球体体积、表面积公式推导

一只姜（AAAAAA级遗址）

2024-07-21 13:59:31

发布于：浙江

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我看最近有人在摘抄网上的微积分求球体体积公式啊，如传送门

于是呢，无聊的一只姜小朋友就开始写帖子了

注：本帖纯原创，无摘抄！本贴写入了球体表面积、体积公式的互相转化

先来看球体的体积公式

学过数学高中必修二的都知道，球体体积公式为

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

其中，r为球体半径

那么怎么证明呢？

我在这里给出一种简单的证法（微积分公式推导有人摘抄过了）

这种方法虽然与微积分相似，但是又不尽相同

我们需要把一个球体分割为无数个微小的圆锥

如图：（极其丑陋）

那么每一个圆锥的高都是相同的，也就是球体的半径r

我们又知道圆锥的体积公式为：

$V=\frac{1}{3}Sh$

所以可以得出球体体积的推导式：

$V_球=\frac{1}{3}(S_1+S_2+S_3+...+S_n)r$

由于球体的表面积公式为（这里需要用到，直接引入）

$S_球=4\pi r^2$

又因为

$S_1+S_2+S_3+...+S_n=S_球$

所以得出：

$V_球=\frac{4}{3}\pi r^3$

再来看球体的表面积公式

学过数学高中必修二的又都知道，球体表面积公式为

$S_球=4\pi r^2$

其中，r为球体半径

那么又该怎么证明呢？

我们仍然需要把一个球体分割为无数个微小的圆锥

图和上面一样

那么每一个圆锥的高都是相同的，也就是球体的半径r

我们又知道圆锥的体积公式为：

$V=\frac{1}{3}Sh$

所以可以得出球体表面积的推导式：

$V_球=\frac{1}{3}(S_1+S_2+S_3+...+S_n)r$

$S_球=S_1+S_2+S_3+...+S_n=\frac{V_球}{\frac{1}{3}r}$

由于球体的体积公式为（这里需要用到，直接引入）

$V_球=\frac{4}{3}\pi r^3$

所以得出：

$S_球=4\pi r^2$

看完了不许白嫖

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全部评论 8

‮者仇复
抢除作者外的首评（doge

2024-07-21 来自浙江
2
- ‮者仇复
  回复‮者仇复
  (好像失败了)
  
  2024-07-21 来自浙江
  1
浅忆.素笺淡墨
你是很强的(膜拜)

2024-07-21 来自广西
1
浅忆.素笺淡墨
赞

2024-07-21 来自广西
1
zhouty
其实可以不分成小的圆锥，分成小的pyramid也是可以的

2024-08-18 来自广东
0
北辞
~~必须白嫖~~

2024-07-21 来自广东
0
李总
顶顶顶顶顶！

2024-07-21 来自四川
0
一只姜（AAAAAA级遗址）
顶

2024-07-21 来自浙江
0
一只姜（AAAAAA级遗址）
顶

2024-07-21 来自浙江
0

我看最近有人在摘抄网上的微积分求球体体积公式啊，如传送门

于是呢，无聊的一只姜小朋友就开始写帖子了

注：本帖纯原创，无摘抄！本贴写入了球体表面积、体积公式的互相转化

先来看球体的体积公式

学过数学高中必修二的都知道，球体体积公式为

V=43πr3V=\frac{4}{3}\pi r^3V=34​πr3

其中，r为球体半径

那么怎么证明呢？

我在这里给出一种简单的证法（微积分公式推导有人摘抄过了）

这种方法虽然与微积分相似，但是又不尽相同

我们需要把一个球体分割为无数个微小的圆锥

如图：（极其丑陋）

那么每一个圆锥的高都是相同的，也就是球体的半径r

我们又知道圆锥的体积公式为：

V=13ShV=\frac{1}{3}ShV=31​Sh

所以可以得出球体体积的推导式：

V球=13(S1+S2+S3+...+Sn)rV_球=\frac{1}{3}(S_1+S_2+S_3+...+S_n)rV球​=31​(S1​+S2​+S3​+...+Sn​)r

由于球体的表面积公式为（这里需要用到，直接引入）

S球=4πr2S_球=4\pi r^2S球​=4πr2

又因为

S1+S2+S3+...+Sn=S球S_1+S_2+S_3+...+S_n=S_球S1​+S2​+S3​+...+Sn​=S球​

所以得出：

V球=43πr3V_球=\frac{4}{3}\pi r^3V球​=34​πr3

再来看球体的表面积公式

学过数学高中必修二的又都知道，球体表面积公式为

S球=4πr2S_球=4\pi r^2S球​=4πr2

其中，r为球体半径

那么又该怎么证明呢？

我们仍然需要把一个球体分割为无数个微小的圆锥

图和上面一样

那么每一个圆锥的高都是相同的，也就是球体的半径r

我们又知道圆锥的体积公式为：

V=13ShV=\frac{1}{3}ShV=31​Sh

所以可以得出球体表面积的推导式：

V球=13(S1+S2+S3+...+Sn)rV_球=\frac{1}{3}(S_1+S_2+S_3+...+S_n)rV球​=31​(S1​+S2​+S3​+...+Sn​)r

S球=S1+S2+S3+...+Sn=V球13rS_球=S_1+S_2+S_3+...+S_n=\frac{V_球}{\frac{1}{3}r}S球​=S1​+S2​+S3​+...+Sn​=31​rV球​​

由于球体的体积公式为（这里需要用到，直接引入）

V球=43πr3V_球=\frac{4}{3}\pi r^3V球​=34​πr3

所以得出：

S球=4πr2S_球=4\pi r^2S球​=4πr2

看完了不许白嫖

全部评论 8

顶顶顶顶顶！

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$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

$V=\frac{1}{3}Sh$

$V_球=\frac{1}{3}(S_1+S_2+S_3+...+S_n)r$

$S_球=4\pi r^2$

$S_1+S_2+S_3+...+S_n=S_球$

$V_球=\frac{4}{3}\pi r^3$

$S_球=4\pi r^2$

$V=\frac{1}{3}Sh$

$V_球=\frac{1}{3}(S_1+S_2+S_3+...+S_n)r$

$S_球=S_1+S_2+S_3+...+S_n=\frac{V_球}{\frac{1}{3}r}$

$V_球=\frac{4}{3}\pi r^3$

$S_球=4\pi r^2$