数学中的开方之美

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忘川秋库

出道萌新小有名气时空双修者题解仙人传道者荣耀黄金

2025-07-28 20:11:53

发布于：浙江

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作者觉得简单化简以前的部分可能有点太简单了，所以直接从这里开始

CSP-J数学题专讲

1. 基本运算例题

例1：简单化简

化简 72\sqrt{72}

详细解答：

  1. 72=36×2\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} （将72分解为36×2，因为36是完全平方数）
  2. =36×2= \sqrt{36} \times \sqrt{2} （应用乘法法则ab=ab\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}）
  3. =62= 6\sqrt{2} （计算36=6\sqrt{36}=6，保留2\sqrt{2}）

例题2：带分数化简

化简 58\sqrt{\dfrac{5}{8}}

详细解答：

  1. 58=58\sqrt{\dfrac{5}{8}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}} （应用除法法则a/b=a/b\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}）
  2. =522= \dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} （化简8=22\sqrt{8}=2\sqrt{2}）
  3. =5×222×2= \dfrac{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} （分母有理化，分子分母同乘2\sqrt{2}）
  4. =104= \dfrac{\sqrt{10}}{4} （计算2×2=2\sqrt{2} \times \sqrt{2}=2）

这里需要说一句：最简二次根式定义是

  1. 被开方数中不含分母（即分母里不含根号）
  2. 被开方数不含平方数因子

2. 加减法例题

例3：同类项合并

计算 312−227+483\sqrt{12} - 2\sqrt{27} + \sqrt{48}

详细解答：

  1. 312=34×3=3×23=633\sqrt{12} = 3\sqrt{4 \times 3} = 3 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} （先化简12\sqrt{12}）
  2. 227=29×3=2×33=632\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \times 3} = 2 \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} （化简27\sqrt{27}）
  3. 48=16×3=43\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} （化简48\sqrt{48}）
  4. 原式 =63−63+43= 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 4\sqrt{3} （代入化简结果）
  5. =(6−6+4)3=43= (6-6+4)\sqrt{3} = 4\sqrt{3} （合并同类项）

3. 乘除法例题

例4：多项式乘法

计算 (23+2)(33−2)(2\sqrt{3} + \sqrt{2})(3\sqrt{3} - \sqrt{2})（详细原理参见整式的运算）

详细解答：

  1. 使用分配律展开：
    =23×33+23×(−2)+2×33+2×(−2)= 2\sqrt{3} \times 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \times (-\sqrt{2}) + \sqrt{2} \times 3\sqrt{3} + \sqrt{2} \times (-\sqrt{2})
  2. =6×3+(−26)+36−2= 6 \times 3 + (-2\sqrt{6}) + 3\sqrt{6} - 2 （计算各项乘积）
  3. =18−26+36−2= 18 - 2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} - 2 （计算6×3=18，2×2=2\sqrt{2} \times \sqrt{2}=2）
  4. =(18−2)+(−2+3)6= (18-2) + (-2+3)\sqrt{6} （合并同类项）
  5. =16+6= 16 + \sqrt{6} （最终结果）

4. 分母有理化例题

例5：单根式有理化

有理化 35\dfrac{3}{\sqrt{5}}

详细解答：

  1. 35=3×55×5\dfrac{3}{\sqrt{5}} = \dfrac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} （分子分母同乘5\sqrt{5}）
  2. =355= \dfrac{3\sqrt{5}}{5} （计算分母5×5=5\sqrt{5} \times \sqrt{5}=5）

这里说一个不是公式但特别好用的东西：
1a=aa\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{a}

例6：二项式有理化

有理化 43−7=\dfrac{4}{3 - \sqrt{7}}=

详细解答：

  1. 43−7=4×(3+7)(3−7)(3+7)\dfrac{4}{3 - \sqrt{7}} = \dfrac{4 \times (3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})} （分子分母同乘共轭根式3+73+\sqrt{7}）
  2. =12+479−7= \dfrac{12 + 4\sqrt{7}}{9 - 7} （计算分子和分母）
  3. =12+472= \dfrac{12 + 4\sqrt{7}}{2} （计算分母9-7=2）
  4. =6+27= 6 + 2\sqrt{7} （约分化简）

其实就是在想怎么乘一个数或式让分母有理化

5. 复合根式例题

例7：化简复合根式

化简 11−47\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}

详细解答：

  1. 设 11−47=a−b\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} （假设可以表示为根式相减）
  2. 两边平方得：11−47=a+b−2ab11 - 4\sqrt{7} = a + b - 2\sqrt{ab}
  3. 建立方程组：
    • a+b=11a + b = 11 （有理部分相等）
    • −47=−2ab-4\sqrt{7} = -2\sqrt{ab} （无理部分相等）
  4. 解得：
    • ab=27⇒ab=28\sqrt{ab} = 2\sqrt{7} \Rightarrow ab=28
    • 解方程组a+b=11a+b=11，ab=28ab=28得a=7a=7，b=4b=4
  5. 所以 11−47=7−4=7−2\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{7} - \sqrt{4} = \sqrt{7} - 2

有点像因式分解的十字相乘（作者自己的想法，不要在试卷上这样答）

6. 易错题解析

例8：常见错误

判断正误：9+16=9+16\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16}

详细解析：

  1. 左边计算：9+16=25=5\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5
  2. 右边计算：9+16=3+4=7\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7
  3. 结论：错误！因为a+b≠a+b\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}

例9：数域问题（说白了就是解不等式的感觉）

求2x−6\sqrt{2x-6}的数域

详细解析：

  1. 根据二次根式定义，被开方数必须非负（这里额外说一点：有非负性的3个东西：绝对值，偶数次方，偶数次根）：
    2x−6≥02x - 6 \geq 0
  2. 解不等式：
    2x≥62x \geq 6
    x≥3x \geq 3
  3. 所以数域是x≥3x \geq 3

7. 混合运算例题

例10：混合运算

计算 263+24−52\dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} + \sqrt{24} - \dfrac{5}{\sqrt{2}}

详细解答：

  1. 263=263=22\dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{\dfrac{6}{3}} = 2\sqrt{2}
    （应用除法法则a/b=a/b\sqrt{a}/\sqrt{b} = \sqrt{a/b}）
  2. 24=4×6=26\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}
    （分解因式，提取完全平方数4）
  3. 52=522\dfrac{5}{\sqrt{2}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}
    （分母有理化，分子分母同乘2\sqrt{2}）
  4. 原式 =22+26−522= 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6} - \dfrac{5\sqrt{2}}{2}
    （代入前三步结果）
  5. =(2−52)2+26= (2 - \dfrac{5}{2})\sqrt{2} + 2\sqrt{6}
    （合并同类项2\sqrt{2}）
  6. =−122+26= -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} + 2\sqrt{6}
    （计算系数2-5/2=-1/2）

8. 嵌套根式例题

例11：嵌套根式（作者老师说也叫复合二次根式）

化简 5+26\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}

详细解答：

  1. 设 5+26=a+b\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}
    （假设可以表示为根式相加）
  2. 两边平方得：5+26=a+b+2ab5 + 2\sqrt{6} = a + b + 2\sqrt{ab}
    （展开平方公式）
  3. 建立方程组：
    • a+b=5a + b = 5
      （有理部分对应相等）
    • 2ab=262\sqrt{ab} = 2\sqrt{6}
      （无理部分对应相等）
  4. 解得：
    • ab=6⇒ab=6\sqrt{ab} = \sqrt{6} \Rightarrow ab=6
      （两边平方）
    • 解方程组a+b=5a+b=5，ab=6ab=6得a=3a=3，b=2b=2
      （解这个二次方程组）
  5. 所以 5+26=3+2\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}
    （代入a,b的值）

作者觉得很难理解的就是这里，请大家多多琢磨一下

9. 复杂有理化例题

例12：复杂有理化

有理化 13+2+1\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1}

详细解答：

  1. 使用两次有理化技巧，先乘以(3+2)−1(\sqrt{3}+\sqrt{2})-1：
    (3+2)−1[(3+2)+1][(3+2)−1]\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})-1}{[(\sqrt{3}+\sqrt{2})+1][(\sqrt{3}+\sqrt{2})-1]}
  2. 计算分母：
    =(3+2)2−12= (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 - 1^2
    （应用平方差公式）
    =3+26+2−1=4+26= 3 + 2\sqrt{6} + 2 - 1 = 4 + 2\sqrt{6}
    （展开平方项）
  3. 现在表达式为：
    3+2−14+26\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}{4+2\sqrt{6}}
  4. 再次有理化，乘以4−264-2\sqrt{6}：
    (3+2−1)(4−26)(4+26)(4−26)\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(4-2\sqrt{6})}{(4+2\sqrt{6})(4-2\sqrt{6})}
  5. 计算分母：
    =16−(26)2=16−24=−8= 16 - (2\sqrt{6})^2 = 16 - 24 = -8
    （应用平方差公式）
  6. 展开分子：
    3×4+3×(−26)+2×4+2×(−26)−1×4+(−1)×(−26)\sqrt{3} \times 4 + \sqrt{3} \times (-2\sqrt{6}) + \sqrt{2} \times 4 + \sqrt{2} \times (-2\sqrt{6}) -1 \times 4 + (-1) \times (-2\sqrt{6})
    =43−218+42−212−4+26= 4\sqrt{3} - 2\sqrt{18} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{12} - 4 + 2\sqrt{6}
  7. 化简分子中的根式：
    −218=−62-2\sqrt{18} = -6\sqrt{2}
    −212=−43-2\sqrt{12} = -4\sqrt{3}
    （化简18\sqrt{18}和12\sqrt{12}）
  8. 合并同类项：
    43−43+42−62−4+264\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{2} - 6\sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{6}
    =−22−4+26= -2\sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{6}
  9. 最终结果：
    −22−4+26−8=6−2−2−4=2+2−64\dfrac{-2\sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{6}}{-8} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2}{-4} = \dfrac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}}{4}
    （约分并调整符号）

10. 方程求解例题

例13：方程求解

解方程 x+5+x=5\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5

详细解答：

  1. 移项：x+5=5−x\sqrt{x + 5} = 5 - \sqrt{x}
    （将其中一个根式移到等式右边）
  2. 两边平方：
    x+5=25−10x+xx + 5 = 25 - 10\sqrt{x} + x
    （应用(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2公式）
  3. 化简：
    5=25−10x5 = 25 - 10\sqrt{x}
    （两边消去x）
    −20=−10x-20 = -10\sqrt{x}
    （移项）
    2=x2 = \sqrt{x}
    （两边除以-10）
  4. 再平方：
    4=x4 = x
    （两边平方消去根号）
  5. 检验：
    代入x=4：4+5+4=3+2=5\sqrt{4+5} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5
    （验证解的正确性）

11. 不等式求解例题

例14：不等式求解

解不等式 3x−2<x\sqrt{3x - 2} < x

详细解答：

  1. 确定定义域：
    3x−2≥0⇒x≥233x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \dfrac{2}{3}
    （根式内表达式非负）
  2. 两边平方（注意x必须为正）：
    因为3x−2≥0\sqrt{3x-2} \geq 0，所以x>0x > 0
    3x−2<x23x - 2 < x^2
  3. 整理不等式：
    x2−3x+2>0x^2 - 3x + 2 > 0
    （移项整理为标准二次不等式）
  4. 因式分解：
    (x−1)(x−2)>0(x-1)(x-2) > 0
  5. 解不等式：
    解集为x<1x < 1或x>2x > 2
    （根据二次函数图像性质）
  6. 结合定义域和条件：
    • x≥23x \geq \dfrac{2}{3}（定义域）
    • x>0x > 0（平方条件）
    • x<1x < 1或x>2x > 2（不等式解）
  7. 最终解集：
    23≤x<1\dfrac{2}{3} \leq x < 1 或 x>2x > 2
    （取所有条件的交集，这个七年级会讲）

12. 综合应用例题

例15：综合应用

已知a=3+2a = \sqrt{3} + \sqrt{2}，b=3−2b = \sqrt{3} - \sqrt{2}，求a2+b2a^2 + b^2的值

详细解答：

  1. 计算a2a^2：
    (3+2)2=3+26+2=5+26(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}
    （应用完全平方公式）
  2. 计算b2b^2：
    (3−2)2=3−26+2=5−26(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}
    （应用完全平方公式）
  3. 相加：
    a2+b2=(5+26)+(5−26)=10a^2 + b^2 = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 10
    （无理部分抵消）
  4. 另解（更简便的方法）：
    a2+b2=(a+b)2−2aba^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
    （应用平方和公式）
    • a+b=(3+2)+(3−2)=23a + b = (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}
    • ab=(3+2)(3−2)=3−2=1ab = (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 3 - 2 = 1
      （应用平方差公式）
    • 所以a2+b2=(23)2−2×1=12−2=10a^2 + b^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \times 1 = 12 - 2 = 10
      （代入计算）
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