一个新的寻找二次函数顶点的方法？

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Ymh
CSP-J一等奖CSP-J二等奖

2026-02-03 09:08:10

发布于：广东

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首先，形如

ax2+bx+cax^2+bx+c

的柿子

要变为

k(x−l)2+r (k,l,r不含x)k(x-l)^2+r\ (k,l,r不含x)

先化简原式

k(x−l)2+rk(x-l)^2+r

=k(x2+l2−2xl)+r=k(x^2+l^2-2xl)+r

=kx2+kl2−2kxl+r=kx^2+kl^2-2kxl+r

那么你就会发现 (因为 (k,l,r不含x)(k,l,r不含x) )

{k=abx=−2kxlkl2+r=c\left\{\begin{matrix}k=a \\bx=-2kxl \\kl^2+r=c \end{matrix}\right.

若 x=0x=0 ，则 y=cy=c 嗯对。。。

否则

{k=ab=−2klkl2+r=c\left\{\begin{matrix} k=a \\ b=-2kl \\kl^2+r=c \end{matrix}\right.

将 k=ak=a 代入方程组

{b=−2alal2+r=c\left\{\begin{matrix}b=-2al \\al^2+r=c \end{matrix}\right.

单独求解①式，得：

l=−b2al=-\frac{b}{2a}

将其带入②式

a×b24a2+r=ca\times \frac{b^2}{4a^2}+r=c

b24a+r=c\frac{b^2}{4a}+r=c

所以

r=c−b24ar=c-\frac{b^2}{4a}

所以

{k=al=−b2ar=c−b24a\left\{\begin{matrix}k=a \\l=-\frac{b}{2a} \\r=c-\frac{b^2}{4a} \end{matrix}\right.

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全部评论 78

  • userId_undefined
    cjdst
    尊贵铂金CSP-S一等奖代码纠察员出题人

    在洛谷看到过你orz

    2026-01-30 来自 广东

    8
  • userId_undefined
    IdssT_dx
    秩序白银

    我们从目标形式 k(x−l)2+rk(x-l)^2+r 出发，和原式 ax2+bx+cax^2+bx+c 做系数匹配，步骤如下：

    1. 展开目标形式
      先把顶点式展开：

    k(x−l)2+r=k(x2−2lx+l2)+r=kx2−2klx+kl2+r\begin{align*} k(x-l)^2+r &= k(x^2-2lx+l^2)+r \\ &= kx^2-2klx+kl^2+r \end{align*}

    1. 与原式对比系数
      将展开式与 ax2+bx+cax^2+bx+c 对应系数相等，得到方程组：

    {k=a（二次项系数相等）−2kl=b（一次项系数相等）kl2+r=c（常数项相等）\begin{cases} k = a \quad \text{（二次项系数相等）} \\ -2kl = b \quad \text{（一次项系数相等）} \\ kl^2 + r = c \quad \text{（常数项相等）} \end{cases}

    1. 解方程组求系数
    • 由 k=ak=a 代入第二个方程：

    −2al=b  ⟹  l=−b2a-2al = b \implies l = -\frac{b}{2a}

    • 把 k=ak=a 和 l=−b2al=-\dfrac{b}{2a} 代入第三个方程：

    a(−b2a)2+r=c  ⟹  b24a+r=c  ⟹  r=c−b24aa\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + r = c \implies \frac{b^2}{4a} + r = c \implies r = c - \frac{b^2}{4a}

    1. 最终结论
      因此，二次函数 ax2+bx+cax^2+bx+c 可以写成：

    ax2+bx+c=a(x+b2a)2+(c−b24a)\boldsymbol{ax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c-\frac{b^2}{4a}\right)}

    对应题目要求的 k(x−l)2+rk(x-l)^2+r 形式，直接对应系数为：

    {k=al=−b2ar=c−b24a\boldsymbol{\begin{cases} k = a \\ l = -\dfrac{b}{2a} \\ r = c - \dfrac{b^2}{4a} \end{cases}}

    ——————

    2026-02-03 来自 浙江

    7
  • userId_undefined
    ༺ཌༀཉི༒始·皇·帝༒༃ༀད༻
    出道萌新俄罗斯套娃大师维度操控者循环·循环打卡人造物者字符串·魔法使

    👍

    2026-02-02 来自 广东

    5
  • userId_undefined
    ༺ཌༀཉི༒白·羊༒༃ༀད༻
    出道萌新时空双修者传道者荣耀黄金GESP6级CSP-J一等奖


    这里写错了，是k=ak=a

    2026-02-02 来自 上海

    4
  • userId_undefined
    沈思邈
    时空双修者题解仙人荣耀黄金勇敢小狗CSP-J一等奖GESP8级

    提供两种新方法：

    1. 设 y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)y=f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)，且对称轴为 x=mx=m，则函数 f(x−m)f(x-m) 为偶函数
      根据偶函数的性质，如果 x1+x22=m\dfrac{x_1+x_2}{2}=m，则必有 f(x1)=f(x2)f(x_1)=f(x_2)
      根据二次函数单调性可知，反之依然成立，因此令 ax2+bx+c=cax^2+bx+c=c，则求出两根为 x1=0,x2=−bax_1=0,x_2=-\dfrac{b}{a}，则 m=x1+x22=−b2am=\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}，把 x=mx=m 代入原二次函数求出 yy 坐标为 ymy_m，则点 (m,ym)(m,y_m) 就是原二次函数顶点。

    2. 求导：令 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c，则求导得到：

    dydx=2ax+b\dfrac{dy}{dx}=2ax+b

    令 dydx=0\dfrac{dy}{dx}=0 就可以得到 yy 取到极值时 xx 的值，即 2ax+b=02ax+b=0，解出 x=−b2ax=-\dfrac{b}{2a}，代回求出极值点 yy 坐标

    2026-02-02 来自 上海

    4
  • userId_undefined
    Xylophone
    传道者荣耀黄金CSP-J一等奖

    给你点赞了虽然不知道啥意思也不会用（

    2026-02-02 来自 广东

    4
  • userId_undefined
    .
    11月全勤卷王时空双修者倔强青铜出道萌新分支·分支解题者字符串·魔法使

    首先，形如

    ax2+bx+c

    的柿子 @Ymh 应该是“式子”

    1周前 来自 上海

    1
  • userId_undefined
    Srobot
    出道萌新时空双修者快乐小狗荣耀黄金素数猎手CSP-S二等奖

    求大佬看看这个帖子

    2026-02-03 来自 广东

    1
  • userId_undefined
    MuktorFM
    题解仙人代码纠察员荣耀黄金传道者CSP-S一等奖出题人

    神秘但是明天期末考试用不上

    2026-02-02 来自 云南

    1
  • userId_undefined
    凋零风暴
    空间掌握者倔强青铜

    1

    2026-02-02 来自 浙江

    1
  • userId_undefined
    凋零风暴
    空间掌握者倔强青铜

    1

    2026-02-02 来自 浙江

    1
  • userId_undefined
    凋零风暴
    空间掌握者倔强青铜

    1

    2026-02-02 来自 浙江

    1
  • userId_undefined
    XRiaB
    出道萌新时空双修者GESP1级

    牛逼

    2026-02-01 来自 广东

    1
  • userId_undefined
    ༺དༀ༒云栖鹤༒ༀཌ༻
    循环·循环打卡人模拟·模拟练习生倔强青铜字符串·魔法使进制转换师格式·格式排版员

    ⎩
    ⎨
    ⎧
    ​

    k=a
    l=−
    2a
    b
    ​

    r=c−
    4a
    b
    2

    ​

    ​

    ——————

    1周前 来自 安徽

    0
  • userId_undefined
    QZ致远
    I/O·IO入门者数组·数组操作员分支·分支解题者倔强青铜俄罗斯套娃大师循环·循环打卡人

    1周前 来自 湖南

    0
  • userId_undefined
    小黑子
    题解仙人时空双修者分治·分治练习生快乐小狗进制转换师秩序白银

    nb

    1周前 来自 浙江

    0
  • userId_undefined
    IdssT_dx
    秩序白银

    神奇的传送门

    1周前 来自 浙江

    0
  • userId_undefined
    IdssT_dx
    秩序白银

    dddddd

    1周前 来自 浙江

    0
  • userId_undefined
    69岁阴暗爬行小学生

    987

    1周前 来自 广东

    0
  • userId_undefined
    54188官方正版挂壁猴-π-人
    1月全勤卷王出道萌新快乐小狗时空双修者位操作忍者秩序白银


    1周前 来自 浙江

    0

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