各位随便看看吧
1 三角函数基础与常用公式
1.1 基本定义与原理
三角函数是数学中用来描述角度与三角形边长关系的函数，最主要的三种函数是：
正弦（sin\sinsin）：角的对边与斜边的比值
余弦（cos\coscos）：角的邻边与斜边的比值
正切（tan\tantan）：角的对边与邻边的比值
三角函数的定义基于直角三角形，也可以通过单位圆进行推广：
在半径为 111 的单位圆上，角度 θ\thetaθ 对应点的坐标是 (cosθ,sinθ)(\cos\theta,\sin\theta)(cosθ,sinθ)。
1.2 三角函数的基本公式
1.2.1 三角函数的诱导公式
sin(−θ)=−sinθ\sin(-\theta) = -\sin\thetasin(−θ)=−sinθ
cos(−θ)=cosθ\cos(-\theta) = \cos\thetacos(−θ)=cosθ
tan(−θ)=−tanθ\tan(-\theta) = -\tan\thetatan(−θ)=−tanθ
1.2.2 和差角公式
sin(a±b)=sinacosb±cosasinb\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin bsin(a±b)=sinacosb±cosasinb
cos(a±b)=cosacosb∓sinasinb\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin bcos(a±b)=cosacosb∓sinasinb
tan(a±b)=tana±tanb1∓tanatanb\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}tan(a±b)=1∓tanatanbtana±tanb
1.2.3 倍角公式
sin2a=2sinacosa\sin 2a = 2 \sin a \cos asin2a=2sinacosa
cos2a=cos2a−sin2a=2cos2a−1=1−2sin2a\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2 \cos^2 a - 1 = 1 - 2 \sin^2 acos2a=cos2a−sin2a=2cos2a−1=1−2sin2a
tan2a=2tana1−tan2a\tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}tan2a=1−tan2a2tana
1.3 三角函数的常用性质与例题
1.3.1 单位圆示意
单位圆上，角度从 0∘0^\circ0∘ 到 360∘360^\circ360∘，sin\sinsin 值对应点的 yyy 坐标，cos\coscos 值对应 xxx 坐标。
角度越大，sin\sinsin 与 cos\coscos 变化呈周期性。
2 三角函数在题目和算法中的应用
2.1 计算角度的 SIN\SINSIN 值（用余弦定理）
已知三角形三边长 a,b,ca,b,ca,b,c，求角 AAA 的 sin\sinsin 值。
利用余弦定理：
cosA=b2+c2−a22bc\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}cosA=2bcb2+c2−a2
sinA=1−cos2A\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}sinA=1−cos2A
2.2 角度计算：两向量夹角的余弦值
向量 u=(x1,y1)u = (x_1,y_1)u=(x1 ,y1 )，v=(x2,y2)v = (x_2,y_2)v=(x2 ,y2 )，夹角 θ\thetaθ 满足：
cosθ=x1x2+y1y2∣u∣∣v∣\cos \theta = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{|u||v|}cosθ=∣u∣∣v∣x1 x2 +y1 y2
其中 ∣u∣=x12+y12|u| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}∣u∣=x12 +y12
2.3 例题3：求两向量夹角的余弦值
向量 u=(1,0)u = (1,0)u=(1,0)，v=(0,1)v = (0,1)v=(0,1)
cosθ=1×0+0×11×1=0\cos \theta = \frac{1 \times 0 + 0 \times 1}{1 \times 1} = 0cosθ=1×11×0+0×1 =0
夹角为 90∘90^\circ90∘
3 数学例题
3.1 例题1
已知 sina=35\sin a = \frac{3}{5}sina=53 ，aaa 为第一象限角，求 cosa\cos acosa。
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3.2 例题2
已知角 xxx 满足 sinx=513\sin x = \frac{5}{13}sinx=135 ，且 xxx 在第二象限，求 cosx\cos xcosx 和 tanx\tan xtanx。
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3.3 例题3
点 P(2,3)P(2,3)P(2,3) 绕原点逆时针旋转 60∘60^\circ60∘，求旋转后的点 P′P'P′ 坐标。
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4 编程例题
4.1 移动的点 P
4.1.1 数学原理
点绕原点旋转 θ\thetaθ 度后的坐标变化如下：
x′=x⋅cosθ−y⋅sinθy′=x⋅sinθ+y⋅cosθ x' = x \cdot \cos\theta - y \cdot \sin\theta y' = x \cdot \sin\theta + y \cdot \cos\theta x′=x⋅cosθ−y⋅sinθy′=x⋅sinθ+y⋅cosθ
其中 θ\thetaθ 必须用弧度制参与三角函数运算：
θrad=θ×π180 \theta_{\text{rad}} = \theta \times \frac{\pi}{180} θrad =θ×180π
4.1.2 题目正解
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1. 解：利用恒等式 sin2a+cos2a=1\sin^2 a + \cos^2 a = 1sin2a+cos2a=1
cosa=1−sin2a=1−(35)2=1−925=1625=45\cos a = \sqrt{1 - \sin^2 a} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}cosa=1−sin2a =1−(53 )2 =1−259 =2516 =54 ↩︎
2. 解：利用恒等式：sin2x+cos2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1sin2x+cos2x=1
cosx=−1−sin2x=−1−(513)2=−1−25169=−144169=−1213\cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x} = -\sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}cosx=−1−sin2x =−1−(135 )2 =−1−16925 =−169144 =−1312
（第二象限，cos\coscos 负）
tanx=sinxcosx=513−1213=−512\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12}tanx=cosxsinx =−1312 135 =−125 ↩︎
3. 解：用公式：
x′=xcos60∘−ysin60∘=2×12−3×32=1−332x' = x \cos 60^\circ - y \sin 60^\circ = 2 \times \frac{1}{2} - 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{3\sqrt{3}}{2}x′=xcos60∘−ysin60∘=2×21 −3×23 =1−233
y′=xsin60∘+ycos60∘=2×32+3×12=3+32y' = x \sin 60^\circ + y \cos 60^\circ = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \times \frac{1}{2} = \sqrt{3} + \frac{3}{2}y′=xsin60∘+ycos60∘=2×23 +3×21 =3 +23
所以新坐标：
P′=(1−332,3+32)P' = \left(1 - \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3} + \frac{3}{2}\right)P′=(1−233 ,3 +23 ) ↩︎
