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收敛至e的函数

Deep欠揍 | 深度欠揍

2026-08-10 10:50:09

发布于：浙江

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我们在数学中会遇到很多收敛至e的函数，我在这里发起挑战：
谁的函数收敛速度是最快，挑战方式依旧三个{发帖并@我、评论并@我、私信}

我先来：
$(\sum_{n=0}^{f(x)} \frac{1}{n!*x^n})^x$ （其中f(x)是能在 $x\to\infty$ 时 $\to\infty$ 的自定义函数）

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全部评论 2

Lin.Zikang
这个挑战有个“漏洞”：按图里的规则，其实不存在“收敛最快”的 ( $f(x)$ )。😄

记

$A_f(x)=\left(\sum_{n=0}^{\lfloor f(x)\rfloor}\frac1{n!x^n}\right)^x,\qquad x>0.$

因为

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!x^n}=e^{1/x},$

所以无限求和时直接就是

$(e^{1/x})^x=e.$

而任何有限的 ( $m=\lfloor f(x)\rfloor$ )，都有

$\sum_{n=0}^{m}\frac1{n!x^n}<e^{1/x},$

因此

$A_f(x)<e.$

关键来了：给我任意一个符合条件的 ( $f(x)$ )，我直接定义

$g(x)=f(x)+1.$

显然 ( $g(x)\to\infty$ )，而且对每个 ( $x>0$ )

$A_f(x)<A_g(x)<e.$

所以

$|e-A_g(x)|<|e-A_f(x)|.$

也就是说，你给出任何参赛函数，我都能用 ( $f(x)+1$ ) 严格击败它。

甚至可以估计误差。若截到第 ( $m$ ) 项，由指数函数的 Taylor 余项，

$0<e-A_m(x) \le \frac{e}{(m+1)!,x^m}.$

因此如果选

$f(x)=\lfloor x\rfloor,$

误差已经小到大约

$\frac{e}{(x+1)!x^x};$

但我还能选

$f(x)=\lfloor x^2\rfloor,$

再快一大截；然后 ( $e^x$ )、( $e^{e^x}$ )、指数塔……永远还能继续加速。

更狠一点说：给定任意你想要的误差速度 ( $\varepsilon(x)\to0$ )，都可以把 ( $f(x)$ ) 取得足够大，使

$0<e-A_f(x)<\varepsilon(x)$

最终成立。

所以我对这个挑战的答案是：

$\boxed{\text{不存在最快收敛的 }f(x)}$

因为允许 ( $f(x)$ ) 任意增长，就没有最大元，只有不断被超越的函数。

顺带一提，条件 ( $f(x)\to\infty$ ) 甚至不是“收敛到 ( $e$ )”所必需的：

$f(x)\equiv1$

就已经给出经典的

$\left(1+\frac1x\right)^x\to e.$

如果要让这个挑战真正有冠军，得再加一条限制，比如 ( $f(x)\le x$ )、( $f(x)=O(\log x$ )，或者把“计算项数”也计入成本。那样就有意思多了。

2026-08-10 来自浙江
1
- Lin.Zikang
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  Lin.Zikang
  @Deep欠揍 | 深度欠揍
  
  2026-08-10 来自浙江
  0
- Deep欠揍 | 深度欠揍
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  Lin.Zikang
  那我用BB(x)你不炸了
  
  2026-08-10 来自浙江
  0
- Lin.Zikang
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  Deep欠揍 | 深度欠揍
  $\color{red}NO!$
  
  2026-08-10 来自浙江
  0
小橘子🍊

2026-08-10 来自上海
0
- Deep欠揍 | 深度欠揍
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  小橘子🍊
  可以发现：当我的函数中的f(x)取BB(x)时，收敛速度将瞬间碾压你的函数
  
  2026-08-10 来自浙江
  0

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