数论集合算法符号的c++代码运用

雷总的粉丝（米粉）

2025-08-04 21:41:03

发布于：广东

10阅读

0回复

0点赞

数论相关符号（π、φ、μ、∑、∏）

#include <iostream>
#include <cmath>  // 含 M_PI（圆周率π）
#include <vector>
using namespace std;

// φ(n)：欧拉函数（小于n且与n互质的数的个数）
int euler_phi(int n) {
    int result = n;
    for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {
        if (n % p == 0) {
            while (n % p == 0)
                n /= p;
            result -= result / p;
        }
    }
    if (n > 1)
        result -= result / n;
    return result;
}

// μ(n)：莫比乌斯函数（数论中用于筛法）
int mobius_mu(int n) {
    int cnt = 0;  // 质因子次数是否超过1
    for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {
        if (n % p == 0) {
            n /= p;
            cnt++;
            if (n % p == 0)  // 有平方因子
                return 0;
        }
    }
    if (n > 1) cnt++;
    return (cnt % 2 == 0) ? 1 : -1;  // 偶数个质因子为1，奇数为-1
}

// ∑：求和（1到n的和）
int sum(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        res += i;
    return res;
}

// ∏：求积（1到n的阶乘）
long long product(int n) {
    long long res = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        res *= i;
    return res;
}

int main() {
    cout << "π（圆周率）≈ " << M_PI << endl;  // 圆周率π
    cout << "φ(6) = " << euler_phi(6) << endl;  // 欧拉函数：φ(6)=2
    cout << "μ(6) = " << mobius_mu(6) << endl;  // 莫比乌斯函数：μ(6)=1（质因子2、3，偶数个）
    cout << "∑(1到5) = " << sum(5) << endl;     // 求和：1+2+3+4+5=15
    cout << "∏(1到5) = " << product(5) << endl; // 求积：5! = 120
    return 0;
}

集合运算（∈、∉、∩、∪）

#include <iostream>
#include <unordered_set>
using namespace std;

// 检查元素是否属于集合（∈）
bool is_element_of(int x, const unordered_set<int>& s) {
    return s.count(x) > 0;
}

// 集合交集（∩）
unordered_set<int> intersection(const unordered_set<int>& a, const unordered_set<int>& b) {
    unordered_set<int> res;
    for (int x : a) {
        if (b.count(x))  // x同时属于a和b
            res.insert(x);
    }
    return res;
}

// 集合并集（∪）
unordered_set<int> union_set(const unordered_set<int>& a, const unordered_set<int>& b) {
    unordered_set<int> res = a;  // 先复制a
    res.insert(b.begin(), b.end());  // 加入b的元素（自动去重）
    return res;
}

int main() {
    unordered_set<int> s = {1, 2, 3, 4};
    int x = 2, y = 5;
    cout << x << " ∈ {1,2,3,4}? " << (is_element_of(x, s) ? "是" : "否") << endl;  // 是
    cout << y << " ∉ {1,2,3,4}? " << (!is_element_of(y, s) ? "是" : "否") << endl; // 是

    unordered_set<int> a = {1, 2, 3}, b = {3, 4, 5};
    auto inter = intersection(a, b);
    cout << "a ∩ b = {";  // 交集：{3}
    for (int x : inter) cout << x << " ";
    cout << "}\n";

    auto unin = union_set(a, b);
    cout << "a ∪ b = {";  // 并集：{1,2,3,4,5}
    for (int x : unin) cout << x << " ";
    cout << "}\n";
    return 0;
}

算法复杂度与逻辑符号（O、∀、∃、⊕）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// O(n)复杂度示例：检查数组中是否存在元素x（∃）
bool exists(const vector<int>& arr, int x) {
    for (int num : arr) {  // 线性遍历，时间复杂度O(n)
        if (num == x)
            return true;  // 存在x（∃x）
    }
    return false;
}

// O(n)复杂度示例：检查所有元素是否为正数（∀）
bool all_positive(const vector<int>& arr) {
    for (int num : arr) {  // 线性遍历，时间复杂度O(n)
        if (num <= 0)
            return false;  // 存在非正数，不满足∀
    }
    return true;  // 所有元素为正数（∀x>0）
}

// 异或运算（⊕）
int xor_operation(int a, int b) {
    return a ^ b;  // C++中^表示异或（⊕）
}

int main() {
    vector<int> arr = {2, 4, 6, 8};
    cout << "∃ 4 in arr? " << (exists(arr, 4) ? "是" : "否") << endl;  // 是
    cout << "∀ 元素>0? " << (all_positive(arr) ? "是" : "否") << endl;  // 是
    cout << "3 ⊕ 5 = " << xor_operation(3, 5) << endl;  // 3(011)⊕5(101)=6(110)
    return 0;
}

其他符号（∞、∇梯度示例）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;

// 表示无穷大（∞）：用一个极大值模拟
const double INF = 1e18;

// 简单梯度（∇）计算：对函数f(x,y)=x²+y²求梯度（2x, 2y）
vector<double> gradient(double x, double y) {
    return {2*x, 2*y};  // ∇f = (df/dx, df/dy)
}

int main() {
    cout << "无穷大（∞）模拟值：" << INF << endl;
    double x = 3, y = 4;
    auto grad = gradient(x, y);
    cout << "f(x,y)=x²+y²在(" << x << "," << y << ")处的梯度∇ = (" << grad[0] << "," << grad[1] << ")" << endl;  // (6,8)
    return 0;
}