑̏̀͑ͥ͂̔̄n̡͎͕̮͚͓̞̠͎̲̰̳̙̻̅́̒ͦ̃̍ͮͯ̎ͣ̌͠ i̛̠͙͚̙͓͎̳̺̱͍̗͉̋̆̏̽̔͘̕͝ṯ̴̡̛̮̘̙̻̞͚̥̫̺̤͈͂ͮ̓̐ͭ̌ͣ͒̑̐ ḃ̨̛͎͚̝̱̝̱ͭͯ̽̏̀ͪ͆̇̅̄e̢̞͉̦̳͈̬̰̳ͥ̌͂̀ͧ̽ͦ̐̐ͦ͐̕͟͝ O̶̧͍̞̘̳͎̱̯ͯ͐͐̔̈́̏͋ͣ͘͜n̶̡͓̦͈͖̤͍̖̻ͫ͋̓͊̏̆̆̌͌̑̌̀͝3̡͍̟̠̳̼̞͓̘̯̠̙̏́ͦ̄̀ͤ̆̓ͧͣ͗̀?̈́̏̌ͣͥ̽̈́ͧ͏̴͕͙̪͕̺̜̰̞̫̪͙̲ W̛̦͓̲͙̘͉̪̥̓̀ͬͯͩ́͟ḩ͎͕͙̪̪̝̯̳̫̖͓ͣͦ̇ͣ̀̈ͩ̓̌́̑̀͘͠ͅẏ̨͍͉̲̗̰̩̲͕̹̥̭̀̅͂̈́̇͟ c̨̼̥̤̘̲̙ͩ̇̓̓̽̄̎͑̍͐̌͋͜͝͞a̛͈͚̫͇̹̰ͤͤ̍ͦ̏̆̉̄̏ͥ̂̇̀̕n̸̳͓̥̝̮̤͍͓͍̠̙͑̈́ͯ̔͒ͧ̀͢ͅ í̸̮̼̥͎̰̣̜̟̪̭̪̹̅̀̅̍̓̋̀̀͜t̗̭̟̩̙̹̪̗͍͖͑̇͑̈́͌ͬ̈͗͂̌̌̀͜͝͠ b̴̴̯̩͎̯̞͈͚̩̺̲̆̇̑ͣͯ͋̃̂ͩͦ̂ͫͅe̶̬͙̹̹̘̠̯̜͕̞͌͒́̈̇̑̈́̔͂́͝ͅͅ Ő̺̠̺̹̱̄͋͑ͥͯ̋̆͂̈͘͞͠n̸͈̝͖̝̙̗̥̩̊͊̆ͤ̔̅́͜͟3̡͖͎̳̳̗̳͕͔͖̹̬̃ͮͧ̉̉̔ͤͩ̿ͭ͐̋͞?͍͎̟̭̘̥̤̦͈̘̿͆ͤͩͥͦͥ͗́̀͜ W͎̣̜̰̦͆̈̀ͮ̎̃̆̀͟͠ͅh̡͖͍͈̺̥͚̽̑̀̒̑ͮ͑ͮͬ́͝y̴̢̛͎̤̩͉͍̝̬̲͈͔̮͋͋͑̑̆̆́͠?̵͍̬͖͎̙̪͒ͩ̒ͤͨ̀ͩ͌́ W̦̱̦̦̮̙̗̲̱̱̆ͣ͊̋͆ͥ̍ͤ͟͝͞ͅḩ̨͓͇̮̫͊́ͮͯ̅̑ͩͨ͟͞ͅy̡͎͇̳̰̭̠̺ͩ͑͑͐ͭͬ͒̒̆͢?̜̼͔̣̝̦̖̻̣̦͆ͦͨ͋̍͜͜ W̛͎͊̓́̀ͩ̈́̊̉͊̀͢͏̻͍͚̦̗̝̩̞̦̱h̶̸̼̪͔̺̝̲̼͙̫͉̍̏̋̅̈́ͤͭͨ̓͊͘yͯ͒̉͆̌̿͂͌́̓͑͏̵̰̰̻͓̥̘̜͢͠?̧̡̡̮̖̞͖͉̔ͨͦ̄̒ͧ͞ͅ W̨̼͖͖̠̣̦̜̍̽͊͑̀ͫͫ͊̔̓́͝h̺̟̣̰͈̫ͥͮͬͬ̐̂̓̍̍͘͜ỹ͎͎̟̙̫̤̱̼̹͇̩̪̫̈́̓̑ͥͮ͗̔́́͟?̛̠͖̮͉̹͔̤̦ͨ̉̇̓̈́͊̿́͗̔ͧ͟͝͝ W͍̩̦̭̮̫̒ͧͬͮ̀̉͘͟͞h͎͉̬̜̱̩̬͉͈̭̭̬̊͐̎͋̐ͣ͐̎́͂̀͢ͅy̴̢͂̉̈̓̃̋́͏̰̙̗͇̮̙?̢͖̺̱͓̺̖̬͓͓̞̲̠̇ͫ͊̓ͨ̓͢ W̞̰̫̘͕͖̤̹̲̥̹̳̽͂̂̿̅͌̑ͨ͊͟͝h͍̙̫̠̖̞͖́̈̈́̄̀͗̀̀͠y͎̜͓͖͖̠͈̟͈͕̠̪͑͑͗ͮͬ̈́̅̓́͜?̀ͫ̇ͣ͌͏̧̼̳̠͓̺͜ Ẅ͍̙̗̟̜̺̝̦̠́͒̿͗̏̈́͟͢͟͝h̵̺̙̹͉̬̞̪͍̃͐̓̑ͣ̔̕͜͝y̶̠̤̠̲̬̑̔̊ͦͦ̈́ͤ͢͝?̶̵̶͍̣͇̭̠̯́͌ͫ̋͆ͩ́ͨ̉ͅ W̴̨͎̜̣̗̣̱̖̭̪̺͚̔ͯ̆̎́̓̊̆̅̅̐h̵͎͎͖͓̲̤̙͉͈͙̯̯̍̃͂́͠͝ỷ̨̲͔̜̪̼͚̪̞͇̗͍̲ͬ̆͆̀ͭͭ̎͜?̵͈̟͈̙̲̯̳̜̐̒͗̄͗ͤ̃̔̀ Ẃ̧̥̹̺̘͖̜͇̱̪̖͐̒̍̅ͯ̌̃͑̍ͯ͟͞h̽̌̀̅̄̽ͩ̽̄ͯ̈ͪ͟͏͖͕̲̤̥͍̫͉̮̞̕͠y̦̳̙̦͕̠̹̹͔͉̠̽ͨ̽́̉̃͊̀͐̊͘͝?̔͑ͨͦͨ͆͐̍͑̀̎͗͏̸̩͔̻̭̲͚͙ W̢͎̙̪̱͍͙͂ͬ̈́ͫͩ͋ͫͤ̉̊̏́͜h̸̵͍̪͖͔͎̯̹̊̂ͩ̿͆͌ͮ͠y̡͎͙̝̝̗̝̐̓̇ͥ́͞?̶͍̺͈̜͕̩̩̜ͦͧ̎ͩ̎ͩ̀͢ Ŵ̴̤͙͎̤͎͖̗̳̩̤̯͖̌ͨͤͫ͐ͧ̉ͨ̇̊͞͞h̨̛͎̳̤̖͔̩̬̥ͪ̇͌̑̏͋͠ÿ̴́͌́ͫ̊̍ͭ͏̵͔̹̖͙͇̯̪̥͇ͅ?̶̖̝͇̻̤̞̪̂̊ͪ̅ͫ̀͜ Ẉ̛̪̲͍̙͍͔͊ͧ͊̈́̄͑́͘ḩ̶̦̣̜̞͓̼̤̮̩̌̍ͨͫ̍ͤ̃͌͘y̢͎̫͉̙̭͕̗̩͇̖̝͗̈͆̒̊ͭ͝?̡͍̰̥̪̪͔̱͈̣͙̣̂̒͊̆̂̉ͪͩ̓͗ͪ̌́͟ $O(n^4)$。 $O(n^3)$。 $O(n^4)$。 $O(n^3)$。 这是 $O(n^3)$。这绝对是 $O(n^3)$，不是 $O(n^4)$。 这是 $O(n^3)$。 这是 $O(n^3)$。 这是 $O(n^3)$。 这是 $O(n^3)$。 这是 $O(n^3)$。 这是 $O(n^3)$。 这是 $O(n^3)$。 这是 $O(n^3)$。 这是 $O(n^3)$。 的，总状态数为 $100\times 500^3=1.25\times 10^{10}$，不能接受。

但是注意到这里有大量无用的状态，因为对于前 $i$ 个数，$C_1+C_2+C_3=\sum_{j=1}^i B_j$，其它的状态一定不合法。

我们考虑只记录 $C_1,C_2$，因为此时 $C_3$ 的值已经固定。显然这样减少了大量的无用状态。

这样，我们就将复杂度从 $O(nm^3)$ 降到了 $O(nm^2)$，状态数为 $100\times 500^2=2.5\times 10^7$，可以通过。

进一步地，我们可以滚动数组，使得空间复杂度降至 $O(m^2)$，不过前面的已经可以通过，就没必要写了。

namespace cjdst{
    const int N = 100, M = 500;
	int dp[N + 5][M + 5][M + 5];
	int a[N + 5], b[N + 5];
	int n, cur;
	void solve(){
		std::cin >> n;
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			std::cin >> a[i] >> b[i];
			cur += b[i];
		}
		if(cur % 3){
			std::cout << "-1\n";
			return;
		}
		cur /= 3; 
		memset(dp, 63, sizeof(dp));
		dp[0][0][0] = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			for(int j = 0; j <= cur; j++){
				for(int k = 0; k <= cur; k++){
					if(j >= b[i]){
						dp[i][j][k] = std::min(dp[i][j][k], dp[i - 1][j - b[i]][k] + (a[i] == 1 ? 0 : 1));
					}
					if(k >= b[i]){
						dp[i][j][k] = std::min(dp[i][j][k], dp[i - 1][j][k - b[i]] + (a[i] == 2 ? 0 : 1));
					}
					dp[i][j][k] = std::min(dp[i][j][k], dp[i - 1][j][k] + (a[i] == 3 ? 0 : 1));
				}
			}
		}
		std::cout << (dp[n][cur][cur] == 0x3f3f3f3f ? -1 : dp[n][cur][cur]) << '\n';
	}
}

时间复杂度：$O(nm^2)$。