原神

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二分笔记

1. 查找 X 是否存在 思路简介 数组有序时，可以用二分查找。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2. 手写 LOWER_BOUND：查找第一个 >= X 的位置 思路简介 要找的是第一个满足： 的位置。 二分时，如果： 说明 mid 可能是答案，但是前面可能还有更靠左的答案，所以： 如果： 说明 mid 和左边都太小了，所以往右找： 如果不存在，输出 n + 1。 带注释代码 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3. STL LOWER_BOUND：第一个 >= X 思路简介 lower_bound 的含义是： 写法： 返回的是地址。 要转成下标，需要减去数组首地址： 带注释代码 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 4. STL UPPER_BOUND：第一个 > X 思路简介 upper_bound 的含义是： 写法： 返回的是地址。 转成下标： 带注释代码 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 5. 手写 UPPER_BOUND：查找第一个 > X 的位置 思路简介 要找的是第一个满足： 的位置。 二分时，如果： 说明 mid 可能是答案，但是前面可能还有更靠左的答案，所以： 如果： 说明 mid 和左边都不满足，只能往右找： 如果不存在，输出 n + 1。 带注释代码 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 总结口诀 这几份代码的前提都是：数组必须是有序的。如果题目没保证有序，需要先写： 出现次数2 保龄球 出现次数1 和为 0 的 4 个值 最后一个等于X的元素 不同分的人数 学生信息查询 A-B数对 递增三元组 放学人潮

赢暑期活动 共赴团赛之约（有奖品）

一年一度的暑期活动在欢声笑语中走来啦！ > > 此次活动主办方@༺ད黯渊◈天蝎ཌ༻和支持方@AAA_Cheer_EndBet 活动主题（暂且不提团赛）入团才能参赛 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1·活动为字符打印赛（为@码农爱历史灵感，现在更新） 竞赛提示仅有一次哦 ⚠如果发现抄者重罚，打字规则如下 1.只能私信打字（赢者会在8月15日宣布） 2.报名活动在讨论区输入“我是‘谁’，我参加打字比赛“ 3.禁止相互问，期间作者会查你到底怎么打的 4.上述表格粘贴不了 5.禁止辱骂他人行为 6.打字素材有ACGO部分 开始时间：2026年7月25日，现在可报名 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 共赴团赛！！！ > 本次团赛出题员及审题员 > 跳转团赛 出题员 审题员 @AAA_Cheer_EndBet @编程&神(互关) @码农爱历史 @Expected expr @景梓萌（看猴常@） @wcqk > 本次团赛赛时答疑员及赛后检察员 赛时答疑员 赛后检察员 @💩💩百大游戏解说官💩💩 @wcqk > 团赛奖励 名次 奖品 NO.1 神秘实物，地址考完发我 NO.2 空白团队1个 NO.3 可以让作者买人数增加 NO.4 40罐 幸运奖5位 20罐或者一个空白团队 > 团后发罐小组 组员 @国服武术家(互关） @景梓萌（看猴常@） 竞赛有问题？ 我们欢迎所有人来发问，一起追究题目问题 用AI处罚 但凡发现有用AI作弊，则去除该奖项，所以大家都不要用AI，锻炼自己编程水平吧！ 至竞赛完毕则发布作弊&获奖名单 赛事答疑帖 点击跳转

有奖：皮皮虾团队复活比赛

CXXP#2 CXXP#2 官方公开赛，有机会领取限定头像框（商城不上架）以及大量罐头！ 适合 XP03A-XP05 参与 注意，如果你在 CXXP 中，有过违规行为，那么你在 CXXP#2 中不能获奖。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ PPX-复活赛 【PPX-复活赛】皮皮虾团队复活比赛 【邀请码 WrGj】 点击直达 本次比赛较为简单，适合 XP01-XP03A 的同学参赛 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 皮皮虾暑期赛2 【PPX-012】皮皮虾暑期竞赛2【邀请码 sdwW】 点击直达 本次比赛较为简单，适合 XP02-XP03B 的同学参赛 皮皮虾团队将在这个暑假复活一段时间，预计举办 5 场比赛，这是第 3 场。（不算 CXXP#2） 奖励可以商议，进行微调。 注意，如果你在本次比赛中使用了 AI 或者其他插件辅助答题，你将被设置为作弊者；如果你在团队之前有违规记录，你将直接被踢出团队。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 皮皮虾暑期竞赛 【PPX-010】皮皮虾暑期竞赛【邀请码 7TJA】点击直达 适合 XP02-XP03B 参加 奖励内容见竞赛页面！

2026暑期算法巅峰联赛(8baa)

竞赛链接1：【大师主宰×ACGO之星】2026暑期算法巅峰联赛（邀请码：8BAA） 竞赛链接2（其他的竞赛，推荐！！！）：13团暑期竞赛（邀请码：8554） 竞赛链接3（新的）：13团暑期竞赛附加赛(邀请码:YZZX) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 已报名44人，参与14人，作弊嫌疑2人。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 一、竞赛背景 这是一个为备战 CSP、省选、NOI 提供高质量专项训练比赛，试题由浅入深完整覆盖入门至 NOI 全梯度难度， 难度和 13团暑期竞赛（邀请码：8554）差不多(喃逸淀)。 二、竞赛规则\COLOR{RED} 二、竞赛规则二、竞赛规则 1.参赛选手需遵守竞赛纪律，禁止抄袭（AI也算）、作弊等行为（惩罚：拉入团队小黑屋3~30天、发帖警示并取消奖励）。 2.竞赛期间可使用编程语言：C++、PYTHON。 3.禁止与他人交流或使用非公开代码。 4.不准开多个小号竞赛。 三、主办方 由 ACGO之星、大师主宰级团队 合作承办。 四、奖项设置\COLOR{RED}四、奖项设置四、奖项设置 AK选手可自行选择2个团队的一年的管理员或1个团队的永久管理员或1个团队的一年的副队长或1个空白团队。 第一~第二的人可自行选择2个团队的永久的管理员或任意1个团队一年的副队长 或 1个空白团队 或 让 终极主宰大神 新创建一个团队并给选手很高的权限。 第三~第五的人可选2个团队的半年的管理员或1个团队的一年的管理员 或 让 终极主宰大神 新创建一个团队并给选手较高的权限 第六~第十的人选手可自行选择任意1个团队的三个月的管理员 或 终极主宰大神 新创建一个团队并给选手中等的权限 。 第十一~第二十的人可选2个团队的一周的管理员或1个团队的一个月的管理员 或让 终极主宰大神 和 码农爱历史 给你永久关注或 让 终极主宰大神 新创建一个团队并给选手较低的权限。 获奖时间：9月1日00时00分00秒~10月1日00时00分00秒。 奖项可以攒着，前提跟终极主宰大神说。 五、赛况 题目 用户名 8.FB 9.FB 10.FB 首AK 1st 注： 首 AK：第一个完成所有题目（All Kill）。 FB：第一个完成单道题目（First Blood）。 六、讨论规则 禁止说脏话、引战，说了的话拉入团队黑名单并一律删除评论。

小作坊自研赌罐头教程

榜5了?！ 先来段广告：点击查收 引入 这是我同学赌罐头的遭遇 点这里围观 ———————————————————————————————————————————— 正文 事先声明，本帖远不如 ༺ཌༀཉི༒白·羊༒༃ༀད༻的全网最详细赌罐头教程专业，如出现问题请不要来找我。 罐头数量 稀有度 1999罐头 稀有惊喜 888罐头 幸运馈赠 399罐头 超值礼遇 199罐头 常见好礼 99罐头 日常收获 66罐头 基础祝福 从上面这张表格可以看出赚的概率有三成，不亏不赚的有一成，亏的有两成，总共六成。 看似亏得概率都不高，但用大脚趾想都能明白， 事情绝对没有这么简单\color{red}{事情绝对没有这么简单}事情绝对没有这么简单 先看一组数据 注：本人是一个一个买的，并非一批一批买\color{yellow}注：本人是一个一个买的，并非一批一批买注：本人是一个一个买的，并非一批一批买 还有一个199没放出来 对于20次大概是 99:10%，199:50%，888:10%，66:30%，1999:0%，399:0% > 7.18日 连续出5个199也是脸黑成锅底了，又又又又证实了下文的第一条和第四条 7.18日资金（其中有刷题以及运势的成分）为 > 7.20-7.21，又又又又证明了下文第一条、第三条和第五条 今日资金 呜呜呜，大亏的一天，我为了你们，从857跌倒363，难道就不值你们的一个赞吗？ > > 7.24 终于，出399辣！！！！！！也变相证明了第2条 不妨我们可以总结出一下几点 1.199 十分不吉利\color{red}{ 十分不吉利}十分不吉利，常常会带来66、99、199这些对我们不利的数字\color{red}{ 对我们不利的数字}对我们不利的数字。 2.开完399，888立刻收手，应为可能下一个就是199、66\color{red}{ 199、66}199、66。 3.66经常伴随199一同出现。 4.199出现频率极高！！！！ 5.66会带来66\color{red}{ 66}66和199\color{red}{ 199}199，与199一样不吉利\color{red}{ 一样不吉利}一样不吉利 有补充的可以评论区留言或私信。 稀有的1999目前还没遇见，所以不知道有什么规律。其他还是要靠玄学。 > AC之神的祝福属于一种高风险，低收入（个别高收入）的东西，没有足够本事的还是老实做题，打天梯，慢慢攒比较好。 以后我会更新这条帖子，尽量将40次，60次，80次，甚至100次做出来。 接个广子 内容制作不易，请大家多多支持,蟹蟹了

官方题解 | 巅峰赛#36

巅峰赛36 题解 本次题目的总体难度如下，各位选手可以借此评估一下自身的技术水平 题目编号 题目标题 难度 T1 午枫的传话游戏 普及/提高- T2 午枫的教室路线 普及/提高- T3 午枫的数字替换 普及/提高- T4 午枫的课堂笔记 普及/提高- T5 午枫的自习时间 普及+/提高 T6 午枫的涂色方案 普及+/提高 T1 午枫的传话游戏 题意简述 有 nnn 个同学，每人有一个数字 aia_iai 。若两数绝对差为 111 则可直接传话，传话关系具有传递性。求最少添加多少对直接传话关系，使得整个图连通（任意两人可互相传话）。 解题思路 将数字视为节点，值相等的同学共享同一节点（他们之间差值为 000，需要额外处理）。先对数组排序去重分析连续段：如果两个相邻数值相差为 111，则它们天然有边相连；若相差 >1>1>1，则这两段之间需要添加一条边来连通。因此，数值轴上会形成若干个由差值为 111 的连续段构成的连通块。 对于同一数值有多人的情况：这些人内部没有直接边（差值 000），他们必须借助相邻数值才能连通。如果一个连通块中只有一个数值（左右均断），那么该数值内的 ttt 个同学需要 t−1t-1t−1 条边才能内部连通，并且还需与外部块连接。当连通块有多个数值时，块内的所有同学可通过链式结构自然连通，只需向外连边时添加一条边。 边数最少为 max⁡(0,连通块数−1)+∑(孤立数值内部人数−1)\max(0, \text{连通块数} - 1) + \sum(\text{孤立数值内部人数} - 1)max(0,连通块数−1)+∑(孤立数值内部人数−1)。 参考代码 T2 午枫的教室路线 题意简述 有一个 H×WH \times WH×W 的网格，从 (1,1)(1,1)(1,1) 走到 (H,W)(H,W)(H,W)，每次只能向下或向右。给定一个长度为 H+W−2H+W-2H+W−2 的字符串 SSS，其中 D 表示这一步必须向下，R 表示必须向右，? 表示可以自由选择向下或向右。对于每一种合法的路径，我们把该路径经过的所有格子（包括起点和终点）标记为已访问。问在所有合法路径中，最多能有多少个不同的格子被至少一条路径访问到。 解题思路 令必须向下的步数为 DfixD_{fix}Dfix ，必须向右的步数为 RfixR_{fix}Rfix ，自由步中需选 n=H−1−Dfixn = H-1-D_{fix}n=H−1−Dfix 步为向下、m=W−1−Rfixm = W-1-R_{fix}m=W−1−Rfix 步为向右。问题等价于求有多少格子 (i,j)(i,j)(i,j) 存在一种 ? 的赋值，使得路径经过该格。 考虑格子 (i,j)(i,j)(i,j)，到达它需要 k=i+j−2k = i+j-2k=i+j−2 步，其中向下 i−1i-1i−1 步。设前 kkk 步中必须向下 dkd_kdk 步、必须向右 rkr_krk 步、自由 sks_ksk 步。后 L=H+W−2−kL = H+W-2-kL=H+W−2−k 步中必须向下 dL′d'_LdL′ 步、自由 sL′s'_LsL′ 步。存在合法路径经过 (i,j)(i,j)(i,j) 当且仅当存在整数 xxx（前 kkk 步中选择向下的自由步数）满足： * i−1=dk+xi-1 = d_k + xi−1=dk +x，即 x=i−1−dkx = i-1-d_kx=i−1−dk * 0≤x≤sk0 \le x \le s_k0≤x≤sk ，且 x≤nx \le nx≤n * H−i=dL′+(n−x)H-i = d'_L + (n-x)H−i=dL′ +(n−x)，即 n−x=H−i−dL′n-x = H-i-d'_Ln−x=H−i−dL′ * 0≤n−x≤sL′0 \le n-x \le s'_L0≤n−x≤sL′ 消去变量后，固定 kkk 时 iii 的取值范围为： max⁡(dk+1,  k−min⁡(sk,m)−rk+1)≤i≤min⁡(min⁡(sk,n)+dk+1,  k−rk+1)\max(d_k+1,\; k - \min(s_k, m) - r_k + 1) \le i \le \min(\min(s_k, n) + d_k + 1,\; k - r_k + 1) max(dk +1,k−min(sk ,m)−rk +1)≤i≤min(min(sk ,n)+dk +1,k−rk +1) 其中 n=H−1−Dfixn = H-1-D_{fix}n=H−1−Dfix ，m=W−1−Rfixm = W-1-R_{fix}m=W−1−Rfix 。每个 iii 对应格子 (i,k+2−i)(i, k+2-i)(i,k+2−i)。 遍历 k=0k = 0k=0 到 H+W−2H+W-2H+W−2，累加每个 kkk 对应的合法 iii 的个数，即为答案。起点 k=0k=0k=0 和终点 k=H+W−2k=H+W-2k=H+W−2 自动包含在内。 参考代码 T3 午枫的数字替换 题意简述 给定一个长度为 NNN 的数字串 SSS 和一个长度为 MMM 的数字串 TTT，按顺序进行 MMM 次操作，第 kkk 次操作可以将 SSS 的任意一个位置替换为 TTT 的第 kkk 个字符。每次替换会覆盖原有数字。问经过全部 MMM 次操作后，得到的 SSS 作为整数值最大是多少，输出这个字符串。 解题思路 我们依次进行 MMM 次替换，每次可以选任意位置。最后一次操作特别重要，因为它不会被后续操作覆盖。如果我们把某个数字放在最后一次操作中，它就会永远留在最终字符串的那个位置上。 为了使得最终字符串的字典序最大，我们希望前面的字符尽可能大。因此，一个直观的贪心策略是：除了最后一次操作的数字以外，前面的 M−1M-1M−1 次操作我们可以自由选择用哪些数字去替换哪些位置。我们把这 M−1M-1M−1 个数字从大到小排序，然后从左到右扫描 SSS 的每个位置，如果当前最大的可用数字比 SSS 这个位置上的数字大，就进行替换，然后这个数字被消耗掉，继续看下一个位置。这样可以保证在前面的位置上尽量使用大的数字。 接下来考虑最后一次操作的数字 TMT_MTM 。它必须被用到某个位置上。如果在前面的贪心过程中，TMT_MTM 已经被当作一个较大的数字使用过了（即它已经被换到了某个位置上），那就不用再额外处理。如果没有被使用过，说明 TMT_MTM 比 SSS 中所有未被替换过的位置上的数字都小（因为贪心过程中只有遇到更大的数字才会替换）。此时，我们只能把它放在某个位置上，为了对整个字符串的字典序影响最小，应该把它放在最后一位。因为放在任何更前面的位置都会使得那个位置变小，从而让整个字符串变小，而放在末尾只会影响最后一位，前面的大数字结构保持不变。 这样操作后，得到的字符串就是最大的可能结果。 参考代码 T4 午枫的课堂笔记 题意简述 按顺序处理 NNN 个数，对每个数必须恰好执行一次操作：要么写入到笔记板末尾，要么删除笔记板末尾的一个数（板为空时不能删除）。操作结束后，笔记板中剩余数的和即为结果。求最大可能和。 解题思路 定义 f[i][0]f[i][0]f[i][0] 表示处理完前 iii 个数且第 iii 步执行删除操作时，当前栈中数字和的最大值；f[i][1]f[i][1]f[i][1] 表示第 iii 步执行写入操作时的最大值。 若第 iii 步是删除，则它必须删除上一步刚写入的数，因此第 i−1i-1i−1 步必须是写入，删除后状态回到第 i−2i-2i−2 步之后的状态，故 f[i][0]=max⁡(f[i−2][0],f[i−2][1])f[i][0] = \max(f[i-2][0], f[i-2][1])f[i][0]=max(f[i−2][0],f[i−2][1])。 若第 iii 步是写入，则直接加上 AiA_iAi ，可以从第 i−1i-1i−1 步的任意状态转移来，即 f[i][1]=max⁡(f[i−1][0],f[i−1][1])+Aif[i][1] = \max(f[i-1][0], f[i-1][1]) + A_if[i][1]=max(f[i−1][0],f[i−1][1])+Ai 。 初始条件 f[1][0]f[1][0]f[1][0] 不合法（第一步不能删除），设为负无穷；f[1][1]=A1f[1][1] = A_1f[1][1]=A1 。最终答案为 max⁡(f[N][0],f[N][1])\max(f[N][0], f[N][1])max(f[N][0],f[N][1])。 参考代码 T5 午枫的自习时间 题意简述 给定一个长度为 NNN 的字符串 SSS，由 o 和 x 组成。将 SSS 重复 MMM 次得到字符串 TTT（长度为 N×MN \times MN×M）。你可以将 TTT 中恰好 KKK 个 x 改为 o。问修改后最长的连续 o 子串长度最大是多少。 解题思路 设 SSS 中 x 的总数为 cntcntcnt。由于 MMM 可能很大（10910^9109），不能直接构造 TTT。考虑分情况讨论。 首先，如果 M=1M = 1M=1 或 M=2M = 2M=2，可以直接构造出 TTT（长度最多 2N≤6×1052N \le 6\times 10^52N≤6×105），然后用双指针（滑动窗口）求最多包含 KKK 个 x 的最长区间即可。 当 M≥3M \ge 3M≥3 时，考虑在完整的若干个 SSS 块中，每块有 cntcntcnt 个 x。设 num=⌊K/cnt⌋num = \lfloor K / cnt \rfloornum=⌊K/cnt⌋，即可以完全填满的块数。分三种情况： * 若 num≥Mnum \ge Mnum≥M，则所有 MMM 个块都可以完全填成 o，答案为 N×MN \times MN×M。 * 若 num=M−1num = M-1num=M−1，则前 M−1M-1M−1 个完整的块可以全部填满，剩下 K′=K−(M−1)×cnt+cntK' = K - (M-1) \times cnt + cntK′=K−(M−1)×cnt+cnt 次调整机会（注意这里 STD 中写的是 k = k % cnt + cnt，相当于先消耗掉 M−1M-1M−1 个整块，剩下的 kkk 可能小于 cntcntcnt，但为了充分利用，实际上是在两个块中寻找最长的区间，最后加上 (M−2)×N(M-2) \times N(M−2)×N 作为中间已填满的块的长度）。 * 若 num≤M−2num \le M-2num≤M−2，则中间有 numnumnum 个完整填满的块，剩下的 K′=K%cntK' = K \% cntK′=K%cnt 次调整机会用于在前后两个块中跨越拼接。同样用双指针在 S+SS+SS+S 上找最多包含 K′K'K′ 个 x 的最长区间，然后加上 num×Nnum \times Nnum×N 作为中间完整块的长度。 关键点在于：当 MMM 很大时，最优解一定由若干完整填满的 o 块加上两端部分块内扩展得到的连续区间组成。通过在 S+SS+SS+S 上运行滑动窗口（最多包含 K%cntK \% cntK%cnt 或 K%cnt+cntK \% cnt + cntK%cnt+cnt 个 x），可以求出跨越两个块边界时的最大长度，再加上中间完整块的总长度即可。 参考代码 T6 午枫的涂色方案 题意简述 一排 NNN 个座位，初始状态第 iii 个座位上的数字为 i mod 2i \bmod 2imod2，即 1,0,1,0,…1,0,1,0,\dots1,0,1,0,… 交替。每次操作可以选择两个位置 lll 和 rrr 满足 l+1<rl+1<rl+1<r，且 lll 和 rrr 上的数字相同，而 (l,r)(l,r)(l,r) 内的所有数字都与 lll 不同，然后将 (l,r)(l,r)(l,r) 内所有数字改为 lll 上的数字。给定目标状态 A1,…,ANA_1,\dots,A_NA1 ,…,AN ，问有多少种不同的操作序列（操作次数不同或某一步的 (l,r)(l,r)(l,r) 不同都算不同）能从初始状态变成目标状态，答案对 998244353998244353998244353 取模。 解题思路 首先无解条件：A1A_1A1 必须为 111（位置 111 永远不会被修改），ANA_NAN 必须等于 N mod 2N \bmod 2Nmod2（位置 NNN 也不会被修改）。否则答案为 000。 将初始序列视为 NNN 个长度为 111、颜色交替的连续段。一次操作选择三个连续段（左、中、右），其中左右颜色相同、中间相反，操作后三段的中间段变为左右颜色，三段合并为一段。因此操作只合并相邻的相同颜色段，且每次减少两个段。 最终目标 AAA 划分成若干连续同色段。每个段的长度必须为奇数（因为每次合并三个奇数长度段得到奇数长度段，从 111 开始只能得到奇数）。若任何一段长度为偶数，答案为 000。 对于长度为 L=2k+1L=2k+1L=2k+1 的段，它由 2k+12k+12k+1 个初始段合并而成，需要 kkk 次操作。其内部合并方案数为 f(k)=(2k−1)!!=∏i=1k(2i−1)f(k) = (2k-1)!! = \prod_{i=1}^{k} (2i-1)f(k)=(2k−1)!!=∏i=1k (2i−1)。 设最终有 ccc 个段，半长度分别为 k1,…,kck_1,\dots,k_ck1 ,…,kc （即段长为 2ki+12k_i+12ki +1），总操作数 K=∑kiK = \sum k_iK=∑ki 。不同段之间的操作可以任意交错，穿插方案数为多重组合数 K!∏ki!\frac{K!}{\prod k_i!}∏ki !K! 。 因此总方案数为： (∏i=1cf(ki))×K!∏ki!\left(\prod_{i=1}^{c} f(k_i)\right) \times \frac{K!}{\prod k_i!} (i=1∏c f(ki ))×∏ki !K! 预处理阶乘、逆元及 f(k)f(k)f(k) 即可 O(N)O(N)O(N) 计算。 参考代码

MMOI Round 3 题解

明天就是 NOI 2026 Day 1，在这里祝我以及参加 NOI 2026 的选手好运，NOI 2026 rp++！ 赛后总结帖也许要晚一些发布。 T1 矿车交通 这道题的灵感来源于一道小学数学题：在等车回家的时候，是往车的方向走早点遇到车更快、往家的方向先走一段距离更快，还是原地等待更快？答案是一样快，因为坐的都是同一辆车。 因此可以发现换乘是没有必要的——如果 Steve 最后乘坐的是某辆矿车到达终点，那么他可以选择一直在起点等着这辆矿车并一直坐到终点。因此对于每辆矿车计算乘坐这辆矿车会在什么时候到达终点，并取最小值即可。注意特判只靠步行到达终点和 x=yx=yx=y 的情况。 T2 轮回 考虑第 iii 天时 a0a_0a0 在原序列中所对应的下标 pip_ipi ，显然当 iii 不是 mmm 的倍数时，pi=(pi−1+1) mod np_i=(p_{i-1}+1) \bmod npi =(pi−1 +1)modn；否则 pi=pi−1p_i=p_{i-1}pi =pi−1 。将 ppp 中的元素分为两部分进行计算： * 对于 i>0i>0i>0 且 i mod m=0i\bmod m=0imodm=0 的 pip_ipi ，这些 pip_ipi 的值为 (m−1)−1,2(m−1)−1,…(m-1)-1,2(m-1)-1,\dots(m−1)−1,2(m−1)−1,… 模 nnn 意义下的值； * 剩下的 pip_ipi 值为 −1,0,1,2,…-1,0,1,2,\dots−1,0,1,2,… 模 nnn 意义下的值。 可以发现，这两部分每一部分每 nnn 个数都会形成循环，通过计算整个循环带来的贡献，并额外加上剩下的部分即可，时间复杂度 O(n)O(n)O(n)。 T3 奇迹 考虑将 nnn 个数排成一个环，此时最近的一对 111 之间的距离不超过 ⌊nx⌋\left\lfloor\frac{n}{x}\right\rfloor⌊xn ⌋。从小到大枚举两个数的距离 ddd，将环上所有距离为 ddd 的 nnn 对点加入猜测序列中，总猜测次数不超过 ⌊n2x⌋\left\lfloor\frac{n^2}{x}\right\rfloor⌊xn2 ⌋。 T4 游戏 记 C(x,y)=∑k=1n[sufk(x)=prek(y)]dkC(x,y)=\sum\limits_{k=1}^n[\text{suf}_k(x)=\text{pre}_k(y)]d^kC(x,y)=k=1∑n [sufk (x)=prek (y)]dk，其中 sufk(x)\text{suf}_k(x)sufk (x) 为 xxx 长度为 kkk 的后缀，prek(y)\text{pre}_k(y)prek (y) 为 yyy 长度为 kkk 的前缀，[P][P][P] 表示当 PPP 成立时为 111，否则为 000。则子问题一的答案为： C(t,t)−C(t,s)C(s,s)−C(s,t)+C(t,t)−C(t,s)\dfrac{C(t,t)-C(t,s)}{C(s,s)-C(s,t)+C(t,t)-C(t,s)} C(s,s)−C(s,t)+C(t,t)−C(t,s)C(t,t)−C(t,s) 计算 C(x,y)C(x,y)C(x,y) 是简单的：构造字符串 S=y+#+xS=y+\text{\#}+xS=y+#+x，SSS 的每一个 border 都对应一个满足 sufk(x)=prek(y)\text{suf}_k(x)=\text{pre}_k(y)sufk (x)=prek (y) 的 kkk，使用 KMP 算法计算出 SSS 的每一个 border 即可。 对于子问题二，一种可能的构造方案是先取 sss 为 ttt 的前 n−1n-1n−1 位，并在 sss 的最前方放上任意与 t2t_2t2 不同的字符，将 s,ts,ts,t 带入子问题一的公式中很容易证明这是一种合法的构造方案。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 下面对子问题一的式子给出证明：先只考虑一个目标串 xxx，假设有一种下注游戏，在每一轮抛硬币之前，都新来一个下注者，他下注从当前位置开始未来会出现串 xxx。具体地，他初始时拥有 111 元，下注当前字符为 x1x_1x1 ，如果猜中，则钱数变成原来的 ddd 倍，继续下注 xxx 的下一个字符；否则他的钱数直接变成 000，游戏结束。 不难发现这个游戏是公平的，即每回合结束后每个下注者的期望钱数都仍然是 111，因此若游戏进行了 TTT 回合，所有下注者拥有的钱数和的期望值也是 TTT，因此整个游戏所有下注者拥有的钱数和的期望值为 E(T)E(T)E(T)。 对于原问题，假设每一轮抛硬币之前，都会有两个下注者分别下注 sss 和 ttt。考虑计算游戏以 sss 结束时，猜 ttt 的所有下注者拥有的钱数和：想要结束时有一位连续猜中的 kkk 次的下注者，这要求 sufk(s)=prek(t)\text{suf}_k(s)=\text{pre}_k(t)sufk (s)=prek (t)，并会带来 dkd^kdk 的贡献，这就是式子 C(x,y)C(x,y)C(x,y) 的由来。 设 Steve 获胜的概率为 ppp，则 Alice 获胜的概率为 1−p1-p1−p，那么对于猜测 sss 的所有下注者，其拥有的钱数和的期望值为 pC(s,s)+(1−p)C(t,s)pC(s,s)+(1-p)C(t,s)pC(s,s)+(1−p)C(t,s)。类似地，对于猜测 ttt 的所有下注者，其拥有的钱数和的期望值为 pC(t,t)+(1−p)C(s,t)pC(t,t)+(1-p)C(s,t)pC(t,t)+(1−p)C(s,t)。 按照刚刚的结论，我们发现这两个式子都等于 E(T)E(T)E(T)，所以 pC(s,s)+(1−p)C(t,s)=pC(t,t)+(1−p)C(s,t)pC(s,s)+(1-p)C(t,s)=pC(t,t)+(1-p)C(s,t)pC(s,s)+(1−p)C(t,s)=pC(t,t)+(1−p)C(s,t)，解方程即可得到上面的结论。

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