P4727 [HNOI2009] 图的同构计数 题目背景 当学生们遇到某个难题时经常会说“这怎么做，这不是 NP 问题吗？”、“这个只有搜了，这己经被证明是 NP 问题了”。但是，你应该清楚，大多数人此时所说的 NP 问题其实都是指 NPC 问题。很多人没有真正掌握 NP 问题和 NPC 问题这两个基本概念。其实 NP 问题并不是那种“只有搜才行”的问题，NPC 问题才是。 很久以前就有一个古老的传说：有―个著名的问题，即 P 是否等于 NP 的问题，传说中谁要是证明或者证伪了这个命题，他将获得幸福。这里 P 是指能在多项式时间里求解的问题的集合。而 NP 是指可在多项式时间里验证的问题的集合。显然 P 是 NP 的子集，因为能在多项式时间里求解的问题，必定可在多项式时间里验证。 到目前为止还没有人因这个命题得到幸福。但是，有一个总的趋势，也就是人们普遍认为，P=NPP=NPP=NP 不成立，即，多数人相信，至少存在一个不可能有多项式时间复杂度的求解算法的 NP 问题。人们如此坚信 P≠NPP \neq NPP=NP 是有原因的，因为在研究 NP 问题的过程中找出了一类非常特殊的 NP 问题叫做 NP-完全问题，也就是所谓的 NPC 问题。正是因为存在 NPC 问题，才使人们相信 P≠NPP \neq NPP=NP。 在提出 NPC 的概念之后，绝大多数“自然”的难题最后都被证明是 NPC 问题，只有三个例外，它们分别是： * 线性规划问题； * 图同构问题； * 素数判定问题与大数分解问题。 题目描述 小雪在了解到以上情况后，自认为直接挑战终极难题还有不少困难，于是决定先从简单的问题做起，具体来说，他对图同构问题产生了浓厚的兴趣。AAA 图与 BBB 图被认为是同构的是指：AAA 图的顶点经过一定的重新标号以后，AAA 图的顶点集和边集要完全与 BBB 图一一对应。 小雪现在专注于如何判断两个图是否同构，同时他还想知道两两互不同构的含 NNN 个点的图有多少种。众所周知含 NNN 个点的简单图最多有 N×(N−1)/2N\times(N-1)/2N×(N−1)/2 条边，这样含 NNN 个点的图有 2N×(N−1)/22^{N\times(N-1)/2}2N×(N−1)/2 种可能的情况。显然这些图中有很多图是同构的，小雪想知道的便是：若同构的图算成一种，则有多少种不同的图。他把这个任务丢给了你，在他想出来之前快点解决吧！ 输入格式 输入包含一个非负整数 NNN，表示图的顶点数，且 0≤N≤600 \leq N \leq 600≤N≤60。 输出格式 输出包含一个整数，表示含 NNN 个点的图在同构意义下不同构的图的数目。因为答案可能很大，所以输出的最终答案是  mod  997\bmod ~ 997mod 997 的结果（997997997 是一个素数）。 输入输出样例 #1 输入 #1 输出 #1 输入输出样例 #2 输入 #2 输出 #2 输入输出样例 #3 输入 #3 输出 #3 输入输出样例 #4 输入 #4 输出 #4 输入输出样例 #5 输入 #5 输出 #5 说明/提示 对于 40%40 \%40% 的数据，N≤20N \le 20N≤20。 对于 100%100 \%100% 的数据，0≤N≤600 \le N \le 600≤N≤60。

P5423 [USACO19OPEN] VALLEYS P 题目描述 Bessie 喜欢观光，而今天她正在寻找景色优美的山谷。 她感兴趣的是一个 $ N \times N $ 的方阵，其中每个格子都有一个高度。所有在此正方形方阵之外的格子的高度可以被看作是无限大。 山谷指的是一块连续、不含洞的一块区域，并且每个相邻的包围该区域的格子都高于这块区域中的所有格子。 更形式化地说： * 一组格子被称作是“沿边相邻的”，如果可以从其中任意一个格子出发，经过一些沿上、下、左、右方向的移动，到达其中所有其他格子。 * 一组格子被称作是“沿点相邻的”，如果可以从其中任意一个格子出发，经过一些沿上、下、左、右、对角线方向的移动，到达其中所有其他格子。 * 一个“区域”指的是一组非空并且沿边相邻的格子。 * 一个区域被称作是“有洞的”，如果这个区域的补集（包括在 $ N \times N $ 方阵之外的无限高格子）不是沿点相邻的。 * 区域的“边界”指的是所有与该区域内的某个格子正交相邻（上、下、左、右），但本身不在该区域内的格子。 * 一个“山谷”指的是某个非有洞区域，满足区域内的任意格子的高度低于该区域边界上任意格子的高度。 Bessie 的目标是求出所有山谷的大小之和。 一些例子 这是一个区域： 这不是一个区域（中间的格子和右下角的格子不沿边相邻）： 这是一个非有洞区域： 这是一个有洞的区域（“甜甜圈”中间的格子与区域外的格子不沿点相邻）： 这是另一个非有洞区域（中间的格子与右下角的格子沿点相邻）： 输入格式 输入的第一行包含 $ N $ ，其中 $ 1 \leq N \leq 750 $ 。 以下 $ N $ 行每行包含 $ N $ 个整数，为方阵每个格子的高度。所有高度 $ h $ 满足 $ 1 \leq h \leq 10^6 $ 。所有高度均为不同的整数。 输出格式 输出一个整数，为所有山谷的大小之和。 输入输出样例 #1 输入 #1 输出 #1 说明/提示 在这个例子中，有三个大小为1的山谷： 一个大小为2的山谷： 一个大小为3的山谷： 一个大小为6的山谷： 一个大小为7的山谷： 以及一个大小为9的山谷： 所以，答案为1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 6 + 7 + 9 = 30。 子任务 对于至少19%的测试数据， $ N \leq 100 $ 。

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f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2(x−a)2+f′′′(a)6(x−a)3+⋯+f(k)(a)k!(x−a)k如用泰勒级数求ex：∵exp′(x)=exp(x)a=0，则：∴exp(x)=exp(0)+x⋅exp(0)+exp(0)2x2+⋯根据x0=1，所以：exp(x)=1+x+x22!+x33!+x44!+⋯f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{6}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\\ 如用泰勒级数求e^x：\\ \because exp'(x)=exp(x)\\ a=0，则：\\ \therefore exp(x)=exp(0)+x\cdot exp(0)+\frac{exp(0)}{2}x^2+\cdots\\ 根据x^0=1，所以：\\ exp(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\\ f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2f′′(a) (x−a)2+6f′′′(a) (x−a)3+⋯+k!f(k)(a) (x−a)k如用泰勒级数求ex：∵exp′(x)=exp(x)a=0，则：∴exp(x)=exp(0)+x⋅exp(0)+2exp(0) x2+⋯根据x0=1，所以：exp(x)=1+x+2!x2 +3!x3 +4!x4 +⋯

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