计算几何基础 - “与君歌一曲”

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Baltic 菠萝的海
8月全勤卷王

2026-07-14 17:00:47

发布于：浙江

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自主学习笔记类产物。用处并不是帮助他人学习

向量的定义：既有大小又有方向的量
向量的模长：就是向量的长度，是一个非负的数值（标量）
标量：只有大小，没有方向的量

a⃗=(x,y)\vec{a}=(x,y)

∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}

sin(θ)=yx2+y2sin(\theta)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}

点积与叉积的不同:
点积的结果是一个数（标量），而不是一个向量的模长（所以写公式会写：a⋅ba\cdot b而不会用∣a⋅b∣|a\cdot b|）
叉积的结果是一个向量，但公式描述的是这个结果向量的模长（所以会加∣∣||）

点积

a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cos(θ)a \cdot b=|a|\cdot|b|\cdot cos(\theta)

叉积

∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅sin(θ)|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot sin(\theta)

叉积2

a⃗×b⃗=x1⋅y2−y1⋅x2\vec{a}\times \vec{b}=x_1\cdot y_2 - y_1\cdot x_2

（叉积和叉积2等价）

由于sin(θ)sin(\theta)在平面直角坐标系中有着这样的性质：
sin(θ)sin(\theta)
(0≤θ≤90)=(0,1](0\le\theta\le90)=(0,1]
(90<θ≤180)=(0,1)(90<\theta\le180)=(0,1)

三个点叉积：

AB⃗=B−A=(B.x−A.x,B.y−A.y)\vec{AB}=B-A=(B.x-A.x,B.y-A.y)
AB⃗⋅AC⃗=（B.x−A.x)⋅(A.y−C.y)−(B.y−A.y)(B.x−A.x)\vec{AB}\cdot \vec{AC}=（B.x-A.x)\cdot (A.y-C.y) - (B.y-A.y)(B.x-A.x)

已知三个点的坐标，如何求取三角形面积：

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