1 虚数基础与常用公式
1.1 基本定义与原理
虚数是实数体系的扩展，引入了一个新的单位 iii，满足
i2=−1i^2 = -1 i2=−1
基于此，复数定义为形如
z=a+biz = a + bi z=a+bi
其中 a,ba,ba,b 为实数，aaa 是实部，bbb 是虚部（不是 bibibi）。
虚数使得二次方程 x2+1=0x^2 + 1 = 0x2+1=0 和 负数平方根有结果。
1.2 虚数的基本运算
* 加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
* 减法：(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i
* 乘法：(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i
* 共轭：z=a+bi,z−=a−biz=a+bi, z^- = a - biz=a+bi,z−=a−bi
* 模长：∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}∣z∣=a2+b2
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2 虚数的几何常用公式与性质
2.1 欧拉公式
欧拉公式是复数领域的核心公式：
eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta eiθ=cosθ+isinθ
它将三角函数和指数函数联系起来。
2.2 复数乘法的几何解释
两个复数相乘，模长相乘，幅角相加：
z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z_1 z_2 = r_1 r_2 \left[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)\right] z1 z2 =r1 r2 [cos(θ1 +θ2 )+isin(θ1 +θ2 )]
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3 数学例题
3.1 例题1
计算 (3+4i)(1−2i)(3 + 4i)(1 - 2i)(3+4i)(1−2i) 的结果。 点我 👉[1]
3.2 例题2
已知复数 z=1+iz = 1 + iz=1+i，求 zzz 的模长和共轭复数。 点我 👉[2]
3.3 例题3，想做的做一下？
答案点我 👉[3]
不
要
偷
看
答
案
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1. 解： (3+4i)(1−2i)=3×1−3×2i+4i×1−4i×2i=3−6i+4i−8i2(3+4i)(1-2i) = 3 \times 1 - 3 \times 2i + 4i \times 1 - 4i \times 2i = 3 - 6i + 4i - 8i^2(3+4i)(1−2i)=3×1−3×2i+4i×1−4i×2i=3−6i+4i−8i2
因为 i2=−1i^2 = -1i2=−1，所以 =3−2i+8=11−2i= 3 - 2i + 8 = 11 - 2i=3−2i+8=11−2i ↩︎
2. 解： ∣z∣=12+12=2|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}∣z∣=12+12 =2 ，共轭复数为 z−=1−iz^- = 1 - iz−=1−i ↩︎
3. 解法太长了，就不写过程了，答案是 178417841784 ↩︎
