Knapsack problem
2023-08-20 11:42:31
发布于：广东
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背包问题（英语：Knapsack problem
是一种组合优化的NP完全问题。
问题可以描述为：给定一组物品，
每种物品都有自己的重量和价格，
在限定的总重量内，我们如何选择，
才能使得物品的总价格最高。
问题的名称来源于如何选择最合适的
物品放置于给定背包中，
背包的空间有限，
但我们需要最大化背包内所装物品的价值。
背包问题通常出现在资源分配中，
决策者必须分别从一组不可分割的项目或任务中进行选择，
而这些项目又有时间或预算的限制。
背包问题历史悠久，甚至可以追溯到1897年。
[1]“背包问题”一词最早出现于数学家
托拜厄斯·丹齐格的早期研究中，
[2]他研究的问题是如何打包行李，要求最大化所选行李的价值且不能超载。
应用
背包问题出现在现实世界很多领域的决策过程中，
诸如寻找节约原料的生产方式[3]、
选择投资项目及投资组合[4]、选择证券化的资产[5]
以及为默克尔-赫尔曼[6]和其他背包密码系统生成密钥。
背包问题的一个早期应用是
测验编制与测验赋分，
受测试者可以选择他们所需回答的问题。
举个例子，受测者需要回答12道题，
每道题10分，这时受测者只需要答对
10道题就能得到满分100分。
但是假如说每道题的赋分不同，问题的选择工作
将会变得比较困难。对此，费尔曼和魏斯构建了一个系统，
该系统分发给学生一张总分为125分且每道题
赋分不等的考卷，学生则去尽力回答所有的问题。
利用背包算法，可以算出每个学生可能获得的最高分数。[7]
1999年石溪大学算法库的一项研究表明，
在75个算法问题中，背包问题在最受欢迎的问题中排名第19，在最常用的问题中排名第三，
仅次于后缀树和集装优化问题。[8]
定义
我们有n种物品，物品j的重量为wj，
价格为pj。我们假定所有物品的重量和价格
都是非负的。背包所能承受的最大重量为W。
如果限定每种物品只能选择0个或1个，
则问题称为0-1背包问题。
题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
把0-1背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，
表示第 i 个物品选或不选），Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积（重量）；
b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；
c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；
d) 定义V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值；
基本思路
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。
则其状态转移方程便是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。
所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，
若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。
如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，
价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“
前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是
f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)（）其中时间复杂度基本已经不能再优化了，
但空间复杂度却可以优化到O(V)。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，
每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。
由于我们在计算f[i][v]时要用到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]],
因此要保证合适的计算顺序。
如果只用一个数组f[0..V]，如何保证第i次循环结束后f[v]中
表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？
事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序（逆序）推f[v]，
这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};//f[v]初始值为？
这段程序中，i从小往大递增，对应的分f[v]其实隐式的具有i这一轮次信息，
即第i 轮迭代完成后f[v]就是之前的f[i][v]。
其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。
如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，
与本题意不符，
事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，
所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。
过程ZeroOnePack，表示处理一件01背包中的物品，两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。
procedure ZeroOnePack(cost,weight)
ZeroOnePack(c[i],w[i]);
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V..0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了，避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了，就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态f[0..cost-1]，这是显然的，因为装不进去。
有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：
for i=1..N
ZeroOnePack(c[i],w[i]);
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