#创作计划# 详解函数#5 导数(2)

沈思邈

2025-10-05 11:40:14

发布于：上海

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$\color{yellow}{Warning！篇幅真的很长，注意你的用脑程度！}$
在之前我们聊完了极限，上回我们简单讲了讲导数，那么这次我们继续导数之旅，讲一下对数函数、指数函数和幂函数的导数。

本文围绕以下内容展开：
· 隐函数求导
· 经济学和 自然对数底数 $e$ 的出现
· 对数函数的导数
· 指数函数的导数
· 取对数求导法

5. 隐函数求导

我们在这个系列刚开始的时候说过，“狭义”的函数就是 $y=f(x)$ 的形式，一个 $x$ 对应一个 $y$ ，比如 $y=x^2+2x+1$ 就是一个函数。
但是，据说在《柯朗微积分》中，作者把 $x^2+y^2=1$ 也叫做函数，我们暂且称之为“广义”的函数。这种“广义”的函数如果只涉及 $x$ 和 $y$ ，有时候也可以写成上面“狭义”的函数的形式，比如它可以写作 $y=±\sqrt{1-x^2}$ ，但是这里一个 $x$ 对应了两个 $y$ ，很明显不符合“狭义”的函数的定义。

那么，对于这种“广义”的函数，如何求解函数上一点 $(x,y)$ 处的切线斜率呢？这就是隐函数求导。

就以 $x^2+y^2=1$ 为例，求 $(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2})$ 处的切线斜率（说白了就是求导+代入），你所要做的就是两边同时关于 $x$ 求导：

$\dfrac{\Delta}{\Delta x}(x^2+y^2)=\dfrac{\Delta}{\Delta x}(1)$

化简得到：

$\dfrac{\Delta}{\Delta x}x^2+\dfrac{\Delta}{\Delta x}y^2=0$

左边第一项是指数为正整数的幂函数，可以直接运用上次讨论的结果得到 $2x$ 。那么第二项呢？
我们所需要做的只是链求导：

$\dfrac{\Delta}{\Delta x}y^2=\dfrac{\Delta(y^2)}{\Delta y}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

化简得到：

$2x+2y\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=0$

此时你可以把 $x$ 和 $y$ 看成是参数，未知数（元）是 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ ，解一元一次方程。你会得到结果为：

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-\dfrac{x}{y}$

我们要求的是点 $(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2})$ 处的斜率，即代入：

$\begin{cases} x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\ y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$

得到：

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-1$

所以，该点处的切线斜率为 $-1$ 。

我们在中学阶段可能会遇到给定一个圆（甚至是椭圆）求过上面一点的切线斜率。在他人还在死算时，“邪修”党可以利用求导对这道题目进行降维打击。

例如，给定椭圆 $\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}=r^2$ ，求过在椭圆上一点 $(x_0,y_0)$ 的切线斜率。可以进行隐函数求导得到答案：

$\dfrac{\Delta}{\Delta x}(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b})=\dfrac{\Delta}{\Delta x}(r^2)$

接着利用链求导得到：

$\dfrac{2x}{a}+\dfrac{2y}{b}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=0$

移项，得到：

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-\cfrac{\cfrac{2x}{a}}{\cfrac{2y}{b}}=-\cfrac{xb}{ya}$

因此，代入点的坐标，就得到了斜率：

$k=-\cfrac{x_0b}{y_0a}$

正修：这就得到答案了？
邪修：这不很简单吗？隐函数求导呗！

6. $e$ 的定义

6.1. 经济问题：复利的计算

很久以前，一个名叫伯努利的数学家（你猜是雅各布还是约翰）回答了一个有关复利的问题。抛开伯努利是哪位不谈，我们就来看看这个问题：

如果有一家银行，你存进去 $1$ 元，年利率是 $r$ ，那么你存一年之后的本金和利息一共多少？相信你很快就能够回答出是 $1+r$ 元。

那么，如果另一家银行半年的利润率是 $\dfrac{r}{2}$ ，你的 $1$ 元可以存半年之后再拿出本利继续存，那么你的本利共多少？也不难，答案是 $(1+\dfrac{r}{2})^2$ 元。

继续，第三家银行一个季度的利润率是 $\dfrac{r}{4}$ ，存满一个季度后拿出本利再存，这样你的 $1$ 元在一年后的本利和就是 $(1+\dfrac{r}{4})^4$ 元

我们考虑一家月利率为 $\dfrac{r}{12}$ 的银行，你存 $1$ 元每满一个月就可以进行取出本利和转存，这样一年后你就有 $(1+\dfrac{r}{12})^{12}$ 元。

综上，你会发现这个结果可以写成 $(1+\dfrac{r}{h})^h$ ，比如我日利率为 $r$ （假设一年有 $365$ 天）那么结果就是 $(1+\dfrac{r}{365})^{365}$ ，其中 $h=365$ 。

此时，你会发现这样的复利有个特点，你转存的次数越多，得到的利润就越多（前提是 $r$ 不变的情况下，否则没有可比性）。我们假设此时 $r=1$ ，那么当所谓的 $h$ 越来越大时，这个结果会不会也越来越大变成 $\infty$ 呢？不会。相反，它会收敛到一个固定的值，叫做 自然对数底数 $e$ （也叫 自然常数）。

6.2. $e$ 的定义

根据上面我们对于复利的探究，我们知道， $e$ 就是这样一个式子：

$e=\displaystyle\lim_{h\to\infty}(1+\dfrac{1}{h})^h$

如果我们让 $x=\dfrac{1}{h}$ ，那么就有了另一种写法：

$e=\displaystyle\lim_{h\to0^+}(1+h)^\frac{1}{h}$

危险的是，我们现在没有足够的办法说明这个极限存在。当然，事实是这个极限的确存在，甚至于你可以写成：

$e=\displaystyle\lim_{h\to0}(1+h)^\frac{1}{h}$

更一般的说，同样按照上面对复利的探究，我们有：

$e^r=\displaystyle\lim_{h\to0^+}(1+rh)^\frac{1}{h}$

7. 对数函数的导数

我们早在这个系列开始的时候就介绍过什么是对数函数，但是从来没有看过它的导数，那么现在我们就来看看。

我们以 $\log_a{x}$ 为例，套用导数的定义，就有：

$\displaystyle\,\,\,\,\,\,\,\log_a'{x}\\ =\lim_{h\to0}\dfrac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}$

利用对数减法的性质，我们可以化简：

$\displaystyle\,\,\,\,\,\,\,\log_a'{x}\\ =\lim_{h\to0}\dfrac{1}{h}\log_a{\dfrac{x+h}{x}}\\ =\lim_{h\to0}\dfrac{1}{h}\log_a(1+\dfrac{h}{x})$

因为 $\log_a(b^c)=c\log_a(b)$ ，所以在这里逆用这个性质就得到：

$\displaystyle\,\,\,\,\,\,\,\log_a'{x}\\ =\lim_{h\to0}\log_a(1+\dfrac{h}{x})^{\frac{1}{h}}$

你会发现，这里出现了一个似曾相识的东西：这不就是 $e^r$ 的定义吗？因此，代入 $r=\dfrac{1}{b}$ ，就有：

$\displaystyle\,\,\,\,\,\,\,\log_a'{x}\\ =\log_a(e^\frac{1}{x})\\ =\dfrac{1}{x}\log_a(e)$

进一步化简，我们可以利用换底法则：

$\displaystyle\,\,\,\,\,\,\,\log_a'{x}\\ =\cfrac{1}{x}\cfrac{\log_e(e)}{\log_e(a)}\\ =\cfrac{1}{x\log_e(a)}$
你会发现，当我们对数函数的底数 $a=e$ 的时候，它的导数就是 $\dfrac{1}{x}$ ，看上去貌似很自然。因此，数学家们规定以 $e$ 为底的对数函数叫做 自然对数，写作 $\ln()$ ，即 $log\,\,natural$ 的含义，因此，也可以这样写：

$\log_a'{x}=\dfrac{1}{x\ln{a}}$

特别的，还有：

$\ln'{x}=\dfrac{1}{x}$

8. 指数函数的导数

8.1. 指数函数求导

我们以指数函数 $y=a^x$ 为例，探究其导数就是探究 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 的结果。

有一点我们一直在强调： $\Delta y$ 和 $\Delta x$ 可以参与运算！因此，我们也可以计算出 $\dfrac{\Delta x}{\Delta y}$ 的结果，然后取倒数。

因为 $y=a^x$ ，所以根据对数函数的定义有 $x=\log_a{y}$ 。我们根据上面的探究结果，可以得到：

$\dfrac{\Delta x}{\Delta y}=\dfrac{1}{y\ln{a}}$

所以，取倒数，得到：

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=y\ln{a}$

代入 $y=a^x$ ，就有：

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=a^x\ln{a}$

8.2. $e$ 的第二定义

特别的，当 $a=e$ 的时候，你会发现 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=e^x$ 。好家伙！这求导了……又好像没求导一样。
因此，数学家们根据这个性质，给出了 $e$ 的第二定义：
如果非零函数 $f(x)$ 满足 $f'(x)=f(x)$ ，那么规定 $f(x)=e^x$ 。

但是，这个定义用的时候要注意一点：所有满足条件 $f'(x)=f(x)$ 的 $f(x)$ 应该写作 $\color{red}f(x)=Ae^x$ ，其中 $A$ 是常数。你可以通过简单的求导证明这一点，因为函数的常数倍求导是导函数的常数倍。
这是最简单的微分方程，我们以后再讨论它的解法。

8.3. 极限的求解

有了指数函数的导数以后，我们可以联系一下，来求证一个极限：

$\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{e^h-1}{h}=1$

这个极限很简单，你应该自己先试试。如果你知道洛必达法则你可以洛出来这个结果，因为这里当 $h\to0$ 的时候分子分母都趋向于 $0$ ，但是这完全没有必要。
我们都知道，无论你底数是什么非零数，只要你的指数为 $0$ ，那么你的结果必然为 $1$ ，因此，我们可以把这里的 $1$ 还原成 $e^0$ ，这样子，原极限就变成了：

$\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{e^{0+h}-e^0}{h}=1$

左边实际上就是 $e^x$ 的导数在 $x=0$ 处的样子，又因为 $e^x$ 的导数就是 $e^x$ ，所以左边极限就等于 $e^0$ ，化简得到 $1$ ， $QED!$

9. 取对数求导法

9.1. 什么是取对数求导法

对于 $y=a^x$ ，求 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ ，实际上你也可以用另一种方式来求解：取对数求导法。
取对数求导法的核心思想就是等式两边同时取对数，再用隐函数求导进行计算。
例如这里，两边同时取对数：

$\ln{y}=x\ln{a}$

然后同时求导：

$\dfrac{1}{y}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\ln{a}$

移项，得到：

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=y\ln{a}=a^x\ln{a}$

本质上没有什么太大的区别，因为我们之前证明的时候也是取了对数的。
但取对数求导法的用途不止这么点。

9.2. 取对数求导法的用途

所谓取对数，有一个性质：

$\log_a(b^c)=c\log_a(b)$

这里通过取对数的方式把指数变成了系数，说明它的一个用途是处理函数为幂的形式（尤其是指数为关于 $x$ 的函数时）的求导问题。
我们来看一个例子： $y=x^x$ 关于 $x$ 求导会变成什么？
根据上面的说明，此处指数是关于 $x$ 的函数，因此可以使用取对数求导法。两边同时取对数：

$\ln{y}=x\ln{x}$

接着同时关于 $x$ 求导：

$\dfrac{\Delta}{\Delta x}\ln{y}=\dfrac{\Delta}{\Delta x}x\ln{x}$

左边利用链求导可以得到 $\dfrac{1}{y}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ ，而右边利用乘积法则“左函乘右导+右函乘左导”可以得到 $1+\ln{x}$ 。因此：

$\dfrac{1}{y}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=1+\ln{x}$

移项：

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=(1+\ln{x})y=(1+\ln{x})x^x$

从上面的例子中不难看出，取对数求导法是一个很强大的工具，尤其在指数中包含 $x$ 的时候，可以通过取对数将指数变为系数，从而利用乘积法则和链求导进一步进行计算得到答案。

9.3. 幂函数的导数

我们在上一帖中聊过关于幂函数 $x^n$ 指数 $n$ 为自然数时的导数为 $nx^{n-1}$ ，这个结论在 $n$ 为任意实数是都适用。但是上次我们证明时利用的是二项式定理，虽然还有广义二项式定理，但是那个证明起来无疑会变得很麻烦，不如试试我们的取对数求导法。

依旧，先令 $y=x^n$ ，那么我们所需要做的就是求 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 。两边同时取对数：

$\ln{y}=n\ln{x}$

求导：

$\dfrac{\Delta}{\Delta x}\ln{y}=\dfrac{\Delta}{\Delta x}n\ln{x}$

左边利用链求导得到 $\dfrac{1}{y}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ ，而右边则是 $\dfrac{n}{x}$ ，因此：

$\dfrac{1}{y}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{n}{x}$

移项：

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{ny}{x}=\dfrac{n(x^n)}{x}=nx^{n-1}$

这说明，取对数求导法也可以用于幂函数上，只要你的函数形式为 $f(x)^{g(x)}$ ，甚至其中某一个是常值函数，也能够利用取对数求导法进行求导。

预告：下次更新“详解函数#6 导数(3)”内容会有一点多，主要讲三角函数、双曲函数、反三角函数、反双曲函数的导数，注意用脑量！

往期话题：
详解函数#1 幂函数、指数函数和对数函数
 详解函数#2 三角函数
 详解函数#3 极限
 详解函数#4 导数(1)

参考文献：《普林斯顿微积分》

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