确实不骗你，本人还没进入高中呢已经有初恋了
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先骂在前面：那个不是年级组长且不是数学老师还要来干预今天我们数学期中考试的时间甚至明知道我们年级尖子班的孩子时间都不够的情况下还不肯加时间最后还来说我们成绩不好的那个硫硼焦老尸我氧化钙氮碘墓！你又不是数学老师你凭什么来决定我们考试的时间？数学老师她都来申诉过好几遍了你却依旧置若罔闻，你是数学老师还是她是数学老师？？？？？
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话说我还真以为所谓“四元数”只不过是某些数学大佬在跟我聊天的时候瞎说的呢
直到我看到一条视频介绍它的应用才知道：这玩意真的存在？？！
不得不说四元数真的很诡异，居然不满足乘法交换律：
i2=j2=k2=ijk=−1ij=kji=−kik=jki=−jjk=ikj=−ii^2=j^2=k^2=ijk=-1\\ ij=k\\ ji=-k\\ ik=j\\ ki=-j\\ jk=i\\ kj=-ii2=j2=k2=ijk=−1ij=kji=−kik=jki=−jjk=ikj=−i
这是人？这个哈密顿是从某个数学很好的哈密瓜星球上因为数学不太好所以被流放到地球上的吧！那么这个星球的王一定是高斯！二把手绝对是欧拉！三把手呢？拉格朗日吧。
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不过今天的主角并不是它和他，而是下面这串东西。
你要知道，当一个数学萌新挑战自己用不同于欧拉的方式解决巴塞尔问题的时候，他会遇到多少困难：
S=∑i=1∞1i2S=\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac{1}{i^2} S=i=1∑∞ i21
没错，就是求这个东西的值。
众所周知，这个东西很好进行缩放，只需要把它的分母变成 i(i+1)i(i+1)i(i+1) 或者从第二项开始变成 i(i−1)i(i-1)i(i−1)，然后就能够列项了，但是这对于求得其准确数值并没有太大帮助。
那么，不妨用我在上条帖子里的方式：生成函数！启动！
构造生成函数 S(x)=∑i=1∞xii2\displaystyle S(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac{x^i}{i^2}S(x)=i=1∑∞ i2xi
求导：
S′(x)=∑i=1∞xi−1iS'(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac{x^{i-1}}{i} S′(x)=i=1∑∞ ixi−1
变形：
S′(x)=1x∑i=1∞xiiS'(x)=\dfrac{1}{x}\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac{x^i}{i} S′(x)=x1 i=1∑∞ ixi
令 f(x)=∑i=1∞xii\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac{x^i}{i}f(x)=i=1∑∞ ixi ，然后继续求导：
f′(x)=∑i=1∞xi−1=∑i=0∞xif'(x)=\sum_{i=1}^{\infty}x^{i-1}=\sum_{i=0}^{\infty}x^i f′(x)=i=1∑∞ xi−1=i=0∑∞ xi
利用等比数列求和公式，知：
f′(x)=11−xf'(x)=\dfrac{1}{1-x} f′(x)=1−x1
积分：
f(x)=∫11−xdx=−ln∣x−1∣+Cf(x)=\int\dfrac{1}{1-x}dx=-\ln|x-1|+C f(x)=∫1−x1 dx=−ln∣x−1∣+C
代入 x=0x=0x=0 的情况：
−ln∣0−1∣+C=f(0)=0-\ln|0-1|+C=f(0)=0 −ln∣0−1∣+C=f(0)=0
所以 C=0C=0C=0
故将 f(x)f(x)f(x) 代入 S′(x)S'(x)S′(x) 中，有：
S′(x)=1xf(x)=−ln∣x−1∣xS'(x)=\dfrac{1}{x}f(x)=-\dfrac{\ln|x-1|}{x} S′(x)=x1 f(x)=−xln∣x−1∣
问题就在这里：如何求 S(x)S(x)S(x)？
很明显这里需要用到积分：
S(x)=−∫ln∣x−1∣xdxS(x)=-\int\dfrac{\ln|x-1|}{x}dx S(x)=−∫xln∣x−1∣ dx
那么下一步该怎么走呢？
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经过本人与豆包的一番交流，发现了一个东西，叫做：
Lis(x)=∑i=1∞xiis\operatorname{Li}_s(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac{x^i}{i^s} Lis (x)=i=1∑∞ isxi
因此，原积分化简之后的形式就是 Li2(x)+C\operatorname{Li}_2(x)+CLi2 (x)+C
我：不是……我不就是用了个生成函数吗？怎么自行发现了一个高等函数？
我：原以为我会因此一战成名，没想到已经有先贤走过这条路了！那我算什么？
我：生成函数，你欺骗我的感情！
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话说回来，过程中实际上存在一个问题。
会看上面的过程，会发现好几个地方出现了 1−x1-x1−x 和 x−1x-1x−1 作为对数的真数以及分数的分母
这些可能会导致积分之后的结果中代入 x=1x=1x=1 会让表达式无意义
我：好吧……我承认这次我失败了……数学，你给我等着，今天考场上我再次向你宣战！
