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本帖会讲解9块简便方法的内容（求赞!!!）
一、基于运算定律的简便方法（最基础、最常用）
运算定律是简便计算的 “基石”，适用于整数、小数、分数的四则运算，核心是 “改变运算顺序，凑整或简化步骤”。
1. 加法相关定律
* 加法交换律：a+b=b+aa+b=b+aa+b=b+a
作用：交换加数位置，让容易计算的数先加。
例： 23+58+77=23+77+58=100+58=15823+58+77=23+77+58=100+58=15823+58+77=23+77+58=100+58=158（23 和 77 凑整 100）
* 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)
作用：分组结合，凑整（整十、整百、整千等）。
例：1.25+3.6+6.4=1.25+(3.6+6.4)=1.25+10=11.251.25+3.6+6.4=1.25+(3.6+6.4)=1.25+10=11.251.25+3.6+6.4=1.25+(3.6+6.4)=1.25+10=11.25（3.6 和 6.4 凑整 10）
2. 乘法相关定律
* 乘法交换律：a×b=b×aa\times b=b\times aa×b=b×a
作用：交换因数位置，让 “易算组合” 先乘（如 25×4=100，125×8=1000）。
例：25×17×4=25×4×17=100×17=170025\times 17\times 4=25\times4\times 17=100\times 17=170025×17×4=25×4×17=100×17=1700
* 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)(a\times b)\times c=a\times(b\times c)(a×b)×c=a×(b×c)
作用：分组结合，凑整（优先凑 “10、100、1000” 等）。
例：125×32×25=125×(8×4)×25=(125×8)×(4×25)=1000×100=100000125\times 32\times 25=125\times (8\times 4)\times 25=(125\times8)\times (4\times 25)=1000\times 100=100000125×32×25=125×(8×4)×25=(125×8)×(4×25)=1000×100=100000（32 拆成 8×4，分别与 125、25 凑整）
* 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×ca\times (b+c)=a\times b+a\times ca×(b+c)=a×b+a×c (正向)；a×b+a×ca\times b +a\times ca×b+a×c（逆向，核心是 “提取公因式”）
作用：将 “乘加 / 乘减混合运算” 转化为 “先加减后乘”，简化步骤。
* * 正向例子：99×23=(100−1)×23=100×23−1×23=2300−23=227799\times 23=(100-1)\times 23=100\times 23-1\times 23=2300-23=227799×23=(100−1)×23=100×23−1×23=2300−23=2277
* * 逆向例子：7.8×3.5+2.2×3.5=(7.8+2.2)×3.5=10×3.5=357.8\times 3.5+2.2\times 3.5=(7.8+2.2)\times3.5=10\times3.5=357.8×3.5+2.2×3.5=(7.8+2.2)×3.5=10×3.5=35（提取公因式 3.5）
* * 变形应用：a×b+a=a×(b+1)a\times b+a=a\times(b+1)a×b+a=a×(b+1) 如（56×99+56=56×(99+1)=56×100=560056\times99+56=56\times(99+1)=56\times100=560056×99+56=56×(99+1)=56×100=5600）
二、凑整法（核心：利用 “整十 / 百 / 千数” 简化计算）
当数字接近整十、整百、整千时，通过 “补数” 或 “拆数” 凑成整数，再调整差额。
1. 加法凑整
* 技巧：找每个数的 “补数”（与该数相加得整数的数），如 99 的补数是 1，102 的补数是 - 2。
例：199+203=(200−1)+(200+3)=200+200+(−1+3)=400+2=402199+203=(200-1)+(200+3)=200+200+(-1+3)=400+2=402199+203=(200−1)+(200+3)=200+200+(−1+3)=400+2=402
2. 减法凑整
* 技巧：被减数和减数同时加 / 减同一个数，差不变
a−b=(a+c)−(b+c)a-b=(a+c)-(b+c)a−b=(a+c)−(b+c)
例：502−298=(502+2)−(298+2)=504−300=204502-298=(502+2)-(298+2)=504-300=204502−298=(502+2)−(298+2)=504−300=204（避免借位）
3. 乘法凑整
* 技巧：利用特殊乘积（如 25×4=100，125×8=1000，5×2=10），将数字拆成含这些因数的形式。
例：0.25×36=0.25×4×9=1×9=90.25\times36=0.25\times4\times9=1\times9=90.25×36=0.25×4×9=1×9=9；1.25×5.6=1.25×8×0.7=10×0.7=71.25\times5.6=1.25\times8\times0.7=10\times0.7=71.25×5.6=1.25×8×0.7=10×0.7=7
三、基准数法（适用于多个接近的数相加）
当多个数都接近某个 “基准数” 时，用 “基准数 × 个数 + 差额和” 计算。
* 技巧：设基准数为 aaa，每个数表示为 a+dia+d_{i}a+di （did_{i}di 为差额，可正可负），总和为
a×n+(d1+d2+…+dn)a\times n+(d_{1}+d_{2}+…+d_{n})a×n+(d1 +d2 +…+dn )
例：计算 101+98+103+99+100101+98+103+99+100101+98+103+99+100
基准数取 100，差额分别为 +1、−2、+3、−1、0+ 1、-2、+3、-1、0+1、−2、+3、−1、0
总和 =100×5+(1−2+3−1+0)=500+1=501100\times 5+(1-2+3-1+0)=500+1=501100×5+(1−2+3−1+0)=500+1=501
四、拆项与合并法（适用于复杂数字的分解）
通过拆分数字为 “易算的数的和 ÷ 差”，或合并同类项简化计算。
1. 拆项（拆成和÷差）
* 例：2023×2022−2022×2021=2022×(2023−2021)=2022×2=40442023\times2022-2022\times2021=2022\times(2023-2021)=2022\times2=40442023×2022−2022×2021=2022×(2023−2021)=2022×2=4044（拆项后用乘法分配律）
* 例：712+518=2136+1036=3136\frac{7}{12}+\frac{5}{18}=\frac{21}{36}+\frac{10}{36}=\frac{31}{36}127 +185 =3621 +3610 =3631
2. 合并（同类项 /÷相同部分）
* 例：3.6×2.5+3.6×7.5−3.6×0=3.6×(2.5+7.5−0)=3.6×10=363.6\times2.5+3.6\times7.5-3.6\times0=3.6\times(2.5+7.5-0)=3.6\times10=363.6×2.5+3.6×7.5−3.6×0=3.6×(2.5+7.5−0)=3.6×10=36（合并公因式 3.6）
五、裂项相消法（分数求和的 “神器”）
当分数的分母为两个数的乘积，且分子为这两个数的差时，可拆成两个分数的差，相加后中间项抵消。
* 核心公式：1n(n+1)=1n−1n+1;kn(n+k)=1n−1n+k\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1};\frac{k}{n(n+k)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}n(n+1)1 =n1 −n+11 ;n(n+k)k =n1 −n+k1 （k 为常数）
例：计算 11×2+12×3+13×4+…+19×10\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+…+\frac{1}{9\times10}1×21 +2×31 +3×41 +…+9×101
原式=(1−12)+(12−13)+(43)+…+(19+110)(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{4}{3})+…+(\frac{1}{9}+\frac{1}{10})(1−21 )+(21 −31 )+(34 )+…+(91 +101 )
中间项抵消后=1−110=9101-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}1−101 =109
六、错位相减法（适用于 “等差 × 等比” 数列求和）
当数列的每一项是 “等差数列 × 等比数列” 时（如 n×2nn\times2^nn×2n），通过乘以公比后错位相减消去中间项。
* 例：计算 S=1×2+2×4+3×8+…+n×2nS=1\times2+2\times4+3\times8+…+n\times2^nS=1×2+2×4+3×8+…+n×2n
步骤：
1. 乘以公比 2：2S=1×4+2×8+…+(n−1)×2n+n×2n+12S=1\times4+2\times8+…+(n-1)\times2^n+n\times2^{n+1}2S=1×4+2×8+…+(n−1)×2n+n×2n+1
2. 两式相减：S−2S=(2+4+8+…+2n)−n×2n***-2S=(2+4+8+…+2^n)-n\times2^{n****−2S=(2+4+8+…+2n)−n×2n+1
3. 化简得：S=(n−1)×2n+1+2S=(n-1)\times2^{n+1}+2S=(n−1)×2n+1+2
七、利用公式法（代数公式简化计算）
通过平方差、完全平方等公式，将复杂算式转化为简单形式。
* 平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b)a2−b2=(a+b)(a−b)
例：9992−12=(999+1)(999−1)=1000×998=998000999^2 -1^2=(999+1)(999-1)=1000\times998=9980009992−12=(999+1)(999−1)=1000×998=998000
* 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2(a±b)2=a2±2ab+b2
例：1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404102^2=(100+2)^2=100^2+2\times100\times2+2^2=10000+400+4=104041022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404
* 立方和 / 差公式：a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)；a2−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；a^2-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)；a2−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
例：8+x3=23+x3=(2+x)(4−2x+x2)8+x^3=2^3+x^3=(2+x)(4-2x+x^2)8+x3=23+x3=(2+x)(4−2x+x2)
八、整体代换法（适用于重复出现的复杂表达式）
当算式中多次出现相同的复杂部分时，用字母代替该部分，简化书写和计算。
* 例：计算 (2+3.5+5.7)×(3.5+5.7+7.9)−(2+3.5+5.7+7.9)×(3.5+5.7)(2+3.5+5.7)\times(3.5+5.7+7.9)-(2+3.5+5.7+7.9)\times(3.5+5.7)(2+3.5+5.7)×(3.5+5.7+7.9)−(2+3.5+5.7+7.9)×(3.5+5.7)
设 a=3.5+5.7,b=2+a,c=a+7.9a=3.5+5.7,b=2+a,c=a+7.9a=3.5+5.7,b=2+a,c=a+7.9
原式=b×c−(b+7.9)×a=bc−ab−7.9a=b(c−a)−7.9ab\times c-(b+7.9)\times a=bc-ab-7.9a=b(c-a)-7.9ab×c−(b+7.9)×a=bc−ab−7.9a=b(c−a)−7.9a
因 c−a=7.9c-a=7.9c−a=7.9，故原式 =b×7.9−7.9a=7.9×2=15.8b\times7.9-7.9a=7.9\times2=15.8b×7.9−7.9a=7.9×2=15.8
九、小数与分数转化法（利用互化简化运算）
小数与分数互化后，可能更便于约分或凑整。
* 例：0.25×45=14×45=420=15=0.20.25\times\frac{4}{5}=\frac{1}{4}\times \frac{4}{5}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}=0.20.25×54 =41 ×54 =204 =51 =0.2
* 例：38+0.625=0.375+0.625=1\frac{3}{8}+0.625=0.375+0.625=183 +0.625=0.375+0.625=1
完
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