假如二次函数是我发明的？
好想法。灵感来源于某位不愿意透露姓名的兄弟。
众所周知，一次函数形式为 y=kx+b(k≠0)y=kx+b(k\neq0)y=kx+b(k=0)，那么，不妨就让二次函数形式为 y=ax2+bx+c(a≠0)y=ax^2+bx+c(a\neq0)y=ax2+bx+c(a=0)
然后就没了。
你没看错，就是这么粗暴。之所以它是个函数，是因为能够通过垂线检验。
那么，既然它是个函数，就应该有定义域和值域。
假如二次函数发明人是我，因为我很懒，所以就不限定它自变量 xxx 的取值范围了，直接为全体实数好了，既省力，又合理。
那么值域呢？
我们先做个大胆猜测：它必然存在一个最小值或最大值，且二者（最小值和最大值）不会同时出现。那么，不妨令这个极值出现时 xxx 的值为 xmx_mxm ，极值为 ymy_mym ，把这个极值点记作 M(xm,ym)M(x_m,y_m)M(xm ,ym )，这样，相当于我们只需要求出极值点（或者叫它顶点）的坐标即可。
1. 二次函数以及顶点相关问题
最近看到有人在社区发了一个寻找二次函数顶点的方法，直接上二次函数的 一般式：
y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c
我们的任务就是求它的顶点。此处我会提供三种方法。
1.1. 配方法
最经典的方法。
初三会学二次函数的另一种形式，叫做 顶点式：
y=a(x+m)2+ky=a(x+m)^2+k y=a(x+m)2+k
顶点就是 (−m,k)(-m,k)(−m,k)。
因此，一个好的想法是，把一般式通过一定的手段变成顶点式。
y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c
提取 aaa：
y=a(x2+bax+ca)y=a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}) y=a(x2+ab x+ac )
添项：
y=a(x2+bax+b24a2−b24a2+ca)y=a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}) y=a(x2+ab x+4a2b2 −4a2b2 +ac )
配方，将多余项移出括号后通分：
y=a(x+b2a)+4ac−b24ay=a(x+\dfrac{b}{2a})+\dfrac{4ac-b^2}{4a} y=a(x+2ab )+4a4ac−b2
因此，我们得到结果：二次函数顶点 M(−b2a,4ac−b24a)M(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})M(−2ab ,4a4ac−b2 )
1.2. 对称法
既然我发明了二次函数，那么我肯定要限制它的值域。
计算值域最暴力的方法就是代入无穷多个 xxx 的值，算出来所有 yyy 的值构成一个值域的集合。
当然，我也说了，我很懒。所以我会选择只代入尽可能少的 xxx 的值进行计算。
我发现一个好的选择是代入 x=0x=0x=0，此时 y=cy=cy=c。这不禁让我想到一个问题：是否 ∃x≠0 s.t. y(x)=y(0)=c\exist x\ne0\,\,s.t.\,\,y(x)=y(0)=c∃x=0s.t.y(x)=y(0)=c 呢？
即解方程：
ax2+bx+c=cax^2+bx+c=c ax2+bx+c=c
抵消：
ax2+bx=0ax^2+bx=0 ax2+bx=0
因式分解：
x(ax+b)=0x(ax+b)=0 x(ax+b)=0
得到 x1=0x_1=0x1 =0，x2=−bax_2=-\dfrac{b}{a}x2 =−ab
神奇的是，不光 x=0x=0x=0 可以做到 y(x)=cy(x)=cy(x)=c，x=−bax=-\dfrac{b}{a}x=−ab 时也可以。既然这两个 xxx 会让算出来的 yyy 的值相等，我大胆猜测：我“发明”的二次函数的图像是个轴对称图形。
那么，对称轴就是其中点，记作 xmx_mxm ，那么：
xm=−b2ax_m=-\dfrac{b}{2a} xm =−2ab
因此，我得到了二次函数的顶点坐标为 M(−b2a,4ac−b24a)M(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})M(−2ab ,4a4ac−b2 )
> 注：本方法为作者在某次考试时突发奇想得到的，网上其他人的方法如有雷同，纯属巧合
> 当然，作者厚着脸皮猜测，这应该网上没有人提出过
1.3. 求导法
众所不周知，高中我们会接触到一种新的针对函数的操作：求导
求导也可以帮助我们求出函数的极值。
y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c
求导：
y′=2ax+by'=2ax+b y′=2ax+b
根据某位已故的数学大师提出的定理，当 2ax+b=02ax+b=02ax+b=0 时函数取到极值。因此：
2axm+b=02ax_m+b=0 2axm +b=0
解得：
xm=−b2ax_m=-\dfrac{b}{2a} xm =−2ab
所以二次函数的顶点坐标为 M(−b2a,4ac−b24a)M(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})M(−2ab ,4a4ac−b2 )
1.4. 后记
这些方法都可以求出二次函数极值，都在详解函数#1帖子中提到过，后两种方法在一个新的寻找二次函数顶点的方法？帖子的评论区中也有写到，有兴趣的可以去看看。
读者可以根据自己的喜好来选择方法，最后都是殊途同归。
当然，针对初中的读者，这里还是建议老老实实在卷子上写下第一种方法——配方法（写后面两种可能会扣分）
2. 二次函数和二次方程的应用
你猜为什么前面都是写着一点几？当然时因为还有二点几！
二次函数一般式为 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c，那么如果当 y=0y=0y=0 的时候会发生什么？
好问题！这不就是解一元二次方程吗？
2.1. 一元二次方程的解法
ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2+bx+c=0(a\neq0) ax2+bx+c=0(a=0)
两边同时除以 aaa：
x2+bax+ca=0x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0 x2+ab x+ac =0
添项：
x2+bax+b24a2−b24a2+ca=0x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0 x2+ab x+4a2b2 −4a2b2 +ac =0
移项：
x2+bax+b24a2=b24a2−cax^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a} x2+ab x+4a2b2 =4a2b2 −ac
左边配方，右边通分：
(x+b2a)2=b2−4ac4a2(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} (x+2ab )2=4a2b2−4ac
令 Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4acΔ=b2−4ac。
由于我们是一个二次函数，并非一个 复变函数，因此在笛卡尔坐标系中画出图像，那么只需要考虑实数解，则当 Δ<0\Delta<0Δ<0 时，原方程无实数解，即和 xxx 轴无交点；
当 Δ=0\Delta=0Δ=0 时，我们说二次方程有两个等根为 x1=x2=−b2ax_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}x1 =x2 =−2ab ，即和 xxx 轴只有一个交点 (−b2a,0)(-\dfrac{b}{2a},0)(−2ab ,0)；
当 Δ>0\Delta>0Δ>0 时，x1,2=−b±Δ2ax_{1,2}=\dfrac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}x1,2 =2a−b±Δ ，即和 xxx 轴有两个不同的交点。
2.2. 速度是路程的函数？
这是个奇妙但是非常好的想法！
有人可能会问：这不是八竿子打不着的两个东西吗？一个是物理，一个是数学。
但实际上二者还是略微有一些关联。
为了防止看不懂下面的内容，建议先去看看假如速度是路程的函数帖子和下面的评论。
上面被我引用的帖子中，作者已经提到了，速度 vvv、路程（准确来说应该叫做位移，因为位移可以有正有负）sss 和加速度 aaa 都是关于时间 ttt 的函数。
严格来写是这样的：
v=ΔsΔt a=ΔvΔt=Δ2sΔt2v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}\\\,\\ a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{\Delta^2s}{\Delta t^2}v=ΔtΔs a=ΔtΔv =Δt2Δ2s
因此，不妨设 s=f(t)s=f(t)s=f(t)，那么 v=f′(t), a=f′′(t)v=f'(t),\,\,a=f''(t)v=f′(t),a=f′′(t)
如果我们知道了任意一个上述的函数关系，我们就可以通过求导和积分求出另外两个。
但是，如果我们知道了 f(t), f′(t), f′′(t)f(t),\,\,f'(t),\,\,f''(t)f(t),f′(t),f′′(t) 三者之间的一些关系，能否求出 f(t)f(t)f(t) 呢？
当然可以！这就是我们所说的 解（微分）方程
不妨让这里的 f(t)=yf(t)=yf(t)=y，我们先来看最基础的，假设没有 f′′(t)f''(t)f′′(t) 项，即没有 y′′y''y′′：
y′=ky(k≠0)y'=ky(k\neq0) y′=ky(k=0)
我们可以把它写成莱布尼茨表达式：
ΔyΔx=ky\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=ky ΔxΔy =ky
然后做一些基本的恒等变形，同时为了减少打字量，把 Δ\DeltaΔ 改成简单的英文字母 ddd：
1ydy=kdx\dfrac{1}{y}dy=kdx y1 dy=kdx
请牢牢记住 dydydy 和 dxdxdx 都是整体，并非 d⋅yd\cdot yd⋅y 和 d⋅xd\cdot xd⋅x
然后进行积分：
∫1ydy=∫kdx\int\dfrac{1}{y}dy=\int kdx ∫y1 dy=∫kdx
求解这里两个不定积分很简单：
ln∣y∣=kx+C\ln|y|=kx+C ln∣y∣=kx+C
然后同时作为 eee 的指数：
y=Cekxy=Ce^{kx} y=Cekx
这里 CCC 为任意的常数。
好了，有了这个铺垫，接下来我们正式来看这个方程：
ay′′+by′+cy=0(a≠0)ay''+by'+cy=0(a\neq0) ay′′+by′+cy=0(a=0)
我：“xxx，我对你的爱始终如一，就像 exe^xex 求导依然是它自己”这句话的含金量还在上升，因为我们可以暂时忽略常数项系数 CCC，直接暴力让 y=ekxy=e^{kx}y=ekx
带回原方程：
ak2ekx+bkekx+cekx=0ak^2e^{kx}+bke^{kx}+ce^{kx}=0 ak2ekx+bkekx+cekx=0
之所以选择这样的形式，是为了能够提取出 ekxe^{kx}ekx。
由于 ekx>0e^{kx}>0ekx>0 恒成立，所以只需要解方程求出 kkk 的值即可：
ak2+bk+c=0ak^2+bk+c=0 ak2+bk+c=0
这正是二者的关联所在。
不妨假设我们已经求出两根分别为 k1k_1k1 和 k2k_2k2 ，那么，当 k1≠k2k_1\neq k_2k1 =k2 时，y1=Aek1y_1=Ae^{k_1}y1 =Aek1 和 y2=Bek2y_2=Be^{k_2}y2 =Bek2 都可以是原方程的解（此处我用 AAA 和 BBB 代替两个相同的常数项系数 CCC），我们甚至可以试图相加二者得到最终解：
y=Aek1+Bek2y=Ae^{k_1}+Be^{k_2} y=Aek1 +Bek2
这个结论在二次方程有两个不同实数根和两个复数根时都适用。
那么两个相同实数根呢？不难发现，假设此时两个相同实数根都是 kkk，那么代入 y=kekxy=ke^{kx}y=kekx 也会让原来的微分方程成立。因此，此时原微分方程解为：
y=Aekx+Bkekxy=Ae^{kx}+Bke^{kx} y=Aekx+Bkekx
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
标题只是为了吸引人的……
如果你能够读完，那感谢你的耐心。
若上面有哪里写的有问题，请各位大佬务必在评论区指出。
参考文献：
《普林斯顿微积分》
假如速度是路程的函数
一个新的寻找二次函数顶点的方法？
