假如速度是路程的函数

Srobot

2026-01-28 17:12:30

发布于：广东

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在小学及中学阶段，我们认识的都是路程或速度是时间的函数，

即

$s=f(t)\\ v=\frac{ds}{st}=f'(t)$

但如果速度是路程的函数呢？我们该如何据此求出路程关于时间的表达式？

即已知

$v=f(s)$

求

$s=g(t)$

以下是我本人对此的思考。

根据路程和速度的关系，有

$g'(t)=f(g(t))$

解这个函数方程即可。

例如：已知

$v=s+1\\ s_0=t_0=0$

求

$s=f(t)$

则可以列出函数方程组：

$\begin{cases} f'(t)=f(t)+1\\ f(0)=0 \end{cases}$

不难看出

$f(t)=e^t-1$

若拓展为

$v=as+b\\ s_0=t_0=0$

则仍有

$\begin{cases} f'(t)=af(t)+b\\ f(0)=0 \end{cases}$

解得

$f(t)=\frac{b}{a}e^{at}-\frac{b}{a}$

再次拓展：若加速度是路程的函数，又该如何计算路程关于时间的表达式呢？

即已知

$a=f(s)$

求

$s=g(t)$

根据路程与加速度的关系，有

$g''(t)=f(g(t))$

貌似仍然是解函数方程。

还是看例子吧，若

$a=s+1\\ s_0=v_0=t_0=0$

求

$s=f(t)$

则其函数方程组为

$\begin{cases} f''(t)=f(t)+1\\ f'(0)=0\\ f(0)=0 \end{cases}$

有点瞪眼法解不了的样子了……

评论区有大佬来解这个函数方程组吗？

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0/2000

全部评论 6

༺ཌༀཉི༒白·羊༒༃ༀད༻
这是个非齐次方程，如果我没记错，应该是这样（有点繁琐）：
一、求解对应的齐次方程
齐次方程形式： $f''(t) - f(t) = 0$
特征方程：

$r^2 - 1 = 0$

解得特征根： $r_1 = 1$ ， $r_2 = -1$ 。
因此，齐次方程的通解为：

$f_h(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-t} (C_1, C_2 为常数)$

二、求非齐次方程的一个特解
非齐次项为常数 $1$ ，由于 $0$ 不是特征根，设特解形式为 $f^*(t) = A$ （ $A$ 为常数）。
求导得： $f^{*'}(t) = 0$ ， $f^{*''}(t) = 0$ 。
代入原方程： $0 - A = 1$ ，解得 $A = -1$ 。
因此，特解为： $f^*(t) = -1$ 。

三、求通解
非齐次方程的通解 = 齐次通解 + 特解，即：

$f(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-t} - 1$

四、确定常数
已知初始条件： $f(0) = 0$ ， $f'(0) = 0$ 。

代入 $f(0) = 0$ ：

$C_1 e^0 + C_2 e^0 - 1 = 0 \implies C_1 + C_2 = 1 \tag{1}$

对通解求导： $f'(t) = C_1 e^t - C_2 e^{-t}$ ，代入 $f'(0) = 0$ ：

$C_1 e^0 - C_2 e^0 = 0 \implies C_1 - C_2 = 0 \tag{2}$

所以 $C_1 = C_2 = \frac{1}{2}$ 。

所以：

$f(t) = \frac{1}{2}e^t + \frac{1}{2}e^{-t} - 1$
2026-02-04 来自上海
3
沈思邈
经典的 $IVP$ 问题。
即解方程： $f''=f+1$
移项： $f''-f=1$
先忽略右边常数项： $f''-f=0$
这是一个形如 $af''+bf'+cf=0$ 的常系数二阶微分方程，通解为 $Ae^{k_1t}+Be^{k_2t}$ ，其中 $k_1$ 和 $k_2$ 为方程 $at^2+bt+c=0$ 的两根，$代入 $\begin{cases}a=1\\b=0\\c=-1\end{cases}$ ，可以得到方程 $t^2-1=0$ ，瞪眼法解得 $k_1=1,k_2=-1$ ，因此忽略常数项后通解为 $f(t)=Ae^t+Be^{-t}$ ，其中 $A$ 和 $B$ 为常数。
由于原方程右边有常数项的存在，不妨设原函数 $f(t)=Ae^t+Be^{-t}+k$ ，则求导 $f'(x)=Ae^t-Be^{-t}$ ，求二阶导 $f''(t)=Ae^t+Be^{-t}$ ，则代入原方程： $Ae^t+Be^{-t}=Ae^t+Be^{-t}+k+1$ ，化简得到 $k+1=0$ ，即 $k=-1$ ，所以函数 $f(t)=Ae^t+Be^{-t}-1$

2026-02-03 来自上海
2
- 沈思邈
  回复
  沈思邈
  因为 $f(0)=0$ ，所以 $Ae^0+Be^{-0}-1=0$ ，化简得到 $A+B=1$ 。
  因为 $f'(0)=0$ ，所以 $Ae^0-Be^{-0}=0$ ，化简得到 $A-B=0$ 。
  联立两个方程： $\begin{cases}A+B=1\\A-B=0\end{cases}$ ，解得 $\begin{cases}A=\dfrac{1}{2}\\B=\dfrac{1}{2}\end{cases}$ 。
  综上，原函数 $f(t)=\dfrac{1}{2}e^t+\dfrac{1}{2}e^{-t}-1$
  
  2026-02-03 来自上海
  1
- 沈思邈
  回复
  沈思邈
  @Srobot
  
  2026-02-03 来自上海
  0
IdssT_dx
本质上是在求解一类迭代函数方程

2026-02-06 来自浙江
0
Ymh
关于本蒟蒻刚学二次函数就被肘飞

2026-02-06 来自广东
0
Ymh
不会

2026-02-03 来自广东
0
骑着乌龟去蹦迪
不会

2026-01-29 来自浙江
0

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