关于轮换式的一些思考
2025-09-12 20:32:59
发布于：江苏
纯属娱乐，闲暇时为了打发时间乱推的东西，姑且记下，说不定有用
近来发现一个好玩的东西——轮换式。
例如：
- a + b
- a2 + b2
- ab + bc + ac
它们都是轮换式。简单来说，就是把式中的字母互相交换，式子不变，就叫轮换式。
然后我就随便挑了两个，看能推出什么。
以 a + b 和 a2 + b2 为例，设 a + b = m，a2 + b2 = n，显然 m2 = a2 + 2ab + b2，那么 2ab = m2 - n，( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 = 2n - m2，不满足于二次，那就把两式相乘，得 a3 + a2b + b2a + b3 = mn，观察中间两项，可以分解为 ab ( a + b )，恰好两项我们都知道，即 a3 + b3 = ( 3mn - m3 ) / 2，同理，我们还可以推出四次方和、五次方和等等。你可能会说，只有二元，我连 ( a, b ) 都可以解出来，那好，来看看三元。
还是从基础的一次项和二次项入手，设 a + b + c = m，a2 + b2 + c2 = n，模仿上面的套路，m2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac，因此 2ab + 2bc + 2ac = m2 - n，从这里开始可以延伸出两条路：
- 向高次进发，得 a3 + b3 + c3 + ab2 + a2b + bc2 + b2c + ac2 + a2c = mn，将余项分解，得 ab2 + a2b + bc2 + b2c + ac2 + a2c = ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ac ( a + c )，可其中并没有我们熟知的 a + b + c，那我们就凑出一个，得 ( a + b + c ) ( ab + bc + ac ) - 3abc = ( m3 - mn ) / 2 - 3abc，显然 3abc 我们是求不出来的，那就把它移回去，得 a3 + b3 + c3 - 3abc = ( 3mn - m3 ) / 2，再用这个式子去推导更高次。
- 发现 m2 + n 得 2a2 + 2b2 + 2c2 + 2ab + 2bc + 2ac = ( a + b )2 + ( b + c )2 + ( a + c )2，同理，将加号改成减号，( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c )2 = m2 + n - 2m2 + 2n = 3n - m2
现在，将两条路的结果放在一起：
- a3 + b3 + c3 - 3abc = ( 3mn - m3 ) / 2
- ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c )2 = 3n - m2
发现什么了吗？
没错，一式 = m / 2 * 二式，即 a3 + b3 + c3 - 3abc = ( a + b + c ) [ ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c )2 ] / 2，这个因式分解可是欧拉曾经推导过的呢！除此之外，观察这个式子，可得或 a + b + c = 0，或 ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c )2 = 0，这个式子才会等于零，再观察第二个式子的三项，每项都是平方，大于等于零，因此每项都得零，即 a = b = c，这样我们就有一个推论了：
- 若 a3 + b3 + c3 - 3abc = 0，则或 a + b + c = 0，或 a = b = c
虽然看起来没啥用，但你不觉得推导的过程极有趣吗？真是酣畅淋漓啊！
The End
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