质疑

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FanBoys

2026-04-06 18:10:04

发布于：上海

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原题链接：石头剪刀布（easy ver.）石头剪刀布（hard ver.）

对于样例 x=1x=1，我的理解如下：

因为要 恰好 达到 11 分，所以只可能是一次平局

可能是一局达到平局，期望为 13×1\dfrac{1}{3}\times1

可能是两局，第一局输了没有得分，第二局平局，期望为 13×13×2\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\times2

可能是三局，前两局输了没有得分，第三局平局，期望为 (13)3×3(\dfrac{1}{3})^3\times3

可能是四局，前三局输了没有得分，第四局平局，期望为 (13)4×3(\dfrac{1}{3})^4\times3

可能是……

因此，使得 x=1x=1 的期望局数为 E=13×1+(13)2×2+(13)3×3+⋯E=\dfrac{1}{3}\times1+(\dfrac{1}{3})^2\times2+(\dfrac{1}{3})^3\times3+\cdots

化简：

E=∑i=1∞i⋅(13)iE=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot(\dfrac{1}{3})^i

明显有：

∑i=1∞(13)i<E<∑i=1∞2i−1(13)i\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i<E<\sum_{i=1}^{\infty}2^{i-1}(\dfrac{1}{3})^i

令 A=∑i=1∞(13)i,  B=∑i=1∞2i−1(13)i\displaystyle A=\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i,\,\,B=\sum_{i=1}^{\infty}2^{i-1}(\dfrac{1}{3})^i

先考虑化简 AA

左右两边同时乘上 13\dfrac{1}{3}，得到：

13A=13∑i=1∞(13)i=∑i=2∞(13)i\dfrac{1}{3}A=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i=\sum_{i=2}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i

错位相减：

A−13A=∑i=1∞(13)i−∑i=2∞(13)iA-\dfrac{1}{3}A=\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i-\sum_{i=2}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i

化简：

23A=13\dfrac{2}{3}A=\dfrac{1}{3}

因此：

A=12A=\dfrac{1}{2}

接着考虑化简 BB

先对其进行变形：

B=∑i=1∞2i−1(13)i=13∑i=1∞(23)i−1=13∑i=0∞(23)iB=\sum_{i=1}^{\infty}2^{i-1}(\dfrac{1}{3})^i=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^{i-1}=\dfrac{1}{3}\sum_{i=0}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i

左右同时乘上 23\dfrac{2}{3}：

23B=13∑i=1∞(23)i\dfrac{2}{3}B=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i

错位相减：

B−23B=13∑i=0∞(23)i−13∑i=1∞(23)iB-\dfrac{2}{3}B=\dfrac{1}{3}\sum_{i=0}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i-\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i

化简：

13B=13×1\dfrac{1}{3}B=\dfrac{1}{3}\times1

因此：

B=1B=1

所以，有 12<E<1\dfrac{1}{2}<E<1

请问一下为什么原题中 x=1x=1 时的期望值会是 33

@不会C++的一只屑生姜

如果评论区有大佬看出来我推到过程中有什么问题，欢迎指出

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0/2000

全部评论 2

  • userId_undefined
    不会C++的一只屑生姜
    出道萌新时空双修者荣耀黄金超能小狗勇敢小狗快乐小狗

    这个情况很明显属于几何分布，此时p=1/3那么期望就是1/(1/3)=3

    2026-04-07 来自 上海

    0
  • userId_undefined
    cjdst
    尊贵铂金CSP-S一等奖代码纠察员出题人

    你这结果显然不对吧，显然分数到达 11 至少得 11 局，你怎么算出少于 11 局的

    2026-04-06 来自 广东

    0
    • userId_undefined
      FanBoys
      回复
      cjdst

      所以请问你知道我这过程哪里错了吗？我没看出来，但感觉确实算错了，所以发帖求助

      2026-04-06 来自 上海

      0

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