假如二次函数是我发明的

沈思邈

2026-02-13 01:35:43

发布于：上海

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假如二次函数是我发明的？

好想法。灵感来源于某位不愿意透露姓名的兄弟。

众所周知，一次函数形式为 $y=kx+b(k\neq0)$ ，那么，不妨就让二次函数形式为 $y=ax^2+bx+c(a\neq0)$

然后就没了。
你没看错，就是这么粗暴。之所以它是个函数，是因为能够通过垂线检验。

那么，既然它是个函数，就应该有定义域和值域。
假如二次函数发明人是我，因为我很懒，所以就不限定它自变量 $x$ 的取值范围了，直接为全体实数好了，既省力，又合理。
那么值域呢？

我们先做个大胆猜测：它必然存在一个最小值或最大值，且二者（最小值和最大值）不会同时出现。那么，不妨令这个极值出现时 $x$ 的值为 $x_m$ ，极值为 $y_m$ ，把这个极值点记作 $M(x_m,y_m)$ ，这样，相当于我们只需要求出极值点（或者叫它顶点）的坐标即可。

1. 二次函数以及顶点相关问题

最近看到有人在社区发了一个寻找二次函数顶点的方法，直接上二次函数的 一般式：

$y=ax^2+bx+c$

我们的任务就是求它的顶点。此处我会提供三种方法。

1.1. 配方法

最经典的方法。

初三会学二次函数的另一种形式，叫做 顶点式：

$y=a(x+m)^2+k$

顶点就是 $(-m,k)$ 。

因此，一个好的想法是，把一般式通过一定的手段变成顶点式。

$y=ax^2+bx+c$

提取 $a$ ：

$y=a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a})$

添项：

$y=a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a})$

配方，将多余项移出括号后通分：

$y=a(x+\dfrac{b}{2a})+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$

因此，我们得到结果：二次函数顶点 $M(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$

1.2. 对称法

既然我发明了二次函数，那么我肯定要限制它的值域。

计算值域最暴力的方法就是代入无穷多个 $x$ 的值，算出来所有 $y$ 的值构成一个值域的集合。

当然，我也说了，我很懒。所以我会选择只代入尽可能少的 $x$ 的值进行计算。

我发现一个好的选择是代入 $x=0$ ，此时 $y=c$ 。这不禁让我想到一个问题：是否 $\exist x\ne0\,\,s.t.\,\,y(x)=y(0)=c$ 呢？

即解方程：

$ax^2+bx+c=c$

抵消：

$ax^2+bx=0$

因式分解：

$x(ax+b)=0$

得到 $x_1=0$ ， $x_2=-\dfrac{b}{a}$

神奇的是，不光 $x=0$ 可以做到 $y(x)=c$ ， $x=-\dfrac{b}{a}$ 时也可以。既然这两个 $x$ 会让算出来的 $y$ 的值相等，我大胆猜测：我“发明”的二次函数的图像是个轴对称图形。

那么，对称轴就是其中点，记作 $x_m$ ，那么：

$x_m=-\dfrac{b}{2a}$

因此，我得到了二次函数的顶点坐标为 $M(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$

注：本方法为作者在某次考试时突发奇想得到的，网上其他人的方法如有雷同，纯属巧合
当然，作者厚着脸皮猜测，这应该网上没有人提出过

1.3. 求导法

众所不周知，高中我们会接触到一种新的针对函数的操作：求导

求导也可以帮助我们求出函数的极值。

$y=ax^2+bx+c$

求导：

$y'=2ax+b$

根据某位已故的数学大师提出的定理，当 $2ax+b=0$ 时函数取到极值。因此：

$2ax_m+b=0$

解得：

$x_m=-\dfrac{b}{2a}$

所以二次函数的顶点坐标为 $M(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$

1.4. 后记

这些方法都可以求出二次函数极值，都在详解函数#1帖子中提到过，后两种方法在一个新的寻找二次函数顶点的方法？帖子的评论区中也有写到，有兴趣的可以去看看。

读者可以根据自己的喜好来选择方法，最后都是殊途同归。

当然，针对初中的读者，这里还是建议老老实实在卷子上写下第一种方法——配方法（写后面两种可能会扣分）

2. 二次函数和二次方程的应用

~~你猜为什么前面都是写着一点几？当然时因为还有二点几！~~

二次函数一般式为 $y=ax^2+bx+c$ ，那么如果当 $y=0$ 的时候会发生什么？

好问题！这不就是解一元二次方程吗？

2.1. 一元二次方程的解法

$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$

两边同时除以 $a$ ：

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$

添项：

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0$

移项：

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}$

左边配方，右边通分：

$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$

令 $\Delta=b^2-4ac$ 。
由于我们是一个二次函数，并非一个 复变函数，因此在笛卡尔坐标系中画出图像，那么只需要考虑实数解，则当 $\Delta<0$ 时，原方程无实数解，即和 $x$ 轴无交点；
当 $\Delta=0$ 时，我们说二次方程有两个等根为 $x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$ ，即和 $x$ 轴只有一个交点 $(-\dfrac{b}{2a},0)$ ；
当 $\Delta>0$ 时， $x_{1,2}=\dfrac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$ ，即和 $x$ 轴有两个不同的交点。