在小学及中学阶段，我们认识的都是路程或速度是时间的函数，
即
s=f(t)v=dsst=f′(t)s=f(t)\\ v=\frac{ds}{st}=f'(t) s=f(t)v=stds =f′(t)
但如果速度是路程的函数呢？我们该如何据此求出路程关于时间的表达式？
即已知
v=f(s)v=f(s) v=f(s)
求
s=g(t)s=g(t) s=g(t)
以下是我本人对此的思考。
根据路程和速度的关系，有
g′(t)=f(g(t))g'(t)=f(g(t)) g′(t)=f(g(t))
解这个函数方程即可。
例如：已知
v=s+1s0=t0=0v=s+1\\ s_0=t_0=0 v=s+1s0 =t0 =0
求
s=f(t)s=f(t) s=f(t)
则可以列出函数方程组：
{f′(t)=f(t)+1f(0)=0\begin{cases} f'(t)=f(t)+1\\ f(0)=0 \end{cases} {f′(t)=f(t)+1f(0)=0
不难看出
f(t)=et−1f(t)=e^t-1 f(t)=et−1
若拓展为
v=as+bs0=t0=0v=as+b\\ s_0=t_0=0 v=as+bs0 =t0 =0
则仍有
{f′(t)=af(t)+bf(0)=0\begin{cases} f'(t)=af(t)+b\\ f(0)=0 \end{cases} {f′(t)=af(t)+bf(0)=0
解得
f(t)=baeat−baf(t)=\frac{b}{a}e^{at}-\frac{b}{a} f(t)=ab eat−ab
再次拓展：若加速度是路程的函数，又该如何计算路程关于时间的表达式呢？
即已知
a=f(s)a=f(s) a=f(s)
求
s=g(t)s=g(t) s=g(t)
根据路程与加速度的关系，有
g′′(t)=f(g(t))g''(t)=f(g(t)) g′′(t)=f(g(t))
貌似仍然是解函数方程。
还是看例子吧，若
a=s+1s0=v0=t0=0a=s+1\\ s_0=v_0=t_0=0 a=s+1s0 =v0 =t0 =0
求
s=f(t)s=f(t) s=f(t)
则其函数方程组为
{f′′(t)=f(t)+1f′(0)=0f(0)=0\begin{cases} f''(t)=f(t)+1\\ f'(0)=0\\ f(0)=0 \end{cases} ⎩⎨⎧ f′′(t)=f(t)+1f′(0)=0f(0)=0
有点瞪眼法解不了的样子了……
评论区有大佬来解这个函数方程组吗？
