一道题

Zzzzzzsr（不处）

2026-06-15 20:46:04

发布于：广东

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初一数学期末测试题

我们知道，开方运算可以写成乘方形式，即对于 $a \geq 0$ ， $n \neq 0$ ，有 $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ 。

一、简单运算

已知等式 $\sqrt[4]{5} = Q^{\frac{1}{4}}$ ，请求出 $Q$ 的立方根的相反数_______________。

二、进阶证明

求证：对于 $a \ge 0$ ， $n > 0$ ，有

$\sqrt[n]{a} = \sqrt[\sqrt n]{\sqrt[\sqrt n]{a}}$

三、综合应用

已知实数 $x, y, n$ 满足 $x \neq 0$ ， $y > 0$ ， $n > 0$ ，且

$\begin{cases} 3x + y = 5 - 4n \\[4pt] 2x + 5y = 10 - 6n \\[4pt] \sqrt[x]{2026} = \sqrt[-\sqrt{y}]{ \sqrt[\sqrt{\frac{1}{n}} \cdot \sqrt{\sqrt y}]{ \sqrt[\sqrt{n} \cdot \sqrt{\sqrt y}]{2026} } } \end{cases}$

求 $x, y, n$ 的值。

参考答案

一、

$Q = 5$ ， $Q$ 的立方根为 $\sqrt[3]{5}$ ，相反数为 $-\sqrt[3]{5}$ 。

二、

由根式与指数互化：

$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$

$\sqrt[\sqrt n]{\sqrt[\sqrt n]{a}} = \bigl(a^{1/\sqrt n}\bigr)^{1/\sqrt n} = a^{1/(\sqrt n \cdot \sqrt n)} = a^{1/n}$

因此 $\sqrt[n]{a} = \sqrt[\sqrt n]{\sqrt[\sqrt n]{a}}$ 成立。

三、

由根式方程化简得 $x + y = 0$ ，即 $y = -x$ 。

代入前两个方程：

$\begin{cases} 3x + (-x) = 5 - 4n \\[4pt] 2x + 5(-x) = 10 - 6n \end{cases} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 2x = 5 - 4n \\[4pt] -3x = 10 - 6n \end{cases}$

由第一式得 $n = \dfrac{5 - 2x}{4}$ ，代入第二式：

$-3x = 10 - 6 \cdot \frac{5 - 2x}{4} = 10 - \frac{30 - 12x}{4} = 10 - 7.5 + 3x = 2.5 + 3x$

$-6x = 2.5 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{5}{12}$

$y = -x = \frac{5}{12},\qquad n = \frac{5 - 2(-\frac{5}{12})}{4} = \frac{5 + \frac{5}{6}}{4} = \frac{\frac{35}{6}}{4} = \frac{35}{24}$

因此 $x = -\dfrac{5}{12},\; y = \dfrac{5}{12},\; n = \dfrac{35}{24}$ 。

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全部评论 6

XRiaB
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和AI什么而来

2026-06-15 来自广东
0
- cjdst
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  XRiaB
  羡慕AI
  
  2026-06-15 来自广东
  0
- Khalil
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  XRiaB
  笑炸了
  
  2026-06-15 来自广东
  0
Zzzzzzsr（不处）
本人只有一个 $\sqrt[n]{a}=\sqrt[\sqrt n]{\sqrt[\sqrt n]{a}}$ 的锥形，剩下内容除了前两个方程，均为我和AI大吵得来。

2026-06-15 来自广东
1
朼訷༺ཌༀ༒ད--
. . . . . .

2026-06-16 来自浙江
0
Zzzzzzsr（不处）
d

2026-06-16 来自广东
0
Khalil
这期意义在哪

2026-06-15 来自广东
0
cjdst
没有人类了

2026-06-15 来自广东
0