证明圆锥体公式!!

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粉碎机粉碎粉碎机

秩序白银

2024-07-16 22:51:45

发布于：浙江

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有没有人想过,圆柱体体积公式是怎么来的?
读过小学的都知道教科书上用的是倒水法,但是太不标准了!!!

注:V圆锥=1/3 π r^{2} h

废话不多说直接开始:


s=设DA=r,CB=R,EB=H,AE=h,绿色圆的面积=S

rh=RHr=RhHS=π(RhH)2∫0HS dh=∫0Hπ(RhH)2 dh=π∫0H(RhH)2 dh=πR2H2∫0Hh2 dh\frac{r}{h}=\frac{R}{H}\\ r=\frac{Rh}{H}\\ S=\pi(\frac{Rh}{H})^2\\ \int_{0}^{H}{S}\ dh=\int_0^{H}\pi(\frac{Rh}{H})^2\ dh\\ =\pi\int_0^H{(\frac{Rh}{H})^2}\ dh\\ =\pi\frac{R^2}{H^2}\int_{0}^{H}{h}^2\ dh\\ 

注:R,H,π都是常数,可以提出.

=πR2H2[h33]0H=πR2H2⋅(H33−033)=πR2H3=\pi\frac{R^2}{H^2}[\frac{h^3}{3}]_0^H\\ =\pi\frac{R^2}{H^2}\cdot (\frac{H^3}{3}-\frac{0^3}{3})\\ =\pi R^2 \frac{H}{3}\\ 

注:根据幂次积分公式:

∫anxndx=an+1n+1−bn+1n+1\int_a^nx^ndx=\frac{a^{n+1}}{n+1}-\frac{b^{n+1}}{n+1}

证明完成!!!!!
一键三连求求了(虽然不是b站)
是不是很简单!!!
有心就加入我们吧!

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