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7月26号的帖子，今天居然火了
求赞！！！（点赞的全家身体健康、万事如意！！！
故事的起点：
先感谢一下忘川秋库提出宝贵意见，帮他宣一下团，已更改完成
再帮滚蛋吧C++宣一下团
在感谢一下AC君给我加精
那么先切入正题讲解 ：
一. 正弦定理 （适用于任何三角形）
定理描述 ：
在任一三角形中，每条边的长度与其对角的正弦值之比恒为常数，且该常数等于三角形外接圆的直径（2 RRR）。
公式描述 ：
asinA=bsinB=csinC=2R\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2RsinAa =sinBb =sinCc =2R
* 注： aaa,bbb,ccc: 三角形三边长度 （分别对角 AAA,BBB,CCC）,RRR : 三角形外接圆半径
核心应用场景 ：
1. 已知两角一边求其他边（ASA/AAS条件）
* 例 ：∠B=35°\angle B= 35°∠B=35°，∠C=75°\angle C= 75°∠C=75° , b=10b=10b=10 , 求 aaa:
asin70°=10sin35°⇒a=10⋅70sin35°≈16.38\frac{a}{\sin 70°}=\frac{10}{\sin 35°} ⇒ a=10 ⋅\frac{70}{\sin 35°} ≈ 16.38sin70°a =sin35°10 ⇒a=10⋅sin35°70 ≈16.38
2. 求外接圆半径：
* R=a2sinA（已知边及其对角）R=\frac{a}{2\sin A} （已知边及其对角）R=2sinAa （已知边及其对角）
二、余弦定理（适用于任意三角形）
定理描述 ：
三角形中，任意一边的平方等于另两边的平方和，减去这两边与其夹角余弦乘积的两倍。
公示表述 ：
c2=a2+b2−2abcosCc^2=a^2+b^2-2ab\cos Cc2=a2+b2−2abcosC
* 对称形式 （其他角度）
a2=b2+c2−2bccosAa^2=b^2+c^2-2bc\cos Aa2=b2+c2−2bccosA
b2=a2+c2−2accosBb^2=a^2+c^2-2ac\cos Bb2=a2+c2−2accosB
核心应用场景：
1. 已知两边及其夹角求第三边（SAS条件）
* 例 : 已知 a=5,b=7,∠C=60°a=5,b=7,\angle C=60°a=5,b=7,∠C=60°,求 ccc
c2=52+72−2⋅5⋅7⋅cos60°=20+49−70⋅0.5=39⇒c=39≈6.24c^2=5^2+7^2-2⋅5⋅7⋅\cos60°=20+49-70⋅0.5=39 ⇒ c=\sqrt{39}≈6.24c2=52+72−2⋅5⋅7⋅cos60°=20+49−70⋅0.5=39⇒c=39 ≈6.24
2. 已知三边求角度（SSS条件）
* cosC=a2+b2+c2 2abcos C= \frac{a^2+b^2+c^2}{\ 2ab}cosC= 2aba2+b2+c2
三、两大定理对比与选择策略
场景特征 优先选择定理 原因 已知 两角+任意边 正弦定理 直接比例关系求解 已知 两边+夹角 (SAS) 余弦定理 直接计算第三边 已知 三边 (SSS) 余弦定理 反求角度唯一解 已知 两边+一对角 (SSA) 正弦定理 可能双解（需验证钝角/锐角）
四 ：意思讲解
sin : 正弦值是在直角三角形中，对边的长比上斜边的长的值。 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
cos : 余弦是一种三角函数。锐角的余弦被定义为其在直角三角形中的邻边与斜边的比值。余弦与其它三角函数有着密切的关系。
相信爱套公式的你已经懂了。
OK，回到开始，先放出题目。
(I) 求边AB的长：
已知 △ABC\triangle ABC△ABC 周长为 2****qrt{2}+12 +1,且 sinA+sinB=2sinC\sin A+\sin B=\sqrt{2}\sin CsinA+sinB=2 sinC。
由正弦定理，得 a+b=2ca+b=\sqrt{2} ca+b=2 c
结合周长公式 a+b+c=2+1a+b+c=\sqrt{2}+1a+b+c=2 +1,解得 c=AB=1c=AB=1c=AB=1
(II) 求角C的度数：
已知 △ABC\triangle ABC△ABC 面积为 sinC\sin CsinC，由面积公式得 12absinC=sinC\frac{1}{2}ab\sin C=\sin C21 absinC=sinC,即 ab=2ab=2ab=2。
但结合(I)中结论和 a+b=2c=2a+b=\sqrt{2}c=\sqrt{2}a+b=2 c=2 ,可获得 a2+b2+2ab=2+4=6a^2+b^2+2ab=2+4=6a2+b2+2ab=2+4=6,且 a2+b2−2ab=c2=1a^2+b^2-2ab=c^2=1a2+b2−2ab=c2=1
联立解得 a2+b2=72a^2+b^2=\frac{7}{2}a2+b2=27 ,进而求得 cosC=a2+b2−c22ab=12\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{1}{2}cosC=2aba2+b2−c2 =21
所以，∠C=60°\angle C=60°∠C=60°
支线任务
（翻评论区能找到）
先看题：
* 已知 sinC=3\sin C=3sinC=3 和 DB=6DB=6DB=6,且根据正弦函数的定义，我们有 sinC=对边斜边=DBDC\sin C=\frac{对边}{斜边}=\frac{DB}{DC}sinC=斜边对边 =DCDB
* 带入已知条件，得到方程 6DC=3\frac{6}{DC}=3DC6 =3，解出方程，变成了 DC=63=2DC=\frac{6}{3}=2DC=36 =2
* 则 DCDCDC 长度为 222 （不确定答案准确性，还得以实际答案为准）
若讲解内有错误，请提出问题所在，若讲解不好，请提出您宝贵的意见，谢谢了
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