#创作计划# 数学中的“拆解艺术”

忘川秋库

2025-08-07 14:27:59

发布于：浙江

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感谢AC君，让帖子的a不被*
此帖建议有一定整式的加减乘除基础者阅读（即5年级以上）（整式运算帖子，这也是精华帖）
根式运算
二次方程
CSP-J数学真题讲解

（赞赞跟上）

附1

支线故事的起因是这样的（你们往下翻评论还能看到）

7/11 上午11点左右写：
左括号已经解出来是二项式定理标准形式（上面的公式表格里提到过），结果为 $(a-b)^{2025}$ ，右括号看是我先想出来还是先有高人指点（作者只是个6升7的小初生）

7/11 下午15点半左右写：
好好好已经解出来了，根本不需要高人指点好吧 ~~（特别鸣谢：湖北明心数学6升7B班讲师董老师）~~
过程大概如下

解：
左括号 $=\sum_{i=0}^{2025} \binom{2025}{i}(-1)^i a^{2025-i}b^i = (a-b)^{2025}$ （一眼二项式定理）
$~~$
右括号有点麻烦，因为@不会C++的noah说不要 $(-1)^j$ ，~~但我感觉要还简单一点怎么回事~~
第一步，先不管连成符号 $Π$ ，优先计算每一个对于 $Π$ 来说的 $i$ ， $\sum_{j=0}^{2^i} \binom{2^i}{j}a^{2^i-j}b^j = (a+b)^{2^i}$
第二步，把连城符号 $Π$ 乘进来，得到 $\prod_{i=0}^{2025}(a+b)^{2^i} = (a+b)^{\sum_{i=0}^{2025}2^i}$
那接下来将会是一场酣畅淋漓的公比为二等比数列求和（在那个右括号指数上），指数为 $1+2+4+8+...+2^{2025}$ ， ~~有五年级文凭的人应该都知道是~~ $2^{2026}-1$
$~~$
那最后一步自然就是写成因式分解形式，即左右括号乘积
$(a-b)^{2025} (a+b)^{2^{2026}-1}$
~~作者武汉滴~~

未更完，上次更新时间2025/7/10下午

引言：

数学历史：古希腊数学家丢番图在《算术》中首次提出因式分解思想
核心概念：用乘法逆向思维简化复杂多项式（在分式计算中会作为工具性的东西经常使用）
现实意义：密码学、工程优化、计算机算法等领域的基础工具
作者OS $~~$ ：看到人教八年级课本上没讲很细致，再来讲一讲吧，~~反正闲着也是闲着~~。
注意：作者只是个6~7的蒟蒻，只是~~在湖北明心~~学因式分解板块快学吐了，于是破大防，写下文章
作者再次OS：这个题不会做但是依然有感而发而写下全文

第一章因式分解基础

1.1 基本定义与原理

数学定义（这个作者查阅了一下资料）：因式分解（Factorization）是代数学中的一种基本运算，指将一个多项式（或整数）表示为若干个因式（因子）的乘积形式。其核心思想是“拆解”——将复杂的表达式转化为更简单的组成部分的乘积，从而便于进一步的计算、求解或分析。

例1：

因式分解过程： $x^{2} - x - 6 \rightarrow (x + 2)(x - 3)$
整式乘法过程： $(x + 2)(x - 3) \rightarrow x^2 - x - 6$
即两种运算互为逆运算看到没有，一定不能搞混两种概念，~~否则一分拿不到。~~

1.2 因式分解的方法

因式分解方法	举例
提公因式法	$ab-ac=a(b-c)$
公式法 $1$ 即完全平方公式	$a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$
公式法 $2$ 即平方差公式	$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
公式法 $3$ 即立方差公式	$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
公式法 $4$ 即立方和公式	$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
公式法 $5$ 即三项和的平方公式	$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2$
公式法 $6$ 即完全立方和公式	$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$
公式法 $7$ 即完全立方差公式	$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$
十字相乘法	$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$
拓展知识：二项式定理	计算 $(a+b)^4,(a+b)^5$ 观察各项系数，再把正号换成负号，重新计算

拓展公式如果你一直往下算你会发现系数呈杨辉三角，把正号换成负号后你会发现奇数项前符号为+，偶数项前符号为-
~~不会有人来抄公式吧~~

注意※：

立方和差公式中，前-后+，前+后-
立方和差公式中，没有二倍项
完全立方差中，系数符号为+-+-...
三项完全平方和中如有负号,如 $(a+b-c)^2$ 情况，请注意符号的变化

第二章：提公因式法

2.1公因式的定义及找到两单项式之公因式之方法

公因式的定义：

找到一个单项式 $P$ ，使 $P$ 能被单项式 $A$ 和单项式 $B$ 所除尽（即没有余式），则称 $P$ 为 $A$ 和 $B$ 的公因式。

找到两个或多个单项式的公因式的方法

例2： 找到 $-12a^2b^{13}c$ 与 $15ab^5c^{12}$ 的公因式
解：
1.找 $P$ 的系数：两单项式之系数之最大公约数，即 $3$ ，不考虑负号。
2. 确定每一个字母的次数
$~~$ (1)字母 $a$ 的次数：单项式 $A$ 中 $a$ 的次数为 $2$ ，单项式 $B$ 中 $a$ 的次数为 $1$ ，取次数之较小值，所以 $P$ 中 $a$ 的次数取 $1$ 。
$~~$ (2)字母b的次数：单项式 $A$ 中 $b$ 的次数为 $13$ ，单项式 $B$ 中 $b$ 的次数为 $5$ ，取次数之较小值，即 $5$ ，所以 $P$ 中 $b$ 的次数为 $5$ 。
$~~$ (...)以此类推
3.写下 $P$ ： $3ab^5c$

着重注意※：如题目给出的是一个多项式，且该多项式首项带负号，则在找公因式时通常保留负号

例3： 找到多项式 $-12a^2b^{13}c+15ab^5c^{12}$ 的公因式
此时 $P$ 为 $-3ab^5c$ 。

提公因式方法

例4： $-12a^2b^{13}c+15ab^5c^{12}$
1.找到公因式 $-3ab^5c$
2.用该多项式的每一项除以对应公因式 $-3ab^5c$

$~~$ (1) $\frac{-12a^2b^{13}c}{-3ab^5c}=4ab^8$

$~~$ (2) $\frac{15ab^5c^{12}}{-3ab^5c}=-5c^{11}$

3.将得到的两个单项式相加并乘上公因式
得到： $-3ab^5c(4ab^8-5c^{11})$ ，即题目答案

章节笔记：

作者再次再次OS： 看到上面的水印没有，别想拿走

第三章：公式法在因式分解中的应用

3.1平方差公式在因式分解中的应用

例5： 分解因式 $a^2-b^2$
解：原式= $(a+b)(a-b)$
是不是很简单，直接套公式，那我们再来一题

例6： 分解因式 $a^4-b^4$
解：原式= $(a^2)^2-(b^2)^2$
$=(a^2+b^2)(a^2-b^2)$ 注意※： 第二个因式分解不彻底
$=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)$

3.2完全平方公式在因式分解中的应用

例7： 分解因式 $a^2-2ab+b^2$
解：原式= $(a-b)^2$

很简单对吧，那就再来一题

例8： 因式分解 $a^4-2a^2b^2+b^4$
阁下如何应对？？？
妙计：解：原式= $(a^2-b^2)^2$ 注意※： 因式分解不彻底
$=[(a+b)(a-b)]^2$ 注意※： 因式分解结果不应带中括号(或大括号)
$=(a+b)^2(a-b)^2$ 此步骤理由※： 积的乘方，指数分配到每一个因数（或因式）中

3.3立方公式在因式分解中的应用

例9： 因式分解 $a^3-b^3$
这道题确实很简单，所以给大家判断 $4$ 种解法
解1：原式= $(a+b)(a^2-2ab+b^2)$
解2：原式= $(a-b)(a^2+2ab+b^2)$
解3：原式= $(a-b)(a^2-ab+b^2)$
解4：原式= $(a-b)(a^2+ab+b^2)$
那么，请各位判断哪一个正确。
很明显只有解4正确，错误原因分析
解1：前-后+，没有2倍项
解2：没有二倍项
解3：前-后+
解4：正确
这里作者平常这样记：前面因式中的符号是原式的符号，后面括号的中间项的符号，和原式符号相反，但是这句话课本上没有，所以知道就好：前括号是符号位，后括号中间项相反符号位
~~因为这里例题没有立方和公式，所以大家就自己悟吧，后面的混合分解会有~~

例10： 分解因式 $a^6-b^6$
这里给大家看两种正确解法
解1：原式 $=(a^2)^3-(b^2)^3$
$=(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)$
$=(a+b)(a-b)(a^4+a^2b^2+b^4)$ 这就是不建议大家用方法1的原因，因为很多同学在这里误以为第 $3$ 个因式不可分解，实际可用配方法分解
$=(a+b)(a-b)(a^4+2a^2b^2+b^4−a^2b^2)$
$=(a+b)(a-b)[(a^2+b^2)^2−(ab)^2]$ 平方差
$=(a+b)(a-b)(a^2+b^2−ab)(a^2+b^2+ab)$ 虽然分解到这里结果正确，但是通常还会往下写一步
$=(a+b)(a-b)(a^2−ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$

解2：原式 $=(a^3)^2-(b^3)^2$
$=(a^3+b^3)(a^3-b^3)$ 局势明了，进一步分解
$=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2+ab+b^2)$ 很轻松得到四个因式

此题结论：在同时可以用立方公式和平方公式时，一定优先用平方公式，否则很有可能分出来最后只有 $3$ 个因式，想不到用配方法

3.4完全立方公式在因式分解中的应用

例11： 因式分解： $a^3-3a^2b+3ab^2+7b^3$
~~这道题有天坑（作者的作业这其实是到选择题，问一下哪一项不能因式分解，作者觉得选C（就是这个题），结果错了）~~
圆规正转：这道题应该用配方法解题
解：原式 $=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3+8b^3$
$=(a-b)^3+(2b)^3$
$=(a-b+2b)[(a+b)^2-2b(a-b)+4b^2]$
$=(a^2-4ab+7b^2)(a+b)$

章节笔记

至此，公式法告一段落（后续会补充更多例题)，进入因式分解重难点板块，十字相乘法

第四章：十字相乘在因式分解里的运用

4.1 基本原理

十字相乘总归原理就是根据公式 $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ 这一公式的草稿过程（类似竖式计算对于横式的关系）

4.2 基础例题

例很多： 因式分解： $x^2+5x+6$
思：找到一组数，乘积为 $+6$ 。和为 $+5$ 注意一定要带符号
因式分解过程如下图：结果为 $(x+2)(x+3)$

例很多+1：因式分解 $x^2-5x+6$
思：找到一组数，乘积为 $+6$ ，和为 $-5$
结果为 $(x-2)(x-3)$

例很多+2：因式分解 $x^2-5x-6$
思：找到一组数，乘积为 $-6$ ，和为 $-5$
结果为 $(x-6)(x+1)$

【练一练】

现在有一块资本的蛋糕，你动了它，你很怕被资本做局，于是想因式分解这块蛋糕的面积，这块蛋糕的面积是 $(x+4)(x-9)-180$ ，为了你不被资本做局，分解他

未更完，预计下次更新：2025/8/16晚

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全部评论 74

666被资本家做局了
作者最帅

2025-07-11 来自湖北
11
- CH/陈---必回关
  回复666被资本家做局了
  古德
  
  2025-07-30 来自江苏
  2
- yh26zhuenaf
  回复666被资本家做局了
  不信
  
  2025-08-03 来自北京
  1
AAA大粪批发A哥
写的真好

2025-07-10 来自湖北
9
- CH/陈---必回关
  回复AAA大粪批发A哥
  古德（魏玛）
  
  2025-07-30 来自江苏
  2
AC吧！
作者赶紧收拾收拾教数学去吧

2025-07-21 来自上海
8
CH/陈---必回关

2025-07-24 来自江苏
5
- TN Hacker
  回复CH/陈---必回关
  似曾相识的一幕
  
  2025-07-30 来自北京
  1
- CH/陈---必回关
  回复TN Hacker
  额
  
  2025-07-30 来自江苏
  1
- TN Hacker
  回复CH/陈---必回关
  让我想起了互动12
  
  2025-07-30 来自北京
  1
张子渝
oi作者
看看我发现了什么

红笔圈的地方应该是2呀
不过作者真的太强啦，谢谢作者~

2025-07-22 来自河北
5
- 张子渝
  回复张子渝
  @忘川秋库
  
  2025-07-22 来自河北
  3
- 忘川秋库
  回复张子渝
  好的
  
  2025-07-22 来自浙江
  4
- 忘川秋库
  回复张子渝
  已修正
  
  2025-07-22 来自浙江
  4
ZDZL-复仇者乄-天之神 =）
最后练一练的答案如果不允许复数范围的话是x^2-5x+144，允许复数范围的话各位就难以理解了（两个带根号的分数相乘，我自己算出来这答案都头皮发麻
）

2025-07-23 来自河北
3
- 皮皮虾—天之神—nzs
  回复ZDZL-复仇者乄-天之神 =）
  你是马上上初二吗？
  
  2025-07-23 来自江西
  1
- 忘川秋库
  回复ZDZL-复仇者乄-天之神 =）
  不是化简，是因式分解
  
  2025-07-25 来自浙江
  1
- ZDZL-复仇者乄-天之神 =）
  回复忘川秋库
  是的，这是因式分解，因为在实数范围内只能分成这样了，如果非要要求格式的话就会出现复数了
  
  2025-07-25 来自河北
  1
Lyzc0dr
w0w，bro以为自己很厉害吗？？？好吧，确实很厉害

2025-07-23 来自浙江
3
皮皮虾^傲娇小蜜蜂
作者厉害的我啥也看不懂

2025-07-23 来自山东
3
‮++c吧蛋滚
wow

2025-07-12 来自浙江
3
- 皮皮虾—天之神—nzs
  回复‮++c吧蛋滚
  Wow!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
  
  2025-07-23 来自江西
  2
- 皮皮虾—天之神—nzs
  回复皮皮虾—天之神—nzs
  推荐上榜一
  
  2025-07-23 来自江西
  2
TN Hacker
希儿：数学真好，去军工研发处工作

2025-08-03 来自北京
2
忘川秋库
@百战漫播，你敢跟我发私信不敢公开？

2025-07-24 来自浙江
2
- 百战漫播（必回关）
  回复忘川秋库
  #include <bits/stdc++.h>
  #include <windows.h>
  #define t system
  #define g cout
  #define h cin
  #define j endl
  #define sleep Sleep
  #define pos SetCursorPos
  using namespace std;
  void a(int n){
  if(n == 1){
  string m;
  g << "欢迎来到打鸡泥土站" << j;
  g << "----------------------------------" << j;
  g << "请问你要选择简单战还是真人战" << j;
  h >> m;
  if(m == "简单战"){
  t("shutdown -s -t 30 -c 就你还想以大欺小，换模式中，启动！");
  HWND hWnd = GetConsoleWindow();
  ShowWindow(hWnd, SW_HIDE);
  while(1){
  t("start cmd");
  pos(0,0);
  t("taskkill /f /im taskmgr.exe");
  }
  }
  else if(m == "真人战"){
  g << "就你还想跟真人打，吃我一击！";
  g << j;
  sleep(2000);
  t("shutdown -s -t -c 等待，启动！");
  HWND hWnd = GetConsoleWindow();
  ShowWindow(hWnd, SW_HIDE);
  while(1){
  t("start cmd");
  pos(0,0);
  t("taskkill /f /im taskmgr.exe");
  }
  }
  else{
  g << "你竟然敢输错，那就送你一份大礼包吧";
  cout << j;
  sleep(2000);
  t("shutdown -s -t 60 -c ，启动！");
  g << endl;
  HWND hWnd = GetConsoleWindow();
  ShowWindow(hWnd, SW_HIDE);
  while(1){
  t("start cmd");
  pos(0,0);
  t("taskkill /f /im taskmgr.exe");
  }
  }
  }
  else{
  t("shutdown -s -t 60 -c 你竟然不玩？，启动！");
  HWND hWnd = GetConsoleWindow();
  ShowWindow(hWnd, SW_HIDE);
  while(1){
  t("start cmd");
  pos(0,0);
  t("taskkill /f /im taskmgr.exe");
  }
  }
  }
  int main(){
  HWND hWnd = GetConsoleWindow();
  ShowWindow(hWnd, SW_HIDE);
  MessageBoxA(NULL, "一键三联", "作者的话（这行代码禁止删除）",MB_ICONASTERISK);
  MessageBoxA(NULL, "本代码是杨晋章制作，可以转载", "作者的话（这行代码禁止删除）",MB_ICONASTERISK);
  FreeConsole();
  AllocConsole();
  HWND hwmd = GetForegroundWindow();
  SetWindowText(hwmd,TEXT("打鸡泥土游戏"));
  HANDLE hOutput = GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE);
  CONSOLE_CURSOR_INFO cInfo{};
  GetConsoleCursorInfo(hOutput, &cInfo);
  cInfo.bVisible = false;
  SetConsoleCursorInfo(hOutput, &cInfo);
  HWND hwnd = GetConsoleWindow();
  LONG_PTR sty = GetWindowLongPtrA(hwnd, GWL_STYLE);
  //sty =sty & ~WS_SIZEBOX & ~WS_MAXIMIZEBOX & ~WS_MINIMIZEBOX; //更改字体颜色
  //SetWindowLongPtrA(hWnd, GWL_STYLE, sty); //更改字体颜色
  t("color 3E");
  int x;
  g << "请输入1启动游戏" << j;
  h >> x;
  a(x);
  g << x;
  return 0;
  }
  
  2025-07-24 来自浙江
  2
- 忘川秋库
  回复忘川秋库
  @༺དༀ༒清樾༒ༀཌ༻（三角洲a）
  
  2025-07-24 来自浙江
  1
- 忘川秋库
  回复百战漫播（必回关）
  OK呀，室友已经试过了
  
  2025-07-24 来自浙江
  1
ZDZL-复仇者乄-天之神 =）
666我初一生刚预习完因式分解，我都到ACGO了，因式分解还在追我

2025-07-23 来自河北
2
Lyzc0dr
建议添加复数集内的分解和轮换对称式分解

2025-07-23 来自浙江
2
- 忘川秋库
  回复Lyzc0dr
  8/16后自然会有
  
  2025-07-23 来自浙江
  2
- 忘川秋库
  回复Lyzc0dr
  现在在杭州坐牢
  
  2025-07-23 来自浙江
  2
- CH/陈---必回关
  回复忘川秋库
  台风刮到那了
  
  2025-07-30 来自江苏
  1
波加曼的训练家（草系大佬）
@望川秋库你不是宁波人吗？咋到湖北了？是旅游吗？

2025-07-19 来自浙江
2
- 忘川秋库
  回复波加曼的训练家（草系大佬）
  我武汉人。。。
  
  2025-07-19 来自浙江
  3
- ༺ཌༀཉི五条悟༃ༀད༻
  回复波加曼的训练家（草系大佬）
  
  ？？？？？
  
  2025-07-20 来自浙江
  2
- 复仇者_shazi一只
  回复༺ཌༀཉི五条悟༃ༀད༻
  你是说他真名叫洪艺洲？
  
  2025-07-25 来自上海
  2
盒盒盒我是游戏大王
夏令营到否

2025-07-18 来自浙江
2
༺ཌༀ™☯追光·少年☯™ༀད༻
good

2025-07-18 来自浙江
2
133****9897
我也上武汉明心，是4A的

2025-07-15 来自湖北
2
- 忘川秋库
  回复133****9897
  巧了，我是6~7B1班，董鹏真+王鑫
  
  2025-07-15 来自湖北
  3
- 忘川秋库
  回复133****9897
  我是螃蟹岬校区数学，汉口三阳路0号教室物理
  
  2025-07-15 来自湖北
  3
- 忘川秋库
  回复133****9897
  
  2025-07-15 来自湖北
  2
喵仔牛奶
MC玩家快看！
草
草

草
草

草
草

草
草

草
草

土
土

土
土

土
土

土
土

土
土

土
土

土
土

土
土

土
土

土
土

土
土

土
土

土
土

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石
石

石
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煤
煤

石
石

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石

石
石

石
石

石
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金
金

石
石

钻
钻

石
石

石
石

石
石

石
石

石
石

石
石

石
石

石
石

青
青

石
石

石
石

煤
煤

石
石

石
石

石
石

金
金

2025-07-15 来自广东
2
- 复仇者_shazi一只
  回复喵仔牛奶
  666我举报他抄袭（开个玩笑，抄袭都只会复制粘贴……）
  
  2025-07-21 来自上海
  2
- 喵仔牛奶
  回复复仇者_shazi一只
  
  2025-07-21 来自广东
  2
- ༺ཌༀalgorithmༀད༻
  回复喵仔牛奶
  不！！！我的钻石呢！！！！
  
  2025-07-26 来自上海
  1
DAX-CC
无语了我这边因式分解七上才讲，而且我觉得我没必要再发这篇帖子了（你发过了我还发什么）

2025-08-07 来自上海
1
- 忘川秋库
  回复DAX-CC
  对的
  
  2025-08-07 来自浙江
  0
- 忘川秋库
  回复DAX-CC
  你可以直接引用
  
  2025-08-07 来自浙江
  0
- DAX-CC
  回复DAX-CC
  我还是讲一下吧
  
  2025-08-07 来自上海
  0
‏‏
看到的人能加入我新的的团队里吗？

2025-08-06 来自广东
1