#创作计划# 数学讲解第一期-整数与整除
2025-08-19 08:52:24
发布于：上海
注：本期内容为上海新教材5年级、老教材6年级内容，但教材刚刚改过，导致五升六的同学们没有学到，所以我从这一章开始讲解（我用上海新教材来讲），我讲的可能与书上概念不太一样，但都是正确的。因为我学这个已经是亿万年之前了。
话不多说开始讲解，首先，我们需要搞清几个概念：整数、整除、因数、倍数、奇数、偶数、质数（课本里叫素数）、合数、分解素因数（也叫质因数）、公因数与最大公因数以及公倍数与最小公倍数。
一.整数与整除
1.整数
定义：正整数、零和负整数合称为整数，其中，正整数与零称为自然数（或非负整数），负整数与零称为非正整数，正整数与负整数称为非零整数。
2.整除
定义：若整数a除以整数b，商是整数，余数为零，叫做整除（判断口诀：三整一零）。
注：这里的整数只考虑正整数，不考虑零和负整数！
读法：a能被b整除 或 b能整除a。
读法口诀：有被则顺，无被则逆。
以下是一个小程序，判断了a是否能被b整除：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int a,b;
cin>>a>>b;
if(a%b==0)cout<<"yes";
else cout<<"no";
return 0;
}
（听取了AC君的建议附上代码）
小练习1:请写出能整除12的数。
【分析】本题考察能整除12的数，只需要一步步枚举（从1开始）。
【答案】1、2、3、4、6、12。
小练习2:请判断以下哪个选项符合第一个数能整除第二个数
A.24和12 B.6和36
【分析】根据“有被则顺，无被则逆”口诀，我们可以知道题目意思是第二个数除以第一个数商为整数，余数为零，故而可以找到答案。
【答案】B
二.因数与倍数
定义：若整数a能被整数b整除，则把a叫做b的倍数，b叫做a的因数（因数也叫约数）。
例：15是3的倍数，3是15的因数。
注：因数与倍数是相互依存的。
（这里过于简单就不附代码了）
小练习3:在什么条件下，四位数abcd（abcd上面有一横，我这里打不出来，表示千位为a，百位为b，十位为c，个位为d的四位数）是3的倍数？
【分析】根据位值原理，我们可以把abcd（再次强调上面有一横，不是连乘的意思）分解为1000a+100b+10c+d,进而再分解为（999a+99b+9c）+（a+b+c+d），因为前一部分绝对为3的倍数，所以若a+b+c+d为3的倍数，那么原四位数abcd也是3的倍数。
【答案】若a+b+c+d为3的倍数，那么原四位数abcd也是3的倍数。具体见解析。
根据上面练习，我们可以知道能被3整除的数的数字和也是3的倍数。
三.奇数与偶数
定义：在正整数中，2的倍数叫做偶数，不是2的倍数叫做奇数。
判断奇数和偶数代码见下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int a;
cin>>a;
if(a%2==0)cout<<"偶数";
else cout<<"奇数";
return 0;
}
四.素数与合数
1.素数：在正整数中，只有1和它本身2个因数的数叫做素数（也叫质数）。
2.合数：在正整数中，有2个以上的因数的数叫做合数。
注：1既不是素数也不是合数。
3.一些归纳出的结论
（1）所有除2以外的素数都是奇数。
（2）所有除2以外的偶数都是合数。
（3）2是唯一的偶素数（最小的合数是4）。
4.100以内易混淆的合数
51=3* 17
57=3* 19
87=3* 29
91=7*13
以下是判断一个数是素数还是合数的函数：
bool f(int x)//懒得起英文单词函数了
{
if(x<=1)return false;
for(int i=2;i*i<=x;i++)//用i*i可以减少遍历次数
{
if(x%i==0)return false;
}
return true;
}//true是素数，false是合数
五.分解素因数
1.素因数：一个正整数的素数因数叫做这个正整数的素因数。
例：12的素因数是2，2，3（所有的都要写出来）。
素因数定理：一个正整数所有的素因数相乘等于这个正整数。
2.分解素因数
方法：口算法（口算不好的千万不要用）、短除法（正常方法）。（其实还有一种代码大法）
话不多说直接附上代码：
#include<iostream>
using namespace std;
bool f(int x)//我懒得起英文单词的时候默认用f
{
if(x<=1)
{
return false;
}
if(x==2)
{
return true;
}
for(int i=2;i*i<=x;i++)
{
if(x%i==0)
{
return false;
}
return true;
}
}
int main()
{
int n,t=0;
cin>>n;
int a[n+1]={0};
for(int i=2;i<=n;i++)
{
while(f(i)&&n%i==0)
{
a[t]=i;
n=n/i;
t++;
}
}
for(int i=0;i<t;i++)
{
cout<<a[i]<<endl;
}
return 0;
}
小练习4:把28分解素因数。
法1:口算法
【答案】28=2* 2* 7
法2:短除法
步骤：
2｜28
｜——
2｜14
｜——
%% 7
注：%为占位符，不需要管它（有一点不标准，请见谅）。
【答案】28=2* 2*7
就讲到这里，我把每个年级的一个单元分两期讲，下一期帖子我将继续讲述因数个数定理、公因数与最大公因数以及公倍数与最小公倍数，敬请收看！
注：如果有不对的地方欢迎提意见！
全部评论 14
@陈奕帆（求互关）@忘川秋裤@AAA秋褲批發lexora_哥我现在听从AC君意见把代码附上去了，你们帮我看看有没有问题（我改完第一期还要去把第二期写完）。
2025-08-19 来自 上海
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