详解函数

沈思邈

2025-08-02 16:26:58

发布于：浙江

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（本文有点长，请大家耐心读完）
说到函数，可能很多人会有一种莫名的害怕。然而学过编程的同志们第一反应一定是这样的：

#这不就是函数吗？
def f(n):
    return n

又或者是这样的：

int f(int n){
    return n;
} //基操勿六

当然，今天聊的不是编程中的函数，而是数学中的函数。

什么是函数

函数这个东西听起来有些让人闻风丧胆，但实际上和编程中的函数类似，都是实现了一定功能的东西，称为函数。
我们初中阶段学到的函数一般是写成 $y=f(x)$ 形式的，这种情况下， $x$ 被称为 自变量， $y$ 被成为 因变量。说人话就是，主动变化的变量是自变量，因自变量而被动变化的变量是因变量。初中阶段，一个 $x$ 的值只能够对应一个 $y$ 的值，而一个 $y$ 的值可以由多个 $x$ 的值得到。但这仅限于一元函数。多元函数，顾名思义就有不止一个自变量，如我们常常听到的圆函数，可以写成：

$x^2+y^2=r^2$

可以通过勾股定理得到上面的圆函数表达式。当然，我们也可以写成这样：

$z=f(x,y)=x^2+y^2$

（超纲了）可以把圆函数理解成三维物体在这个二维平面直角坐标系中的一个投影。

给定一个图像，怎么判断它是否为 $y$ 关于 $x$ 的函数图像呢？我们可以拿出一条平行于 $y$ 轴的直线，在平面直角坐标系上移动，从 $x$ 轴最左边移动到左右边。途中，如果这条直线与给定图像相交了超过一次（不包含一次），则它就不是函数图像，因为此时一个 $x$ 对应了多个 $y$ ，不满足函数的定义。这就是 垂线检验法。

区间

在继续往下之前，先来解一个不等式：

$3x+2\leq 11$

你可以脱口而出说它的解集是 $x\leq 3$ ，当然，你也可以考虑写成 $(-\infty,3]$ 这种形式，这实际上就是 区间表示法。
区间表示法和信奥中的二分算法很类似，你可以理解成它就是两个括号中间以逗号分隔夹了 $L$ 和 $R$ 。根据括号的不同，我们可以将区间分成四种类型：

$(L,R)$ 开区间：表示集合 { $x|L<X<R$ }
$[L,R]$ 闭区间：表示集合 { $x|L\leq x\leq R$ }
$[L,R)$ 半开半闭区间：表示集合 { $x|L\leq x<R$ }
$(L,R]$ 半开半闭区间：表示集合 { $x|L<x\leq R$ }

说白了就是小括号的半边不能够取等号，而中括号可以。需要注意的是，上面我们写的是 $(-\infty,3]$ ，包含正负无穷大那一头不能够写中括号，因为无穷本就是一个虚的概念，我们生活在有穷的世界中，无法达到无穷，只能无限接近无穷，故而无法取到等号。
我们可以利用区间来表示一些取值范围，包括不等式的解集，函数的定义域、值域等。

函数的奇偶性

我们熟知的 自然数（自然数集符号为N）分为奇数和偶数两大类。如果自然数 $a$ 为奇数，则其满足 $a\mod 2=1$ ，反之则有 $a\mod 2=0$ 。（这里 $\mod 2$ 表示对 $2$ 取余）。
当然，函数的奇偶性不是这样看的。

现在我们定义一个函数 $f(x)$ 。为了方便起见，我们规定 $D(f)=R$ 。
假设函数 $f(x)$ 为奇函数，则我们有 $f(-x)=-f(x)$ ，它的图像是关于原点对称，是中心对称图形。比如，正比例函数 和 反比例函数 都是奇函数。
假设函数 $f(x)$ 为偶函数，则我们有 $f(-x)=f(x)$ ，它的图象关于 $y$ 轴对称，是轴对称图形。比如，绝对值函数 和 二次函数 $y=x^2+c$ 就是偶函数

函数的定义域和值域

所谓定义域，就是自变量的取值范围。它要符合两个条件。第一个条件是要让函数有意义，比如反比例函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ ，我们在小学就学过分母不能为 $0$ ，因此它的定义域必然不包含 $0$ 。其定义域可以写成： $D(f)=R$ \ { $0$ }，其中，D(f)指函数 $f$ 的定义域，\表示不包含，R表示全体实数构成的集合。
第二个条件是题目给你的范围。比如，我有一个正比例函数 $y=g(x)=2x$ ，表示买 $x$ 支（不能不买）单价为 $2$ 元的笔要花 $y$ 元，显然 $x$ 必须是正整数，那么它的定义域就是 $D(g)=Z^+$ ，其中Z表示整数集，+表示是正的子集。如果我带入 $x=1.414$ 会怎么样？世界上没有 $1.414$ 支笔，带入也会使得函数无意义，因此所有的虚数、小数、负数都不在它定义域内。（实际上也是所谓的“第一个条件”）

那么值域呢？它是因变量的取值范围。对于函数 $y=f(x)$ 而言，其值域就是所有 $f(x)$ 构成的集合。举个简单的例子，二次函数 $y=h(x)=x^2$ ，定义域 $D(h)=R$ ，则必然其值域 $Z(h)=R^+$ ，因为带入任何的 $x$ 得到的 $y$ 都在这个范围内，且由于 $x$ 是实数，不会出现虚数，故不会有 $y<0$ 的情况。其中，Z(h)表示函数 $h$ 的值域。

反函数

顾名思义，反函数就是将函数“反过来”。函数 $f(x)$ 的反函数一般记作 $f^{-1}(x)$ ，像三角函数如 $sin(x)$ 还可以记作 $arcsin(x)$ 。
反函数是将原函数的定义域和值域反过来，因此， $D(f^{-1})=Z(f)$ ， $Z(f^{-1})=D(f)$ 。反函数的功能就是将原函数得到的 $y$ 带入反函数中作为参数，可以求出原函数的参数 $x$ ，明白的说就是：

$\begin{cases} y_0=f(x_0)\\ x_0=f^{-1}(y_0) \end{cases}$

但是这这也会带来一些问题，比如，原函数没有反函数，如果强行构造反函数会出现“反函数”的图像出现了一个 $x$ 对应多个 $y$ 的情况。因此，在无脑构造反函数之前，我们必须先判断原函数是否有反函数。
这种方法类似于垂线检验法。我们当然可以在无脑构造的反函数中使用垂线检验法。不过只通过原函数也可以，由上面的方程组可知，反函数中的 $y$ 就是原函数中的 $x$ ，反函数中的 $x$ 就是原函数中的 $y$ 。因此，我们可以把平行于 $y$ 轴的直线换成平行于 $x$ 轴的直线，从下往上平移。一旦发现函数图像与这条直线的交点数 $\geq 2$ ，则可以立刻断言它没有反函数。这就是 水平线检验法。

当然，并非说函数 $f(x)$ 在定义域 $D(f)=R$ 时没有反函数就代表函数 $f(x)$ 无法构造反函数。不如，对于函数 $y=f(x)=x^2$ ，当定义域 $D(f)=R$ 的时候我们用水平线检验法知道它没有反函数，但是我们可以通过对它的定义域进行限制，比如限制 $f(x)$ 定义域 $D(f)=R^+$ ，即只针对正实数，现在这个函数 $f(x)$ 就能够通过水平线检验法，而它的反函数 $y=f^{-1}(x)=\sqrt{x}(x>0)$ 。我们成功的为它找到了反函数，只不过对它的定义域进行了限制。

函数的平移与对称

函数图像也是图形，而图形有三种基本运动：平移、旋转、对称。
当然，本帖主要介绍平移和对称两个运动，旋转可能涉及其他更高深的知识，感兴趣的读者朋友可以上网搜索一下。

1. 平移

假设我有一个函数 $y=f(x)$ ，它经过一个点 $(x,y)$ 。现在我要将它朝 $x$ 轴正方向平移 $a$ 个单位（如果 $a$ 为负则说明是往 $x$ 轴负方向平移），再朝 $y$ 轴正方向平移 $b$ 个单位，到达点 $(x',y')$ 。
那么我们可以列出二元一次方程组（ $x、y、a、b$ 均为参数）：

$\begin{cases} x+a=x'\\ y+b=y'\\ \end{cases}$

经过基本的移项，可以得到：

$\begin{cases} x=x'-a\\ y=y'-b \end{cases}$

现在，我们带入函数 $y=f(x)$ ，将 $x$ 和 $y$ 都做替换：

$y'-b=f(x'-a)$

经过移项，得到：

$y'=f(x'-a)+b$

现在已经没有了 $x$ 和 $y$ ，那么保留一撇也没有什么意义，干脆去掉：

$y=f(x-a)+b$

这也就是为什么有“上加下减，左加右减”的说法。
当然，我们也可以用脱缰凯视频中的口诀“外加减，上下飞；内加减，左右追”

2. 对称

让我们恭喜各位读到这里的朋友们，你们已经学会了推导平移的过程了。对称实际上也没有区别，各位可以自己先尝试下，看看是否真正理解掌握了上面的过程。建议从“关于 $y$ 轴（ $x$ 轴）对称和关于原点 $O$ 对称的函数解析式”开始推到。
这里就不浪费时间推导这几个的结论了。我们直接看看更一般的：关于（平行于坐标轴的）直线呈轴对称和关于一点呈中心对称的函数解析式。

2.1. 关于直线 $y=a$ 对称

让我们依旧套用上面的方法，假设函数 $y=f(x)$ ，图像上一点坐标为 $(x,y)$ 。
由于是关于直线 $y=a$ 对称，设对称点为 $(x',y')$ ，则 $x$ 坐标不会发生变化，而 $y$ 坐标会发生变化。
根据对称的性质可知，原来的点 $(x,y)$ 和对称点 $(x',y')$ 到对称轴 $y=a$ 的距离相等，则有：

$|y-a|=|a-y'|$

为什么这样写？不难发现，由于两个点分布在对称轴两侧，则上面的式子去掉绝对值符号后正负性相同，值依然相等：

$y-a=a-y'$

移项：

$y+y'=2a$

套用平移的思路，可以列方程：

$\begin{cases} x=x'\\ y+y'=2a\\ \end{cases}$

移项得到：

$\begin{cases} x=x'\\ y=2a-y'\\ \end{cases}$

带入函数 $y=f(x)$ ，则有：

$2a-y'=f(x')\\ y'=2a-f(x')\\ y=2a-f(x)$

用你算到的关于 $x$ 轴对称的解析式检验一下（带入 $a=0$ ），看看是否正确。

2.2. 关于直线 $x=a$ 对称

这个不难，只不过再次套用上面的过程，此处稍微简略写一下：
套用刚才的思路，设的和上面几乎一样，可以列方程：

$\begin{cases} x+x'=2a\\ y=y'\\ \end{cases}$

移项得到：

$\begin{cases} x=2a-x'\\ y=y'\\ \end{cases}$

带入函数 $y=f(x)$ ，则有：

$y'=f(2a-x')\\ y=f(2a-x)$

你也可以带入 $a=0$ 验证一下关于 $y$ 轴对称的解析式你有没有算对。

2.3. 关于定点 $(a,b)$ 对称

这个也不难，设的还是和上面几乎一样，这里不再重复。
关键一点是，这里不再是呈轴对称，而是中心对称，怎么办？
呈中心对称的两个图形，其对应点的连线段的中点恰是对称点，也就是 $(a,b)$ ！而我们有中点公式：对于 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$ ，其中点 $M$ 坐标为：

$M(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$

那么可以通过它列方程：

$\begin{cases} x+x'=2a\\ y+y'=2b\\ \end{cases}$

移项得到：

$\begin{cases} x=2a-x'\\ y=2b-y'\\ \end{cases}$

带入函数 $y=f(x)$ ，则有：

$2b-y'=f(2a-x')\\ y'=2b-f(2a-x') y=2b-f(2a-x)$

你也可以带入验证一下。

一些基本的函数

0. 常值函数

形如 $y=C$ 的函数叫做常值函数，其中 $C$ 是一个常数。它是一条水平的直线，与 $x$ 轴平行。下图所展示的是常值函数 $y=2$ 的图像。

一般而言，常值函数的定义域 $D(f)=(-\infty,\infty)$ ，值域 $Z(f)=C$ 。

1. 一次函数

形如 $y=kx+b\,\,(k\neq 0)$ 的函数叫做一次函数。如下图所示，一次函数是一条直线， $k$ 被称作斜率，而 $b$ 被称作截距。

一次函数的图像是一条直线。同为直线的常值函数可以看成是一次函数的 $k$ 斜率变成 $0$ 的时候的特殊情况。
我们在初中时期学一次函数之前一定会学到一种函数，叫做“正比例函数”，它是一次函数的特殊情形，图像到 $y$ 轴截距为 $0$ ，即 $b=0$ 时的情况。
我们可以根据 $k$ 和 $b$ 的正负性来列出下面的表格：

	$k>0$	$k=0$	$k<0$
$b>0$	经过一、二、三象限，左下——右上	经过一、二象限的常值函数	经过一、二、四象限，左上——右下
$b=0$	经过一、三象限的正比例函数，左下——右上	与 $x$ 轴重合的常值函数	经过二、四象限的正比例函数，左上——右下
$b<0$	经过一、三、四象限，左下——右上	经过三、四象限的常值函数	经过二、三、四象限，左上——右下

一次函数也有其它的写法，如： $ax+by+c=0$
与一次函数有关的概念会在日后文中有所提及，因为它也是一个很重要的概念——切线——必不可少的一点。

2. 二次函数

形如 $y=ax^2+bx+c$ 的函数被叫做二次函数。二次函数是一条抛物线，如下图所示。

由于二次函数是一条抛物线，一般我们会选择在坐标系中用 描点——连线法（连的是光滑的曲线）来绘制其图像，但不代表无法用直线绘制，如下图：

这是用直线来逼近二次函数 $y=x^2$ 的图像（用的是电脑软件计算器的绘图功能，大家也可以去试试），其具体原理我会在后面几期讨论中解释。现在给出一个大概：
过点 $P(x,ax^2+bx+c)$ 的切线斜率为 $2ax+b$

2.1. 二次函数的其他表达方式

除了一般式 $y=ax^2+bx+c$ 之外，二次函数还有其他表达方式。

顶点式 $y=a(x-m)^2+k$
交点式 $y=a(x-x1)(x-x2)$

让我们先来看看顶点式。
希望你还记得之前推的平移的结论。我们可以从 $y=ax^2$ 出发，不难发现它的顶点为 $(0,0)$ 。接着，先将图像往右平移 $m$ 个单位，再往上平移 $k$ 个单位，得到的顶点为 $(m,k)$ 。这也是为什么叫它顶点式的原因，你可以根据它的写法直接推导出二次函数顶点坐标。

接着轮到交点式。
（会一元二次方程求根公式可以跳过）
我们可以解一个一元二次方程：

$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$

两边同时除以 $a$ ：

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$

添项：

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0$

移项：

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}$

左边配方，右边通分：

$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$

令 $\Delta=b^2-4ac$ ，只考虑实数解，则当 $\Delta<0$ 时，原方程无解；
当 $\Delta=0$ 时，我们说二次方程有两个等根为 $x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$ ；
当 $\Delta>0$ 时， $x_{1,2}=\dfrac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$ 。

这样我们可以解出一元二次方程两根，则我们可以对一些二次三项式进行实数范围内的因式分解：
对于二次三项式 $ax^2+bx+c(a\neq 0)$ ，由试根法知让多项式值为 $0$ 的 $x$ 值（假设为 $x_0$ ）是很重要的，它可以让多项式因式分解为 $(x-x_0)(\cdots)$ ，后面的省略号可以通过长除法得到。这里，我们借用这种思路。令 $y=ax^2+bx+c$ ，则可以通过带入 $y=0$ 并解方程得到：

$y=a(x-\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})$

简单来说就是 $y=a(x-x1)(x-x2)$

对于二次函数也是同理，实际上刚才就是我们由二次函数一般式推导二次函数交点式的过程（当然 $\Delta<0$ 的时候没有交点式，因为我们现在的平面直角坐标系不考虑复数）
二次函数的交点式主要用于知道它与 $x$ 轴的两个交点坐标时求解析式，因此化成一般式得到一元二次方程后可以轻松得解，也可以用交点式的存在与否来判断是否有一元二次方程实数解。

2.2. 二次函数的顶点

现在针对二次函数我们来看一个新的东西：极值点。
由于二次函数是一条抛物线，整体呈 $U$ 形，只有一个极值点（也称作顶点），因此我们有很多种方法可以找到它顶点的坐标。

法一：配方法

配方法是初中阶段我们求二次函数顶点坐标的主要方法。核心思想就是将一般式配方成为顶点式，得到顶点坐标。

$y=ax^2+bx+c$

提取 $a$ ：

$y=a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a})$

添项：

$y=a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a})$

配方，将多余项移出括号后通分：

$y=a(x+\dfrac{b}{2a})+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$

因此，我们得到结果：二次函数顶点 $M(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$

法二：偶函数性质法

我们设顶点 $M(x_m,y_m)$
令二次函数解析式为 $y=f(x)=ax^2+bx+c$ ，则由二次函数是轴对称图形（顶点所在的平行于 $y$ 轴的直线为对称轴）可知函数 $f(x-x_m)$ 为偶函数。
随便带入一个必然在值域 $Z(f)$ 内的 $y$ 的值 $y_0$ ，最简单的就选择 $y_0=c$ ，
带入 $f(x)=c$ ：

$ax^2+bx+c=c$

抵消：

$ax^2+bx=0$

因式分解：

$x(ax+b)=0$

得到 $x_1=0$ ， $x_2=-\dfrac{b}{a}$
根据偶函数的轴对称性质，有：

$2x_m=x_1+x_2$

则带入移项得到：

$x_m=-\dfrac{b}{2a}$

带入 $f(x)$ 解析式，得到 $M(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$

法三：求导法

求导是什么？后续的帖子中我们会提到。
这里先根据上面提到的过一点的切线斜率为 $2a+b$ 来考虑。
根据费马最大最小值定理，当且仅当 $2ax+b=0$ 时函数可能有极值（如果结合图像就很好理解，只有当你切线斜率从正的变到 $0$ 在变到负的或者反过来时，你这个点是一个局部最高/最低点，否则其他斜率为 $0$ 说明可能是一个拐点），则带入得到 $x_m=-\dfrac{b}{2a}$ ，带回得出 $M(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$

3. 反比例函数

形如 $y=\dfrac{k}{x}\,\,(k\neq 0)$ 的函数被称为反比例函数。反比例函数也可以写成 $xy=k$ 的形式，或者 $y=kx^{-1}$ 的形式，后者是用了指数表达方法。

因为分母不能够为 $0$ ，因此反比例函数的定义域 $D(f)=R$ \{ $0$ }，值域同理 $Z(f)=R$ \{ $0$ }。

因为反比例函数也可以写成 $xy=k$ 的形式，因此它也具有一些“不变形”，如下：

3.1. 矩形面积不变性

很好证明。我们假设反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k\neq 0$ 上一点 $P(x,\dfrac{k}{x})$ ，则矩形面积就是 $x$ 坐标与 $y$ 坐标的乘积的绝对值，即 $S_矩=|x\cdot \dfrac{k}{x}|=|k|$

3.2. 三角形面积不变形

这也很好证明。我们知道，这个三角形是直角三角形，由于它的两个锐角定点分别为原点和反比例函数上的点，因此它是上面的矩形面积的一半，即 $S_△=\dfrac{1}{2}S_矩=\dfrac{|k|}{2}$

3.3. 梯形面积不变性

（虽然说称它为“不变性”有些勉强）但这实际上也是很好证明的。由上面“三角形面积不变形”得到 $S_{△AA_1O}=S_{△BB_1O}=\dfrac{|k|}{2}$ ，可以得到 $S_{梯AA_1B_1B}=S_{梯AA_1B_1B}+S_{△AA_1O}-S_{△BB_1O}=S_{△ABO}$ ，同理得到 $S_{△ABO}=S_{梯AA_2B_2B}$

3.4. 线段比例不变性

这个略有些难，但也还好。

①四边形 $MONP$ 面积为定值：
这个只需要用到矩形面积不变性和三角形面积不变性就可以证明。由上图可以列式： $S_{四MONP}=S_{矩AOBP}-S_1-S_2$ ，然后根据矩形面积不变性知道 $S_{矩AOBP}$ 为定值，根据三角形面积不变性得知 $S_1=S_2$ 为定值，即有 $S_{四MONP}$ 为定值。

②这个结论实际上可以归为③的特例，带入 $n=2$ 即可得出此结论。

③若点 $M$ 为 $AP$ 的 $n$ 等分点，则点 $N$ 为 $PB$ 的 $n$ 等分点：
我们不妨设 $AM=\dfrac{p}{n}AP(1\leq p\leq n)$ ，外面的反比例函数解析式为 $y=\dfrac{k}{x}(k\neq 0)$ ，里面的为 $y=\dfrac{m}{x}(m\neq 0)$ ，点 $P(x,\dfrac{k}{x})$ 。
因此，点 $P(x,\dfrac{k}{x})$ ，点 $M(x\cdot\dfrac{p}{n},\dfrac{k}{x})$ ，反代求出 $m=x\cdot\dfrac{p}{n}\cdot\dfrac{k}{x}=\dfrac{p}{n}\cdot k$ ，可以得到点 $N(x,\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{p}{n}\cdot k)$ 。
因此 $BN=\dfrac{p}{n}BP$