#创作计划#烙饼问题最优调度的简单公式
2025-06-01 07:11:08
发布于：北京
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生活中常见的操作往往蕴含值得深思的优化问题。以烙饼为例，每张饼需烙两面，每面耗时相等。若灶台数量有限，如何巧妙安排烙饼顺序，以最短时间完成所有饼的制作？
这是一个简单而具体的问题，虽然不涉及复杂计算，却有显著的优化空间。例如，假设有 2 个灶台、4 张饼，每面需烙 3 分钟，随意安排可能耗时十几分钟，而合理调度则能大幅缩短时间。
时间长短不仅取决于饼的数量和每面烙制时间，更与灶台数量及利用效率密切相关。灶台越多，可同时烙制的饼面越多；但即使灶台充足，安排不当仍可能浪费时间。
本文以“烙饼问题”为切入点，推导一个简洁的时间计算公式，用于估算在灶台数量少于饼数时，完成所有烙制的最短时间。通过具体分析，我们揭示问题的数学结构，并展示其在教学中引导学生理解优化策略的潜力。
问题设定与分析起点
假设有 张饼，每张饼需烙两面，每面耗时 分钟。厨房有 个灶台，每个灶台一次只能烙一张饼的一面，且每张饼的烙制需占用一个灶台。同一时间，最多可同时烙制 面饼。
我们的目标是：在 的情况下，找出完成所有烙饼的最短时间。
为便于理解，先从一个具体例子入手：
例：有 4 张饼，2 个灶台，每面烙 3 分钟。
若仅用 1 个灶台，需逐一烙制 8 面（每张饼 2 面），总时间为 分钟。
若不考虑并行，所有饼依次烙制， 张饼每张需 分钟，总时间为：
这是“最坏情况”，相当于仅用 1 个灶台，逐张完成。
一种直观的策略是“尽量让灶台保持忙碌”，即只要有饼面未烙，就安排到空闲灶台上。这一朴素原则往往接近最优解。
若利用 2 个灶台，每次同时烙 2 张饼，时间可减半，公式变为：
引入多个灶台的调度示例
为深入理解烙饼问题的时间规律，考虑 个灶台的情况。假设有 张饼，每面烙 分钟，为简化计算，设 分钟，时间单位直接以“分钟”表示。
示例 1：，，
- 每张饼需烙两面，共 面。
- 每个灶台一次烙一面。
- 每面耗时 1 分钟。
- 同时最多烙 3 面。
记录每分钟各灶台的状态：
| 时间（分钟） | 灶台 1 | 灶台 2 | 灶台 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 饼 1 第一面 | 饼 2 第一面 | 饼 3 第一面 |
| 2 | 饼 1 第二面 | 饼 2 第二面 | 饼 3 第二面 |
| 3 | 饼 4 第一面 | 饼 5 第一面 | 饼 6 第一面 |
| 4 | 饼 4 第二面 | 饼 5 第二面 | 饼 6 第二面 |
所有饼两面均烙完，总耗时 4 分钟。
观察与总结
- 共需烙 12 面。
- 每分钟最多烙 3 面。
- 若烙制无顺序依赖，理论最短时间为 [2] 分钟。
示例 2：，，
- 每张饼需烙两面，共 面。
- 每个灶台一次烙一面。
- 每面耗时 1 分钟。
- 同时最多烙 3 面。
记录每分钟各灶台的状态：
| 时间（分钟） | 灶台 1 | 灶台 2 | 灶台 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 饼 1 第一面 | 饼 2 第一面 | 饼 3 第一面 |
| 2 | 饼 4 第一面 | 饼 5 第一面 | 饼 6 第一面 |
| 3 | 饼 7 第一面 | 饼 1 第二面 | 饼 2 第二面 |
| 4 | 饼 3 第二面 | 饼 4 第二面 | 饼 5 第二面 |
| 5 | 饼 6 第二面 | 饼 7 第二面 | -- |
所有饼两面均烙完，总耗时 5 分钟。
观察与总结
- 共需烙 14 面。
- 每分钟最多烙 3 面。
- 若烙制无顺序依赖，理论最短时间为 分钟。
通过观察，当 、 时，总时间为 。当 时，将其乘以 ，得公式：
烙饼问题的公式
我们发现，当 时，总时间为 。类似地，当 时，总时间 可写作 。
进一步归纳，分母与灶台数 相关，最终公式为：
总结
假设有 张饼，每张饼需烙两面，每面耗时 分钟，厨房有 个灶台，每次烙饼占用一个灶台。完成所有烙制的最短时间公式为：
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