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这个帖子适合有一点整式运算的基础的人来看，有点难。这个 \color{green}{这个} 这个
1.一元二次方程的概念
有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的方程叫一元二次方程，简单吧。注意：0 x 2 + x − 1 = 0 0x^2+x-1=0 0 x 2 + x − 1 = 0 ( 1 ) . x 2 + 2 x = 0 (1).x^2+2x=0 ( 1 ) . x 2 + 2 x = 0 ( 2 ) . ( 1 x ) 2 + x = 0 (2).(\frac{1}{x})^2+x=0 ( 2 ) . ( x 1 ) 2 + x = 0 ( 3 ) . x + y 2 = 0 (3).x+y^2=0 ( 3 ) . x + y 2 = 0 ( 4 ) . 114514 x 2 + 1919810 x = 1145141919810 (4).114514x^2+1919810x=1145141919810 ( 4 ) .114514 x 2 + 1919810 x = 1145141919810 ( 5 ) . 731 x 2 − 365 x − 114514 = 0 (5).731x^2-365x-114514=0 ( 5 ) .731 x 2 − 365 x − 114514 = 0 ( 1 ) (1) ( 1 ) ( 4 ) (4) ( 4 ) ( 5 ) (5) ( 5 ) ( 2 ) (2) ( 2 ) ( 3 ) (3) ( 3 )
2.一元二次方程的解法
先来一些简单的：x 2 − 4 = 0 x^2-4=0 x 2 − 4 = 0 x 2 = 4 x^2=4 x 2 = 4 x = ± 2 x=±2 x = ± 2 x 2 − 13 = 3 x x^2-13=3x x 2 − 13 = 3 x ( x − 1 ) 2 + 2 x = 2 (x-1)^2+2x=2 ( x − 1 ) 2 + 2 x = 2 x 2 + 2 x + 1 = 0 x^2+2x+1=0 x 2 + 2 x + 1 = 0 ( x + 1 ) 2 = 0 (x+1)^2=0 ( x + 1 ) 2 = 0 x + 1 = 0 x+1=0 x + 1 = 0 x = − 1 x=-1 x = − 1 x 2 − 5 x + 6 = 0 x^2-5x+6=0 x 2 − 5 x + 6 = 0 ( x − 2 ) ( x − 3 ) = 0 (x-2)(x-3)=0 ( x − 2 ) ( x − 3 ) = 0 x 1 = 2 x_1=2 x 1 = 2 x 2 = 3 x_2=3 x 2 = 3 一会就是亿点亿点地上来了 。x 2 − 10 + 24 = 0 x^2-10+24=0 x 2 − 10 + 24 = 0 3 x 2 + 3 ( 2 x + 1 ) = 0 3x^2+3(2x+1)=0 3 x 2 + 3 ( 2 x + 1 ) = 0 x 2 = x + 1 x^2=x+1 x 2 = x + 1
a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^2+bx+c=0\quad(a\neq0)
a x 2 + b x + c = 0 ( a = 0 )
它的根为：
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x = 2 a − b ± b 2 − 4 a c
比如对于刚刚那个方程 x 2 = x + 1 x^2=x+1 x 2 = x + 1 x 2 − x − 1 = 0 x^2-x-1=0 x 2 − x − 1 = 0 a = 1 a=1 a = 1 b = − 1 b=-1 b = − 1 c = − 1 c=-1 c = − 1
x = − ( − 1 ) ± ( − 1 ) 2 − 4 × 1 ( − 1 ) 2 × 1 = 5 ± 1 2 x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4×1(-1)}}{2×1}=\frac{\sqrt{5}±1}{2}
x = 2 × 1 − ( − 1 ) ± ( − 1 ) 2 − 4 × 1 ( − 1 ) = 2 5 ± 1
也是非常简单这里，我们称 b 2 − 4 a c b^2-4ac b 2 − 4 a c Δ Δ Δ “ d e l t a ” “delta” “ d e lt a ” Δ > 0 Δ>0 Δ > 0 Δ = 0 Δ=0 Δ = 0 ( 注意，此时要写 x 1 = x 2 = . . . ) \color{red}{(注意，此时要写 x_1=x_2=...)} ( 注意，此时要写 x 1 = x 2 = ... ) Δ < 0 Δ<0 Δ < 0 a x 2 + b x + c ax^2+bx+c a x 2 + b x + c 我也不会 。结果是 a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) a(x-x_1)(x-x_2) a ( x − x 1 ) ( x − x 2 )
x 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a x 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x 1 = 2 a − b + b 2 − 4 a c x 2 = 2 a − b − b 2 − 4 a c
分解结果：
x 2 + x − 1 = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = ( x + 1 − 5 2 ) ( x + 1 + 5 2 ) x^2+x-1=(x-x_1)(x-x_2)=(x+\frac{1-\sqrt{5}}{2})(x+\frac{1+\sqrt{5}}{2})
x 2 + x − 1 = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = ( x + 2 1 − 5 ) ( x + 2 1 + 5 )
例题：x 2 − 2 x − 1 x^2-2x-1 x 2 − 2 x − 1 7 x 2 − 3 x − 1 7x^2-3x-1 7 x 2 − 3 x − 1 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2=-\frac{b}{a} x 1 + x 2 = − a b x 1 x 2 = c a x_1x_2=\frac{c}{a} x 1 x 2 = a c
韦达定理的应用：
创造一个一元二次方程，令其两根之和为 5 5 5 7 7 7 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 a = 1 a=1 a = 1 − b 1 = 5 -\frac{b}{1}=5 − 1 b = 5 c 1 = 7 \frac{c}{1}=7 1 c = 7 b = − 5 , c = 7 b=-5,c=7 b = − 5 , c = 7 x 2 − 5 x + 7 x^2-5x+7 x 2 − 5 x + 7 12 x 4 + 56 x 3 + 89 x 2 + 56 x + 12 = 0 12x^4+56x^3+89x^2+56x+12=0 12 x 4 + 56 x 3 + 89 x 2 + 56 x + 12 = 0
1.证明 x ≠ 0 x\neq0 x = 0
把 x = 0 x=0 x = 0 12 = 0 12=0 12 = 0 x ≠ 0 x\neq0 x = 0 x 2 ≠ 0 x^2\neq0 x 2 = 0
2.化简方程
等式两遍同时除以 x 2 x^2 x 2
12 x 2 + 56 x + 89 + 56 1 x + 12 ( 1 x ) 2 = 0 12x^2+56x+89+56\frac{1}{x}+12(\frac{1}{x})^2=0
12 x 2 + 56 x + 89 + 56 x 1 + 12 ( x 1 ) 2 = 0
3.创造同类项
提取公因数：
12 [ x 2 + ( 1 x ) 2 ] + 56 ( x + 1 x ) + 89 = 0 12[x^2+(\frac{1}{x})^2]+56(x+\frac{1}{x})+89=0
12 [ x 2 + ( x 1 ) 2 ] + 56 ( x + x 1 ) + 89 = 0
观察 12 [ x 2 + ( 1 x ) 2 ] 12[x^2+(\frac{1}{x})^2] 12 [ x 2 + ( x 1 ) 2 ]
12 [ x 2 + 2 + ( 1 x ) 2 ] − 24 12[x^2+2+(\frac{1}{x})^2]-24
12 [ x 2 + 2 + ( x 1 ) 2 ] − 24
将 12 [ x 2 + 2 + ( 1 x ) 2 ] 12[x^2+2+(\frac{1}{x})^2] 12 [ x 2 + 2 + ( x 1 ) 2 ]
12 [ x 2 + 2 + ( 1 x ) 2 ] = 12 ( x + 1 x ) 2 12[x^2+2+(\frac{1}{x})^2]=12(x+\frac{1}{x})^2
12 [ x 2 + 2 + ( x 1 ) 2 ] = 12 ( x + x 1 ) 2
代入，得
12 ( x + 1 x ) 2 − 24 + 56 ( x + 1 x ) + 89 = 0 12(x+\frac{1}{x})^2-24+56(x+\frac{1}{x})+89=0
12 ( x + x 1 ) 2 − 24 + 56 ( x + x 1 ) + 89 = 0
化简，得
12 ( x + 1 x ) 2 + 56 ( x + 1 x ) + 65 = 0 12(x+\frac{1}{x})^2+56(x+\frac{1}{x})+65=0
12 ( x + x 1 ) 2 + 56 ( x + x 1 ) + 65 = 0
4.换元
令 ( x + 1 x ) (x+\frac{1}{x}) ( x + x 1 ) y y y
12 y 2 + 56 y + 65 = 0 12y^2+56y+65=0
12 y 2 + 56 y + 65 = 0
因式分解，得
( 6 y + 13 ) ( 2 y + 5 ) = 0 (6y+13)(2y+5)=0
( 6 y + 13 ) ( 2 y + 5 ) = 0
,
y 1 = − 13 6 , y 2 = − 5 2 y_1=-\frac{13}{6},y_2=-\frac{5}{2}
y 1 = − 6 13 , y 2 = − 2 5
5. y y y x x x
把 y 1 = − 13 6 , y 2 = − 5 2 y_1=-\frac{13}{6},y_2=-\frac{5}{2} y 1 = − 6 13 , y 2 = − 2 5 y = x + 1 x y=x+\frac{1}{x} y = x + x 1
x + 1 x = − 13 6 x+\frac{1}{x}=-\frac{13}{6}
x + x 1 = − 6 13
,
x + 1 x = − 5 2 x+\frac{1}{x}=-\frac{5}{2}
x + x 1 = − 2 5
移项，化简，得
2 x 2 + 5 x + 2 = 0 2x^2+5x+2=0
2 x 2 + 5 x + 2 = 0
,
6 x 2 + 13 x + 6 = 0 6x^2+13x+6=0
6 x 2 + 13 x + 6 = 0
6.求根
因式分解，得
( x + 2 ) ( 2 x + 1 ) = 0 (x+2)(2x+1)=0
( x + 2 ) ( 2 x + 1 ) = 0
,
( 2 x + 3 ) ( 3 x + 2 ) = 0 (2x+3)(3x+2)=0
( 2 x + 3 ) ( 3 x + 2 ) = 0
所以答案为：
x 1 = − 2 , x 2 = − 1 2 , x 3 = − 3 2 , x 4 = − 2 3 x_1=-2,x_2=-\frac{1}{2},x_3=-\frac{3}{2},x_4=-\frac{2}{3}
x 1 = − 2 , x 2 = − 2 1 , x 3 = − 2 3 , x 4 = − 3 2
这不是分式方程，也不是无理方程，所以不用验增根（还是推荐大家验一下，毕竟验个根只用带入计算就行）
不等式：
1.一元二次不等式的概念
含有一个未知数，且未知数的最高次项是 2 2 2 不等式 叫叫一元二次不等式。x 2 − x − 5 < 0 x^2-x-5<0 x 2 − x − 5 < 0 114514 x 2 − 1919810 x − 1145141919810 ≥ 0 114514x^2-1919810x-1145141919810≥0 114514 x 2 − 1919810 x − 1145141919810 ≥ 0
2.一元二次不等式的解法
一般一元二次不等式有两种解法：
1.普普通通的因式分解
写这么小，说明很简单
2.比较难的二次函数
先来看第一种，因式分解 \tiny{因式分解} 因式分解
比如 a x 2 + b x + c < 0 ax^2+bx+c<0 a x 2 + b x + c < 0 Δ \Delta Δ
a x 2 + b x + c = a ( x − − b + b 2 − 4 a c 2 a ) ( x − − b − b 2 − 4 a c 2 a ) ax^2+bx+c=a\left(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \left(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)
a x 2 + b x + c = a ( x − 2 a − b + b 2 − 4 a c ) ( x − 2 a − b − b 2 − 4 a c )
不等式类型
a > 0 a>0 a > 0 a < 0 a<0 a < 0
( x − p ) ( x − q ) > 0 (x−p)(x−q)>0 ( x − p ) ( x − q ) > 0 x < p x<p x < p x > q x>q x > q p < x < q p<x<q p < x < q
( x − p ) ( x − q ) < 0 (x−p)(x−q)<0 ( x − p ) ( x − q ) < 0 p < x < q p<x<q p < x < q x < p x<p x < p x > q x>q x > q
此时,
p = − b + b 2 − 4 a c 2 a p=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
p = 2 a − b + b 2 − 4 a c
；
q = − b − b 2 − 4 a c 2 a q=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
q = 2 a − b − b 2 − 4 a c
表格里的内容怎么推就不说了......x 2 − 2 x + 1 > 0 x^2-2x+1>0 x 2 − 2 x + 1 > 0 x 2 − 5 x + 4 < 0 x^2-5x+4<0 x 2 − 5 x + 4 < 0 5 x 2 + 6 x − 5 ≥ 0 5x^2+6x-5≥0 5 x 2 + 6 x − 5 ≥ 0
再来看看比较难的二次函数
大家首先要认识二次函数，参考这个帖子
1.确定二次函数函数图像开口方向
对于二次不等式 a x 2 + b x + c ( > / ≥ / < / ≤ / ≠ ) 0 ) ax^2+bx+c(>/≥/</≤/≠)0) a x 2 + b x + c ( > / ≥ / < / ≤ / = ) 0 ) a > 0 a>0 a > 0 y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y = a x 2 + b x + c a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 a x 2 + b x + c ≠ 0 ax^2+bx+c≠0 a x 2 + b x + c = 0
x ≠ − b ± b 2 − 4 a c 2 a x≠\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x = 2 a − b ± b 2 − 4 a c
在抛物线开口朝上时，a x 2 + b x + c ＞ 0 ax^2+bx+c＞0 a x 2 + b x + c ＞ 0 x x x 上 的两点（即 y = 0 y=0 y = 0 x x x x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) x_1,x_2(x_1<x_2) x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) x < x 1 x<x_1 x < x 1 x > x 2 x>x_2 x > x 2 a x 2 + b x + c < 0 ax^2+bx+c<0 a x 2 + b x + c < 0 x x x 上 的两点（即 y = 0 y=0 y = 0 x x x x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) x_1,x_2(x_1<x_2) x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) x 1 < x < x 2 x_1<x<x_2 x 1 < x < x 2
在抛物线开口朝下时，a x 2 + b x + c ＞ 0 ax^2+bx+c＞0 a x 2 + b x + c ＞ 0 x x x 上 的两点（即 y = 0 y=0 y = 0 x x x x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) x_1,x_2(x_1<x_2) x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) x 1 < x < x 2 x_1<x<x_2 x 1 < x < x 2 a x 2 + b x + c < 0 ax^2+bx+c<0 a x 2 + b x + c < 0 x x x 上 的两点（即 y = 0 y=0 y = 0 x x x x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) x_1,x_2(x_1<x_2) x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) x < x 1 x<x_1 x < x 1 x > x 2 x>x_2 x > x 2
这已经是9年级的内容了，我还想写相似三角形的帖子(相似三角形物理会用，所以要着重写，但是ACGO貌似没有留给图形的markdown，所以我也不知道怎么办，AC君，你看看咋整）
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