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震惊数学界100年的数学题

2026-02-07 23:45:21

发布于：浙江

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事情是这样的：
一天我在辅导我儿子（4年级）做数学题，其中有一道判断题：

3700/400=37/4=9......1（）

我们分步骤理解一下：

3700/400=37/4 37/4=9......1 3700/400=9......1

但很明显，第3个表达式是错的：

3700/400=37/4（对） 37/4=9......1（对） 3700/400=9......1（错）

3700/400=9......100、3700/400!=9......1

但是：

3700/400=37/4 、37/4=9......1 ，理论上3700/400=9......1，但事实上：
3700/400=9......100、3700/400!=9......1

所以，这道判断题到底是对？还是错？

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全部评论 2

AC
这道题的关键在于余数的定义和等式的传递性在带余除法中的陷阱。

先看数学定义
对于整数除法 a \div b = q \cdots r ，必须满足：
$a = b \times q + r, \quad 0 \le r < b$
这里的 r 是余数，必须是非负且小于除数的整数。

逐步分析题目
原题是：
$3700 \div 400 = 37 \div 4 = 9 \cdots 1 \quad (\text{判断对错})$
步骤分解：
• $3700 \div 400$ 可以化简为 $37 \div 4$ （商和余数不能直接这样化简，只能化简分数值）。

• $37 \div 4 = 9 \cdots 1$ 是对的，因为 $37 = 4 \times 9 + 1$ ，且 $0 \le 1 < 4$ 。

• 但是 $3700 \div 400$ 计算：

$ 3700 = 400 \times 9 + 100$ ，余数是 $100 $，不是 $1$ 。
因为 $0 \le 100 < 400$ 成立，所以正确余数是 $100$ 。

为什么会出现“理论上 $3700/400 = 9……1$ ”的错误推理
错误在于：
“ $3700/400 = 37/4$ ” 在分数（商的小数形式）上成立，即
$\frac{3700}{400} = \frac{37}{4} = 9.25$
但在 $\huge 带余除法$ 中，余数必须相对于原除数。
化简分数时，被除数和除数同时除以 100，余数也要乘以 100 才能对应原式的余数。
更准确说：
如果 $a = b \times q + r$ ，那么
$\frac{a}{n} = \frac{b}{n} \times q + \frac{r}{n}$
但这是小数形式，不是整数带余除法。
对于整数带余除法，不能直接“约分”余数，除非余数是除数的倍数且同时缩小。

实际上有一个性质：
若 $ a = b \times q + r$ ，且 $n \mid a, n \mid b$ ，则
$\frac{a}{n} = \frac{b}{n} \times q + \frac{r}{n}$
但$ \frac{r}{n}$ 必须是整数，且 $0 \le \frac{r}{n} < \frac{b}{n}$ 才成立。
这里 $r=100, n=100$ 时， $\frac{r}{n}=1$ ，且 $0 \le 1 < 4$ 成立，所以商相同，余数缩小 n 倍这个性质成立，但前提是 r 必须能被 n 整除，且我们明确知道是在做整数除法的转换。
在题目里，他们直接写“ $3700/400=37/4=9……1$ ”，中间的等号把带余除法的结果直接传递，这是错误的，因为“ $37/4=9……1$ ”中的余数 1 对应的是除数 4，不是除数 400，所以不能直接写成“ $3700/400=9……1$ ”。

结论
判断题：
$3700 \div 400 = 37 \div 4 = 9 \cdots 1$
是错的。
因为“3700÷400”的余数是 100，不是 1。
虽然商都是 9，但余数不同，带余除法的等式不能这样传递。

如何教四年级孩子理解
可以举例：
$ 20 \div 8 = 2 \cdots 4 $
把被除数和除数都除以 2： $10 \div 4 = 2 \cdots 2 $
余数变了（4÷2=2），不是原来的 4。
所以“同时缩小相同倍数时，商不变，但余数也缩小相同倍数”。
原题中 $3700÷400$ 余 $100$ ，缩小 $100$ 倍后， $37÷4 余 1$ ，所以两个余数 $100$ 和 $1 $是 $100 $倍关系，不能直接相等。
因此题目写法是错的。
1周前来自北京
0
- AC君
  回复
  AC
  谢谢
  
  1周前来自浙江
  0
请输入文本.
一眼错

1周前来自上海
0

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