作者觉得简单化简以前的部分可能有点太简单了，所以直接从这里开始
CSP-J数学题专讲
1. 基本运算例题
例1：简单化简
化简 72\sqrt{72}72
详细解答：
1. 72=36×2\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2}72 =36×2 （将72分解为36×2，因为36是完全平方数）
2. =36×2= \sqrt{36} \times \sqrt{2}=36 ×2 （应用乘法法则ab=ab\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}ab =a b ）
3. =62= 6\sqrt{2}=62 （计算36=6\sqrt{36}=636 =6，保留2\sqrt{2}2 ）
例题2：带分数化简
化简 58\sqrt{\dfrac{5}{8}}85
详细解答：
1. 58=58\sqrt{\dfrac{5}{8}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}}85 =8 5 （应用除法法则a/b=a/b\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}a/b =a /b ）
2. =522= \dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=22 5 （化简8=22\sqrt{8}=2\sqrt{2}8 =22 ）
3. =5×222×2= \dfrac{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}}=22 ×2 5 ×2 （分母有理化，分子分母同乘2\sqrt{2}2 ）
4. =104= \dfrac{\sqrt{10}}{4}=410 （计算2×2=2\sqrt{2} \times \sqrt{2}=22 ×2 =2）
这里需要说一句：最简二次根式定义是
1. 被开方数中不含分母（即分母里不含根号）
2. 被开方数不含平方数因子
2. 加减法例题
例3：同类项合并
计算 312−227+483\sqrt{12} - 2\sqrt{27} + \sqrt{48}312 −227 +48
详细解答：
1. 312=34×3=3×23=633\sqrt{12} = 3\sqrt{4 \times 3} = 3 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}312 =34×3 =3×23 =63 （先化简12\sqrt{12}12 ）
2. 227=29×3=2×33=632\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \times 3} = 2 \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}227 =29×3 =2×33 =63 （化简27\sqrt{27}27 ）
3. 48=16×3=43\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}48 =16×3 =43 （化简48\sqrt{48}48 ）
4. 原式 =63−63+43= 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 4\sqrt{3}=63 −63 +43 （代入化简结果）
5. =(6−6+4)3=43= (6-6+4)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}=(6−6+4)3 =43 （合并同类项）
3. 乘除法例题
例4：多项式乘法
计算 (23+2)(33−2)(2\sqrt{3} + \sqrt{2})(3\sqrt{3} - \sqrt{2})(23 +2 )(33 −2 )（详细原理参见整式的运算）
详细解答：
1. 使用分配律展开：
=23×33+23×(−2)+2×33+2×(−2)= 2\sqrt{3} \times 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \times (-\sqrt{2}) + \sqrt{2} \times 3\sqrt{3} + \sqrt{2} \times (-\sqrt{2})=23 ×33 +23 ×(−2 )+2 ×33 +2 ×(−2 )
2. =6×3+(−26)+36−2= 6 \times 3 + (-2\sqrt{6}) + 3\sqrt{6} - 2=6×3+(−26 )+36 −2 （计算各项乘积）
3. =18−26+36−2= 18 - 2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} - 2=18−26 +36 −2 （计算6×3=18，2×2=2\sqrt{2} \times \sqrt{2}=22 ×2 =2）
4. =(18−2)+(−2+3)6= (18-2) + (-2+3)\sqrt{6}=(18−2)+(−2+3)6 （合并同类项）
5. =16+6= 16 + \sqrt{6}=16+6 （最终结果）
4. 分母有理化例题
例5：单根式有理化
有理化 35\dfrac{3}{\sqrt{5}}5 3
详细解答：
1. 35=3×55×5\dfrac{3}{\sqrt{5}} = \dfrac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}5 3 =5 ×5 3×5 （分子分母同乘5\sqrt{5}5 ）
2. =355= \dfrac{3\sqrt{5}}{5}=535 （计算分母5×5=5\sqrt{5} \times \sqrt{5}=55 ×5 =5）
这里说一个不是公式但特别好用的东西：
1a=aa\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{a}a 1 =aa
例6：二项式有理化
有理化 43−7=\dfrac{4}{3 - \sqrt{7}}=3−7 4 =
详细解答：
1. 43−7=4×(3+7)(3−7)(3+7)\dfrac{4}{3 - \sqrt{7}} = \dfrac{4 \times (3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})}3−7 4 =(3−7 )(3+7 )4×(3+7 ) （分子分母同乘共轭根式3+73+\sqrt{7}3+7 ）
2. =12+479−7= \dfrac{12 + 4\sqrt{7}}{9 - 7}=9−712+47 （计算分子和分母）
3. =12+472= \dfrac{12 + 4\sqrt{7}}{2}=212+47 （计算分母9-7=2）
4. =6+27= 6 + 2\sqrt{7}=6+27 （约分化简）
其实就是在想怎么乘一个数或式让分母有理化
5. 复合根式例题
例7：化简复合根式
化简 11−47\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}11−47
详细解答：
1. 设 11−47=a−b\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}11−47 =a −b （假设可以表示为根式相减）
2. 两边平方得：11−47=a+b−2ab11 - 4\sqrt{7} = a + b - 2\sqrt{ab}11−47 =a+b−2ab
3. 建立方程组：
* a+b=11a + b = 11a+b=11 （有理部分相等）
* −47=−2ab-4\sqrt{7} = -2\sqrt{ab}−47 =−2ab （无理部分相等）
4. 解得：
* ab=27⇒ab=28\sqrt{ab} = 2\sqrt{7} \Rightarrow ab=28ab =27 ⇒ab=28
* 解方程组a+b=11a+b=11a+b=11，ab=28ab=28ab=28得a=7a=7a=7，b=4b=4b=4
5. 所以 11−47=7−4=7−2\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{7} - \sqrt{4} = \sqrt{7} - 211−47 =7 −4 =7 −2
有点像因式分解的十字相乘（作者自己的想法，不要在试卷上这样答）
6. 易错题解析
例8：常见错误
判断正误：9+16=9+16\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16}9+16 =9 +16
详细解析：
1. 左边计算：9+16=25=5\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 59+16 =25 =5
2. 右边计算：9+16=3+4=7\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 79 +16 =3+4=7
3. 结论：错误！因为a+b≠a+b\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}a+b =a +b
例9：数域问题（说白了就是解不等式的感觉）
求2x−6\sqrt{2x-6}2x−6 的数域
详细解析：
1. 根据二次根式定义，被开方数必须非负（这里额外说一点：有非负性的3个东西：绝对值，偶数次方，偶数次根）：
2x−6≥02x - 6 \geq 02x−6≥0
2. 解不等式：
2x≥62x \geq 62x≥6
x≥3x \geq 3x≥3
3. 所以数域是x≥3x \geq 3x≥3
7. 混合运算例题
例10：混合运算
计算 263+24−52\dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} + \sqrt{24} - \dfrac{5}{\sqrt{2}}3 26 +24 −2 5
详细解答：
1. 263=263=22\dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{\dfrac{6}{3}} = 2\sqrt{2}3 26 =236 =22
（应用除法法则a/b=a/b\sqrt{a}/\sqrt{b} = \sqrt{a/b}a /b =a/b ）
2. 24=4×6=26\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}24 =4×6 =26
（分解因式，提取完全平方数4）
3. 52=522\dfrac{5}{\sqrt{2}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}2 5 =252
（分母有理化，分子分母同乘2\sqrt{2}2 ）
4. 原式 =22+26−522= 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6} - \dfrac{5\sqrt{2}}{2}=22 +26 −252
（代入前三步结果）
5. =(2−52)2+26= (2 - \dfrac{5}{2})\sqrt{2} + 2\sqrt{6}=(2−25 )2 +26
（合并同类项2\sqrt{2}2 ）
6. =−122+26= -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} + 2\sqrt{6}=−21 2 +26
（计算系数2-5/2=-1/2）
8. 嵌套根式例题
例11：嵌套根式（作者老师说也叫复合二次根式）
化简 5+26\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}5+26
详细解答：
1. 设 5+26=a+b\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}5+26 =a +b
（假设可以表示为根式相加）
2. 两边平方得：5+26=a+b+2ab5 + 2\sqrt{6} = a + b + 2\sqrt{ab}5+26 =a+b+2ab
（展开平方公式）
3. 建立方程组：
* a+b=5a + b = 5a+b=5
（有理部分对应相等）
* 2ab=262\sqrt{ab} = 2\sqrt{6}2ab =26
（无理部分对应相等）
4. 解得：
* ab=6⇒ab=6\sqrt{ab} = \sqrt{6} \Rightarrow ab=6ab =6 ⇒ab=6
（两边平方）
* 解方程组a+b=5a+b=5a+b=5，ab=6ab=6ab=6得a=3a=3a=3，b=2b=2b=2
（解这个二次方程组）
5. 所以 5+26=3+2\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}5+26 =3 +2
（代入a,b的值）
作者觉得很难理解的就是这里，请大家多多琢磨一下
9. 复杂有理化例题
例12：复杂有理化
有理化 13+2+1\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1}3 +2 +11
详细解答：
1. 使用两次有理化技巧，先乘以(3+2)−1(\sqrt{3}+\sqrt{2})-1(3 +2 )−1：
(3+2)−1[(3+2)+1][(3+2)−1]\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})-1}{[(\sqrt{3}+\sqrt{2})+1][(\sqrt{3}+\sqrt{2})-1]}[(3 +2 )+1][(3 +2 )−1](3 +2 )−1
2. 计算分母：
=(3+2)2−12= (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 - 1^2=(3 +2 )2−12
（应用平方差公式）
=3+26+2−1=4+26= 3 + 2\sqrt{6} + 2 - 1 = 4 + 2\sqrt{6}=3+26 +2−1=4+26
（展开平方项）
3. 现在表达式为：
3+2−14+26\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}{4+2\sqrt{6}}4+26 3 +2 −1
4. 再次有理化，乘以4−264-2\sqrt{6}4−26 ：
(3+2−1)(4−26)(4+26)(4−26)\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(4-2\sqrt{6})}{(4+2\sqrt{6})(4-2\sqrt{6})}(4+26 )(4−26 )(3 +2 −1)(4−26 )
5. 计算分母：
=16−(26)2=16−24=−8= 16 - (2\sqrt{6})^2 = 16 - 24 = -8=16−(26 )2=16−24=−8
（应用平方差公式）
6. 展开分子：
3×4+3×(−26)+2×4+2×(−26)−1×4+(−1)×(−26)\sqrt{3} \times 4 + \sqrt{3} \times (-2\sqrt{6}) + \sqrt{2} \times 4 + \sqrt{2} \times (-2\sqrt{6}) -1 \times 4 + (-1) \times (-2\sqrt{6})3 ×4+3 ×(−26 )+2 ×4+2 ×(−26 )−1×4+(−1)×(−26 )
=43−218+42−212−4+26= 4\sqrt{3} - 2\sqrt{18} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{12} - 4 + 2\sqrt{6}=43 −218 +42 −212 −4+26
7. 化简分子中的根式：
−218=−62-2\sqrt{18} = -6\sqrt{2}−218 =−62
−212=−43-2\sqrt{12} = -4\sqrt{3}−212 =−43
（化简18\sqrt{18}18 和12\sqrt{12}12 ）
8. 合并同类项：
43−43+42−62−4+264\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{2} - 6\sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{6}43 −43 +42 −62 −4+26
=−22−4+26= -2\sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{6}=−22 −4+26
9. 最终结果：
−22−4+26−8=6−2−2−4=2+2−64\dfrac{-2\sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{6}}{-8} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2}{-4} = \dfrac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}}{4}−8−22 −4+26 =−46 −2 −2 =42 +2−6
（约分并调整符号）
10. 方程求解例题
例13：方程求解
解方程 x+5+x=5\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5x+5 +x =5
详细解答：
1. 移项：x+5=5−x\sqrt{x + 5} = 5 - \sqrt{x}x+5 =5−x
（将其中一个根式移到等式右边）
2. 两边平方：
x+5=25−10x+xx + 5 = 25 - 10\sqrt{x} + xx+5=25−10x +x
（应用(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2(a−b)2=a2−2ab+b2公式）
3. 化简：
5=25−10x5 = 25 - 10\sqrt{x}5=25−10x
（两边消去x）
−20=−10x-20 = -10\sqrt{x}−20=−10x
（移项）
2=x2 = \sqrt{x}2=x
（两边除以-10）
4. 再平方：
4=x4 = x4=x
（两边平方消去根号）
5. 检验：
代入x=4：4+5+4=3+2=5\sqrt{4+5} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 54+5 +4 =3+2=5
（验证解的正确性）
11. 不等式求解例题
例14：不等式求解
解不等式 3x−2<x\sqrt{3x - 2} < x3x−2 <x
详细解答：
1. 确定定义域：
3x−2≥0⇒x≥233x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \dfrac{2}{3}3x−2≥0⇒x≥32
（根式内表达式非负）
2. 两边平方（注意x必须为正）：
因为3x−2≥0\sqrt{3x-2} \geq 03x−2 ≥0，所以x>0x > 0x>0
3x−2<x23x - 2 < x^23x−2<x2
3. 整理不等式：
x2−3x+2>0x^2 - 3x + 2 > 0x2−3x+2>0
（移项整理为标准二次不等式）
4. 因式分解：
(x−1)(x−2)>0(x-1)(x-2) > 0(x−1)(x−2)>0
5. 解不等式：
解集为x<1x < 1x<1或x>2x > 2x>2
（根据二次函数图像性质）
6. 结合定义域和条件：
* x≥23x \geq \dfrac{2}{3}x≥32 （定义域）
* x>0x > 0x>0（平方条件）
* x<1x < 1x<1或x>2x > 2x>2（不等式解）
7. 最终解集：
23≤x<1\dfrac{2}{3} \leq x < 132 ≤x<1 或 x>2x > 2x>2
（取所有条件的交集，这个七年级会讲）
12. 综合应用例题
例15：综合应用
已知a=3+2a = \sqrt{3} + \sqrt{2}a=3 +2 ，b=3−2b = \sqrt{3} - \sqrt{2}b=3 −2 ，求a2+b2a^2 + b^2a2+b2的值
详细解答：
1. 计算a2a^2a2：
(3+2)2=3+26+2=5+26(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}(3 +2 )2=3+26 +2=5+26
（应用完全平方公式）
2. 计算b2b^2b2：
(3−2)2=3−26+2=5−26(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}(3 −2 )2=3−26 +2=5−26
（应用完全平方公式）
3. 相加：
a2+b2=(5+26)+(5−26)=10a^2 + b^2 = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 10a2+b2=(5+26 )+(5−26 )=10
（无理部分抵消）
4. 另解（更简便的方法）：
a2+b2=(a+b)2−2aba^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2aba2+b2=(a+b)2−2ab
（应用平方和公式）
* a+b=(3+2)+(3−2)=23a + b = (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}a+b=(3 +2 )+(3 −2 )=23
* ab=(3+2)(3−2)=3−2=1ab = (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 3 - 2 = 1ab=(3 +2 )(3 −2 )=3−2=1
（应用平方差公式）
* 所以a2+b2=(23)2−2×1=12−2=10a^2 + b^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \times 1 = 12 - 2 = 10a2+b2=(23 )2−2×1=12−2=10
（代入计算）
