二次根式学习笔记

Async #2.0.1

2026-04-08 10:01:17

发布于：浙江

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一、基本概念

1. 定义

形如 $\sqrt{a}$ $(a \geq 0)$ 的式子叫做二次根式
其中：
- " $\sqrt{\ \ }$ " 称为二次根号
- $a$ 称为被开方数，必须是非负数

2. 有意义条件

$\sqrt{a}$ 有意义 $\Leftrightarrow a \geq 0$
举例：
- $\sqrt{x-3}$ 有意义 $\Rightarrow x-3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$
- $\sqrt{-5}$ 无意义（在实数范围内）

二、重要性质与公式

1. 双重非负性

被开方数非负： $a \geq 0$
结果非负： $\sqrt{a} \geq 0$

2. 基本公式

$(\sqrt{a})^2 = a$ $(a \geq 0)$
$\sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} a & (a \geq 0) \\ -a & (a < 0) \end{cases}$

3. 运算法则

乘法

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \quad (a \geq 0, b \geq 0)$

除法

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (a \geq 0, b > 0)$

加减法

只有同类二次根式才能合并
同类二次根式：化简后，被开方数相同的二次根式
例： $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$

三、化简与运算

1. 最简二次根式

满足以下三个条件：

被开方数不含分母
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
分母中不含根号

2. 化简方法

根号内因式分解

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

分母有理化

单项分母： $\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}$
二项分母：利用平方差公式
- $\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$
- $\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$

四、常见题型与解法

1. 比较大小

方法1：平方比较法
- 比较 $\sqrt{a}$ 和 $\sqrt{b}$ $\Rightarrow$ 比较 $a$ 和 $b$
方法2：作差法
方法3：分母有理化后比较

2. 求取值范围

例： $\sqrt{x-2} + \sqrt{3-x}$ 有意义

解： $\begin{cases} x-2 \geq 0 \\ 3-x \geq 0 \end{cases} \Rightarrow 2 \leq x \leq 3$

3. 整体代入

例：已知 $x = \sqrt{3} + 1$ ，求 $x^2 - 2x$ 的值

解： $x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1 = (\sqrt{3})^2 - 1 = 3 - 1 = 2$

五、易错点提醒

$\sqrt{a^2} = |a|$ ，不是 $a$
- $\sqrt{(-3)^2} = 3$ ，不是 $-3$
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ 成立的条件是 $a \geq 0, b \geq 0$
合并同类项时，系数相加减，根号部分不变
分母有理化时，注意符号不要出错

六、综合例题

例题1：计算

$(2\sqrt{3} + \sqrt{6})(2\sqrt{3} - \sqrt{6}) - (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2$

解：

$\begin{aligned} &= (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2 - [( \sqrt{5})^2 - 2\sqrt{10} + (\sqrt{2})^2] \\ &= 12 - 6 - (5 - 2\sqrt{10} + 2) \\ &= 6 - (7 - 2\sqrt{10}) \\ &= 6 - 7 + 2\sqrt{10} \\ &= 2\sqrt{10} - 1 \end{aligned}$

例题2：化简求值

已知 $a = \sqrt{5} - 2$ ，求 $\dfrac{a^2 - 1}{a^2 - 2a + 1} \div \dfrac{a+1}{a-1}$ 的值

解：

$\begin{aligned} \text{原式} &= \frac{(a-1)(a+1)}{(a-1)^2} \cdot \frac{a-1}{a+1} \\ &= 1 \end{aligned}$

（结果与 $a$ 的值无关）

题目描述

对于正整数 $n$ ，它的算术平方根 $\sqrt{n}$ 可以被化简为 $a\sqrt b$ 的形式（ $a,b$ 为正整数）。例如 $\sqrt {48}=2\sqrt{12}=4\sqrt 3$ ， $(a,b)$ 有 $(2,12)$ 和 $(4,3)$ 两种可能的取值。我们取其中 $b$ 最小的一对 $(a,b)$ ，称 $a\sqrt b$ 为 $\sqrt n$ 的最简二次根式形式，并记 $f(n)=a,g(n)=b$ 。例如 $4\sqrt 3$ 是 $\sqrt{48}$ 的最简二次根式形式， $f(48)=4,g(48)=3$ 。

给你一个正整数 $N$ ，你要求出 $F=\prod_{i=1}^{N} f(i)$ 和 $G=\prod_{i=1}^{N} g(i)$ 。

答案对 $10^9+7$ 取模。

输入格式

本题包含多组测试数据。

输入的第一行包含一个整数 $T$ ，表示测试数据的组数。

接下来包含 $T$ 组数据，每组数据的格式如下：

第一行包含一个正整数 $N$ 。

输出格式

对于每组测试数据输出一行，包含两个整数 $F,G$ ，表示对应的答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

输入输出样例 #2

输入 #2

输出 #2

738149771 674665304
264987165 609215741
131526842 374945419
888025356 454209478
480136054 451395088
663400143 769130432
247522399 952764268
682844121 950842888
791253622 31850889
727112268 845275023
292301737 597354033
812796761 569051975
855292528 209388390
900150036 76703678
594714585 638549797
381509563 580375024

说明/提示

样例解释 #1

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$\sqrt{n}$	$1$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$	$2$	$\sqrt{5}$	$\sqrt{6}$	$\sqrt{7}$	$2\sqrt{2}$	$3$	$\sqrt{10}$
$f(n)$	$1$	$1$	$1$	$2$	$1$	$1$	$1$	$2$	$3$	$1$
$g(n)$	$1$	$2$	$3$	$1$	$5$	$6$	$7$	$2$	$1$	$10$

数据范围

对于所有数据， $1\leq T\leq 400$ ， $1\leq N<10^9+7$ 。

测试点编号	$N$
$1$	$\leq400$
$2$	$\leq10^{3}$
$3$	$=5,555$
$4$	$\leq10^{4}$
$5$	$\leq10^{5}$
$6$	$\leq10^{6}$
$7$	$\leq10^{7}$
$8$	$\leq10^{8}$
$9$	$=1,000,000,006$
$10$	$\leq1,000,000,006$

二次根式 / sosqrt 题解

题目回顾

对于正整数 $n$ ，我们把 $\sqrt{n}$ 写成 $a\sqrt{b}$ 的形式（ $a,b$ 为正整数），其中 $b$ 最小。这个形式称为最简二次根式，记：

$f(n) = a, \quad g(n) = b$

然后求：

$F(N) = \prod_{i=1}^{N} f(i) \bmod M, \quad G(N) = \prod_{i=1}^{N} g(i) \bmod M$

其中 $M = 10^9+7$ 。

1. 如何求 $f(n), g(n)$

已知 $\sqrt{n} = a\sqrt{b}$ ，其中 $a, b$ 是正整数，且 $b$ 最小。

我们有：

$n = a^2 \times b$

并且 $b$ 不包含平方因子（square-free，即 $b$ 的质因子的指数均为 1）。

因为 $b$ 最小意味着 $a$ 最大。换句话说，要把 $n$ 中所有的平方因子拿出来放进 $a^2$ 中，剩下的就是 $b$ 。

设：

$n = s^2 \times t$

其中 $t$ 是平方自由数。那么最简二次根式是：

$\sqrt{n} = s \sqrt{t}$

所以：

$f(n) = s, \quad g(n) = t$

其中 $s$ 是最大整数使得 $s^2 \mid n$ ，并且 $t = n / s^2$ 是平方自由的。

2. 符号定义

定义 $s(n)$ 是最大的正整数使得 $s(n)^2 \mid n$ ，记 $t(n) = n / s(n)^2$ 是平方自由部分。

那么：

$f(n) = s(n), \quad g(n) = t(n)$

因此：

$F(N) = \prod_{n=1}^{N} s(n)$

$G(N) = \prod_{n=1}^{N} t(n)$

问题转化为：对每个 $n$ 分解出它的平方部分 $s(n)^2$ 和平方自由部分 $t(n)$ 。

3. 乘积形式

3.1 乘积 $F(N) = \prod_{n=1}^{N} s(n)$

设 $n = m^2 \times t$ ，其中 $t$ 是平方自由数。

那么 $s(n) = m$ 。

我们尝试枚举 $m$ ：

固定 $m$ ，看哪些 $n$ 的 $s(n) = m$ 呢？这要求 $m^2 \mid n$ ，但 $n$ 除去 $m^2$ 后是平方自由数，且 $m$ 是最大的满足这个条件的数。

更直接的计数：对于固定的 $m$ ， $n = m^2 \times t$ ，其中 $t$ 平方自由，并且 $t$ 不能被任何大于 1 的平方数整除（已经平方自由），但这里"最大"意味着：如果 $t$ 是平方自由，则 $s(n) = m$ 当且仅当 $t$ 不被大于 1 的平方整除（这已经满足），并且 $m$ 最大意味着 $t$ 与 $m$ 没有公共平方因子？其实不对，因为 $t$ 平方自由，所以 $t$ 与 $m$ 没有公共平方因子是自动的，除了 1。

实际上，条件" $s(n) = m$ "等价于： $m^2 \mid n$ 且 $n/m^2$ 平方自由，并且 $m$ 是满足 $m^2 \mid n$ 的最大整数。这个"最大"条件等同于说 $n/m^2$ 不被任何大于 1 的平方整除（平方自由）。所以 $n$ 在范围 $1 \le n \le N$ 内，可以写成 $n = m^2 \times t$ ， $t$ 平方自由，且 $t \le N/m^2$ 。

那么 $s(n) = m$ 的个数是：平方自由数的个数 $Q(\lfloor N/m^2 \rfloor)$ 。

这里 $Q(x)$ 是 $1$ 到 $x$ 中平方自由数的个数。

于是：

$F(N) = \prod_{m=1}^{\lfloor\sqrt{N}\rfloor} m^{Q(\lfloor N/m^2 \rfloor)}$

3.2 乘积 $G(N) = \prod_{n=1}^{N} t(n)$

$t(n)$ 是 $n$ 的平方自由部分。

我们可以换个角度：把 $n$ 写成 $m^2 \times t$ ，对固定的平方自由数 $t$ ，看它在 $1 \le n \le N$ 中出现的次数。

对每个平方自由数 $t$ ， $n = m^2 \times t \le N \Rightarrow m \le \lfloor\sqrt{N/t}\rfloor$ 。

所以 $t$ 在 $G(N)$ 的乘积中出现了 $\lfloor\sqrt{N/t}\rfloor$ 次。

那么：

$G(N) = \prod_{t=1}^{N, \ t \text{ squarefree}} t^{\lfloor\sqrt{N/t}\rfloor}$

注意 $t$ 取到 $N$ ，但只有平方自由的 $t$ 才在乘积中。

4. 高效计算

我们需要在 $N$ 很大（可到 $10^9$ 级别）时快速计算。

4.1 计算 $F(N)$

$F(N) = \prod_{m=1}^{\lfloor\sqrt{N}\rfloor} m^{Q(\lfloor N/m^2 \rfloor)}$

这里 $Q(x)$ 可以用容斥原理计算：

$Q(x) = \sum_{d=1}^{\lfloor\sqrt{x}\rfloor} \mu(d) \left\lfloor \frac{x}{d^2} \right\rfloor$

其中 $\mu$ 是莫比乌斯函数。

这样我们就能快速求 $Q(x)$ 了。

4.2 计算 $G(N)$

$G(N) = \prod_{t=1}^{N, \ t \text{ squarefree}} t^{\lfloor\sqrt{N/t}\rfloor}$

我们可以枚举 $k = \lfloor\sqrt{N/t}\rfloor$ ，它表示某个平方自由数 $t$ 对应的指数是 $k$ 。

即：

设 $k = \lfloor\sqrt{N/t}\rfloor$ ，则 $k \le \sqrt{N/t} < k+1$ ，即：

$\frac{N}{(k+1)^2} < t \le \frac{N}{k^2}$

并且 $t$ 平方自由。

所以对每个 $k \ge 1$ ，平方自由数 $t$ 在区间 $(\frac{N}{(k+1)^2}, \frac{N}{k^2}]$ 内，指数是 $k$ 。

注意 $k$ 最大是 $\lfloor\sqrt{N}\rfloor$ 。

于是：

$G(N) = \prod_{k=1}^{\lfloor\sqrt{N}\rfloor} \left( \prod_{\substack{t \text{ squarefree} \\ N/(k+1)^2 < t \le N/k^2}} t \right)^k$

5. 计算平方自由数乘积

我们需要高效计算：

$S(a,b] = \prod_{a < t \le b, \ t \text{ squarefree}} t$

即区间 $(a, b]$ 内平方自由数的乘积。

利用莫比乌斯函数：

$\sum_{\substack{t=1 \\ t \text{ squarefree}}}^n t = \sum_{d=1}^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor} \mu(d) d^2 \times \text{sum1}(\lfloor n/d^2 \rfloor)$

但这是和，我们需要乘积。

乘积可以类似处理，但比较麻烦。一个方法是用前缀乘积的除法，但需要模 $M$ 下的逆元。可以预处理平方自由数的前缀乘积，但 $n$ 很大时不行。

注意到 $n$ 很大，但区间的长度 $\frac{N}{k^2} - \frac{N}{(k+1)^2}$ 在 $k$ 小时很大，但 $k$ 大时很小，不过对 $10^9$ 来说直接枚举区间不可行。

必须用数论分块的思想，用 $\mu(d)$ 来标记平方自由数：

平方自由数的乘积 = 所有数的乘积 / 有平方因子的数的乘积。

有平方因子的数可以通过枚举平方因子来排除。

但更实用的是用莫比乌斯函数：

$\prod_{t=1}^n t^{\mu^2(t)} = \prod_{d=1}^{\sqrt{n}} \left( \prod_{j=1}^{\lfloor n/d^2 \rfloor} (j d^2)^{\mu(d)} \right)$

这个公式有点复杂，但可以做到 $O(\sqrt{n})$ 计算。

6. 算法步骤

预处理 $\mu(1)$ 到 $\mu(\lfloor\sqrt{N}\rfloor)$ 。
对每个 $N$ $N$ ：
- 计算 $F(N)$ $F (N)$ ：
  - 枚举 $m$ $m$ 从 1 到 $\sqrt{N}$ $N$ ：
    - 计算 $Q(\lfloor N/m^2 \rfloor)$ 用 $\mu$ 求和。
    - 累乘 $m^{Q(...)} \bmod M$ 。
- 计算 $G(N)$ $G (N)$ ：
  - 枚举 $k$ $k$ 从 1 到 $\sqrt{N}$ $N$ ：
    - 计算区间 $L = \lfloor N/(k+1)^2 \rfloor$ ， $R = \lfloor N/k^2 \rfloor$ 。
    - 计算 $\prod_{t=L+1}^R t^{\mu^2(t)}$ 用莫比乌斯函数方法。
    - 把这个乘积的 $k$ 次方乘到答案。
输出 $F, G$ 。

时间复杂度大约 $O(\sqrt{N})$ 每组数据，可以过 $N \le 10^9$ 的测试。

7. 核心代码框架（C++）


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
const int M=1e9+7,S=1e6+5;
int p[S],v[S],c,mu[S];
ll q(ll a,ll b){
	ll r=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%M)if(b&1)r=r*a%M;
	return r;
}
void init(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<S;i++){
		if(!v[i])p[++c]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=c&&i*p[j]<S;j++){
			v[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				mu[i*p[j]]=0;
				break;
			}
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
}
ll C(ll n){
	ll r=0;
	for(ll d=1;d*d<=n;d++)r+=mu[d]*(n/(d*d));
	return r;
}
int main(){
	init();
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--){
		ll N,F=1,G=1;scanf("%lld",&N);
		for(ll s=1;s*s<=N;s++){
			F=F*q(s%M,C(N/(s*s)))%M;
		}
		ll max_k=sqrt(N);
		vector<bool> is_squarefree(N+1,true);
		for(ll d=2;d*d<=N;d++){
			if(mu[d]==0)continue;
			for(ll j=d*d;j<=N;j+=d*d){
				is_squarefree[j]=false;
			}
		}
		
		for(ll k=1;k<=max_k;k++){
			ll R=N/(k*k);
			ll L=N/((k+1)*(k+1));
			ll prod=1;
			for(ll t=L+1;t<=R;t++){
				if(is_squarefree[t]){
					prod=prod*(t%M)%M;
				}
			}
			
			G=G*q(prod,k)%M;
		}
		
		printf("%lld %lld\n",F,G);
	}
	return 0;
}