看看我的解法对吗？

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复仇者_零

尊贵铂金

2025-05-03 21:28:05

发布于：浙江

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题目：

设

Δn=max⁡A1,…,An∈R2max⁡i<jd(Ai,Aj)≤1(min⁡i<jd(Ai,Aj))\Delta_n = \max_{\substack{A_1,\dots,A_n \in \mathbb{R}^2 \\ \max_{i<j} d(A_i, A_j) \le 1}} \left( \min_{i<j} d(A_i, A_j) \right)

即在任意两点间距离不超过 1 的条件下，nn 个点的“最近距离”能取得的最大值。

构造：正 nn 边形

将 nn 个点构造成单位直径的正 nn 边形，即取正 nn 边形的顶点，使得其直径为 1，此时边长（即最小距离）为所求最大值。

  • 若 nn 为偶数：

2Rsin⁡(⌊n/2⌋πn)=2Rsin⁡(n/2⋅πn)=2Rsin⁡(π2)=2R⋅1=2R2R \sin\left(\frac{\lfloor n/2 \rfloor \pi}{n}\right) = 2R \sin\left(\frac{n/2 \cdot \pi}{n}\right) = 2R \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2R \cdot 1 = 2R

要求直径为 1，得 R=12R = \frac{1}{2}。此时边长为：

δn=2Rsin⁡(πn)=sin⁡(πn)\delta_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)

  • 若 nn 为奇数：

两最远顶点间夹角为 (n−1)πn=π−πn\frac{(n-1)\pi}{n} = \pi - \frac{\pi}{n}，最大距离为：

2Rsin⁡((n−1)π2n)=2Rcos⁡(π2n)2R \sin\left( \frac{(n-1)\pi}{2n} \right) = 2R \cos\left( \frac{\pi}{2n} \right)

要求其为 1，得：

R=12cos⁡(π/(2n))R = \frac{1}{2\cos(\pi/(2n))}

此时边长为：

δn=2Rsin⁡(πn)=2sin⁡(π/n)2cos⁡(π/(2n))=2sin⁡(π2n)\delta_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{2\sin(\pi/n)}{2\cos(\pi/(2n))} = 2\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)

最终结论：

Δn={sin⁡(πn),若 n 为偶数2sin⁡(π2n),若 n 为奇数\boxed{ \Delta_n = \begin{cases} \sin\left( \frac{\pi}{n} \right), & \text{若 } n \text{ 为偶数} \\[1em] 2\sin\left( \frac{\pi}{2n} \right), & \text{若 } n \text{ 为奇数} \end{cases} }

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