小广告
2025-07-28 14:45:07
发布于：上海
#创作计划# 数学中的“拆解艺术”
userId_undefined
忘川秋库
出道萌新小有名气题解仙人传道者荣耀黄金时空双修者
2025-07-27 08:34:29
发布于：浙江
1694
阅读
274
回复
59
点赞
感谢AC君，让帖子的a不被*
此帖建议有一定整式的加减乘除基础者阅读（即5年级以上）（整式运算帖子，这也是精华帖）
根式运算
二次方程
（赞赞跟上）
附1
支线故事的起因是这样的（你们往下翻评论还能看到）
7/11 上午11点左右写：
左括号已经解出来是二项式定理标准形式（上面的公式表格里提到过），结果为
(
a
−
b
)
2025
(a−b)
2025
，右括号看是我先想出来还是先有高人指点（作者只是个6升7的小初生）
7/11 下午15点半左右写：
好好好已经解出来了，根本不需要高人指点好吧 （特别鸣谢：湖北明心数学6升7B班讲师董老师）
过程大概如下
解：
左括号
∑
i
0
2025
(
2025
i
)
(
−
1
)
i
a
2025
−
i
b
i
(
a
−
b
)
2025
=∑
i=0
2025
(
i
2025
)(−1)
i
a
2025−i
b
i
=(a−b)
2025
（一眼二项式定理）
右括号有点麻烦，因为@不会C++的noah说不要
(
−
1
)
j
(−1)
j
，但我感觉要还简单一点怎么回事
第一步，先不管连成符号
Π
Π，优先计算每一个对于
Π
Π来说的
i
i，
∑
j
0
2
i
(
2
i
j
)
a
2
i
−
j
b
j
(
a
+
b
)
2
i
∑
j=0
2
i
(
j
2
i
)a
2
i
−j
b
j
=(a+b)
2
i
第二步，把连城符号
Π
Π乘进来，得到
∏
i
0
2025
(
a
+
b
)
2
i
(
a
+
b
)
∑
i
0
2025
2
i
∏
i=0
2025
(a+b)
2
i
=(a+b)
∑
i=0
2025
2
i
那接下来将会是一场酣畅淋漓的公比为二等比数列求和（在那个右括号指数上），指数为
1
+
2
+
4
+
8
+
.
.
.
+
2
2025
1+2+4+8+...+2
2025
， 有五年级文凭的人应该都知道是
2
2026
−
1
2
2026
−1
那最后一步自然就是写成因式分解形式，即左右括号乘积
(
a
−
b
)
2025
(
a
+
b
)
2
2026
−
1
(a−b)
2025
(a+b)
2
2026
−1
作者武汉滴
未更完，上次更新时间2025/7/10下午
引言：
数学历史：古希腊数学家丢番图在《算术》中首次提出因式分解思想
核心概念：用乘法逆向思维简化复杂多项式（在分式计算中会作为工具性的东西经常使用）
现实意义：密码学、工程优化、计算机算法等领域的基础工具
作者OS
：看到人教八年级课本上没讲很细致，再来讲一讲吧，反正闲着也是闲着。
注意：作者只是个6~7的蒟蒻，只是在湖北明心学因式分解板块快学吐了，于是破大防，写下文章
作者再次OS：这个题不会做但是依然有感而发而写下全文
第一章 因式分解基础
1.1 基本定义与原理
数学定义（这个作者查阅了一下资料）：因式分解（Factorization）是代数学中的一种基本运算，指将一个多项式（或整数）表示为若干个因式（因子）的乘积形式。其核心思想是“拆解”——将复杂的表达式转化为更简单的组成部分的乘积，从而便于进一步的计算、求解或分析。
例1：
因式分解过程：
x
2
−
x
−
6
→
(
x
+
2
)
(
x
−
3
)
x
2
−x−6→(x+2)(x−3)
整式乘法过程：
(
x
+
2
)
(
x
−
3
)
→
x
2
−
x
−
6
(x+2)(x−3)→x
2
−x−6
即两种运算互为逆运算看到没有，一定不能搞混两种概念，否则一分拿不到。
1.2 因式分解的方法
因式分解方法 举例
提公因式法
a
b
−
a
c
a
(
b
−
c
)
ab−ac=a(b−c)
公式法
1
1 即完全平方公式
a
2
±
2
a
b
+
b
2
(
a
±
b
)
2
a
2
±2ab+b
2
=(a±b)
2
公式法
2
2 即平方差公式
a
2
−
b
2
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
a
2
−b
2
=(a+b)(a−b)
公式法
3
3 即立方差公式
a
3
−
b
3
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
a
3
−b
3
=(a−b)(a
2
+ab+b
2
)
公式法
4
4 即立方和公式
a
3
+
b
3
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
−ab+b
2
)
公式法
5
5 即三项和的平方公式
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
+
2
a
c
+
2
b
c
(
a
+
b
+
c
)
2
a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)
2
公式法
6
6 即完全立方和公式
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
(
a
+
b
)
3
a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3
=(a+b)
3
公式法
7
7 即完全立方差公式
a
3
−
3
a
2
b
+
3
a
b
2
−
b
3
(
a
−
b
)
3
a
3
−3a
2
b+3ab
2
−b
3
=(a−b)
3
十字相乘法
x
2
+
5
x
+
6
(
x
+
2
)
(
x
+
3
)
x
2
+5x+6=(x+2)(x+3)
拓展知识：二项式定理 计算
(
a
+
b
)
4
,
(
a
+
b
)
5
(a+b)
4
,(a+b)
5
观察各项系数，再把正号换成负号，重新计算
拓展公式如果你一直往下算你会发现系数呈杨辉三角，把正号换成负号后你会发现奇数项前符号为+，偶数项前符号为-
不会有人来抄公式吧
注意※：
立方和差公式中，前-后+，前+后-
立方和差公式中，没有二倍项
完全立方差中，系数符号为+-+-...
三项完全平方和中如有负号,如
(
a
+
b
−
c
)
2
(a+b−c)
2
情况，请注意符号的变化
第二章：提公因式法
2.1公因式的定义及找到两单项式之公因式之方法
公因式的定义：
找到一个单项式
P
P ，使
P
P 能被单项式
A
A 和单项式
B
B 所除尽（即没有余式），则称
P
P为
A
A 和
B
B 的公因式。
找到两个或多个单项式的公因式的方法
例2： 找到
−
12
a
2
b
13
c
−12a
2
b
13
c 与
15
a
b
5
c
12
15ab
5
c
12
的公因式
解：
1.找
P
P 的系数：两单项式之系数之最大公约数，即
3
3，不考虑负号。
2. 确定每一个字母的次数
(1)字母
a
a 的次数：单项式
A
A 中
a
a 的次数为
2
2 ，单项式
B
B 中
a
a 的次数为
1
1 ，取次数之较小值，所以
P
P 中
a
a 的次数取
1
1。
(2)字母b的次数：单项式
A
A 中
b
b 的次数为
13
13 ，单项式
B
B 中
b
b 的次数为
5
5，取次数之较小值，即
5
5 ，所以
P
P 中
b
b 的次数为
5
5 。
(...)以此类推
3.写下
P
P ：
3
a
b
5
c
3ab
5
c
着重注意※：如题目给出的是一个多项式，且该多项式首项带负号，则在找公因式时通常保留负号
例3： 找到多项式
−
12
a
2
b
13
c
+
15
a
b
5
c
12
−12a
2
b
13
c+15ab
5
c
12
的公因式
此时
P
P 为
−
3
a
b
5
c
−3ab
5
c。
提公因式方法
例4：
−
12
a
2
b
13
c
+
15
a
b
5
c
12
−12a
2
b
13
c+15ab
5
c
12
1.找到公因式
−
3
a
b
5
c
−3ab
5
c
2.用该多项式的每一项除以对应公因式
−
3
a
b
5
c
−3ab
5
c
(1)
−
12
a
2
b
13
c
−
3
a
b
5
c
4
a
b
8
−3ab
5
c
−12a
2
b
13
c
=4ab
8
(2)
15
a
b
5
c
12
−
3
a
b
5
c
−
5
c
11
−3ab
5
c
15ab
5
c
12
=−5c
11
3.将得到的两个单项式相加并乘上公因式
得到：
−
3
a
b
5
c
(
4
a
b
8
−
5
c
11
)
−3ab
5
c(4ab
8
−5c
11
)，即题目答案
章节笔记：
作者再次再次OS： 看到上面的水印没有，别想拿走
第三章：公式法在因式分解中的应用
3.1平方差公式在因式分解中的应用
例5： 分解因式
a
2
−
b
2
a
2
−b
2
解：原式=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(a+b)(a−b)
是不是很简单，直接套公式，那我们再来一题
例6： 分解因式
a
4
−
b
4
a
4
−b
4
解：原式=
(
a
2
)
2
−
(
b
2
)
2
(a
2
)
2
−(b
2
)
2
=
(
a
2
+
b
2
)
(
a
2
−
b
2
)
=(a
2
+b
2
)(a
2
−b
2
)注意※： 第二个因式分解不彻底
(
a
2
+
b
2
)
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=(a
2
+b
2
)(a+b)(a−b)
3.2完全平方公式在因式分解中的应用
例7： 分解因式
a
2
−
2
a
b
+
b
2
a
2
−2ab+b
2
解：原式=
(
a
−
b
)
2
(a−b)
2
很简单对吧，那就再来一题
例8： 因式分解
a
4
−
2
a
2
b
2
+
b
4
a
4
−2a
2
b
2
+b
4
阁下如何应对？？？
妙计：解：原式=
(
a
2
−
b
2
)
2
(a
2
−b
2
)
2
注意※： 因式分解不彻底
[
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
]
2
=[(a+b)(a−b)]
2
注意※： 因式分解结果不应带中括号(或大括号)
(
a
+
b
)
2
(
a
−
b
)
2
=(a+b)
2
(a−b)
2
此步骤理由※： 积的乘方，指数分配到每一个因数（或因式）中
3.3立方公式在因式分解中的应用
例9： 因式分解
a
3
−
b
3
a
3
−b
3
这道题确实很简单，所以给大家判断
4
4 种解法
解1：原式=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
2
a
b
+
b
2
)
(a+b)(a
2
−2ab+b
2
)
解2：原式=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
2
a
b
+
b
2
)
(a−b)(a
2
+2ab+b
2
)
解3：原式=
(
a
−
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
(a−b)(a
2
−ab+b
2
)
解4：原式=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
(a−b)(a
2
+ab+b
2
)
那么，请各位判断哪一个正确。
很明显只有解4正确，错误原因分析
解1：前-后+，没有2倍项
解2：没有二倍项
解3：前-后+
解4：正确
这里作者平常这样记：前面因式中的符号是原式的符号，后面括号的中间项的符号，和原式符号相反，但是这句话课本上没有，所以知道就好：前括号是符号位，后括号中间项相反符号位
因为这里例题没有立方和公式，所以大家就自己悟吧，后面的混合分解会有
例10： 分解因式
a
6
−
b
6
a
6
−b
6
这里给大家看两种正确解法
解1：原式
(
a
2
)
3
−
(
b
2
)
3
=(a
2
)
3
−(b
2
)
3
=
(
a
2
−
b
2
)
(
a
4
+
a
2
b
2
+
b
4
)
=(a
2
−b
2
)(a
4
+a
2
b
2
+b
4
)
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
4
+
a
2
b
2
+
b
4
)
=(a+b)(a−b)(a
4
+a
2
b
2
+b
4
)这就是不建议大家用方法1的原因，因为很多同学在这里误以为第
3
3 个因式不可分解，实际可用配方法分解
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
4
+
2
a
2
b
2
+
b
4
−
a
2
b
2
)
=(a+b)(a−b)(a
4
+2a
2
b
2
+b
4
−a
2
b
2
)
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
[
(
a
2
+
b
2
)
2
−
(
a
b
)
2
]
=(a+b)(a−b)[(a
2
+b
2
)
2
−(ab)
2
]平方差
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
2
+
b
2
−
a
b
)
(
a
2
+
b
2
+
a
b
)
=(a+b)(a−b)(a
2
+b
2
−ab)(a
2
+b
2
+ab)虽然分解到这里结果正确，但是通常还会往下写一步
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
=(a+b)(a−b)(a
2
−ab+b
2
)(a
2
+ab+b
2
)
解2：原式
(
a
3
)
2
−
(
b
3
)
2
=(a
3
)
2
−(b
3
)
2
=
(
a
3
+
b
3
)
(
a
3
−
b
3
)
=(a
3
+b
3
)(a
3
−b
3
)局势明了，进一步分解
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
=(a+b)(a
2
−ab+b
2
)(a−b)(a
2
+ab+b
2
)很轻松得到四个因式
此题结论：在同时可以用立方公式和平方公式时，一定优先用平方公式，否则很有可能分出来最后只有
3
3 个因式，想不到用配方法
3.4完全立方公式在因式分解中的应用
例11： 因式分解：
a
3
−
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
7
b
3
a
3
−3a
2
b+3ab
2
+7b
3
这道题有天坑（作者的作业这其实是到选择题，问一下哪一项不能因式分解，作者觉得选C（就是这个题），结果错了）
圆规正转：这道题应该用配方法解题
解：原式
a
3
−
3
a
2
b
+
3
a
b
2
−
b
3
+
8
b
3
=a
3
−3a
2
b+3ab
2
−b
3
+8b
3
=
(
a
−
b
)
3
+
(
2
b
)
3
=(a−b)
3
+(2b)
3
=
(
a
−
b
+
2
b
)
[
(
a
+
b
)
2
−
2
b
(
a
−
b
)
+
4
b
2
]
=(a−b+2b)[(a+b)
2
−2b(a−b)+4b
2
]
(
a
2
−
4
a
b
+
7
b
2
)
(
a
+
b
)
=(a
2
−4ab+7b
2
)(a+b)
章节笔记
至此，公式法告一段落（后续会补充更多例题)，进入因式分解重难点板块，十字相乘法
第四章：十字相乘在因式分解里的运用
4.1 基本原理
十字相乘总归原理就是根据公式
(
x
+
a
)
(
x
+
b
)
x
2
+
(
a
+
b
)
x
+
a
b
(x+a)(x+b)=x
2
+(a+b)x+ab 这一公式的草稿过程（类似竖式计算对于横式的关系）
4.2 基础例题
例很多： 因式分解：
x
2
+
5
x
+
6
x
2
+5x+6
思：找到一组数，乘积为
+
6
+6。和为
+
5
+5注意一定要带符号
因式分解过程如下图：结果为
(
x
+
2
)
(
x
+
3
)
(x+2)(x+3)
例很多+1：因式分解
x
2
−
5
x
+
6
x
2
−5x+6
思：找到一组数，乘积为
+
6
+6，和为
−
5
−5
结果为
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
(x−2)(x−3)
例很多+2：因式分解
x
2
−
5
x
−
6
x
2
−5x−6
思：找到一组数，乘积为
−
6
−6，和为
−
5
−5
结果为
(
x
−
6
)
(
x
+
1
)
(x−6)(x+1)
【练一练】
现在有一块资本的蛋糕，你动了它，你很怕被资本做局，于是想因式分解这块蛋糕的面积，这块蛋糕的面积是
(
x
+
4
)
(
x
−
9
)
+
180
(x+4)(x−9)+180，为了你不被资本做局，分解他
未更完，预计下次更新：2025/8/16晚
小广告来咯
这里空空如也
有帮助，赞一个