泰勒（Taylor）级数【CSP考点之】

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复仇者_零

尊贵铂金

2024-10-02 13:42:49

发布于：浙江

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泰勒级数（Taylor Series）是数学中一种表示函数的无穷级数形式。它将一个在某点具有任意阶导数的函数表示为该点处的函数值及各阶导数构成的多项式之和。这个级数可以近似描述函数在某点附近的行为。

设 ( f(x) ) 是在点 ( a ) 处可导无穷多次的函数，那么 ( f(x) ) 在 ( a ) 点附近的泰勒级数展开式为：

f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+f(3)(a)3!(x−a)3+⋯f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots
一般形式为：

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n

其中：

  • ( f^{(n)}(a) ) 表示函数 ( f(x) ) 在 ( x = a ) 处的第 ( n ) 阶导数；
  • ( n! ) 表示 ( n ) 的阶乘。

当 ( a = 0 ) 时，泰勒级数称为麦克劳林级数（Maclaurin Series）。

泰勒级数在物理学、工程学和其他科学领域广泛应用，因为它可以用多项式形式很好地近似复杂函数。

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