读者朋友你好，这是详解函数系列的第二条帖子。如果没看过第一条可以去这里看看。废话不多说，接下来让我们来玩玩 三角函数，继续上篇没写完的内容。
本文主要会向大家介绍：
· 锐角三角比
· 三角恒等式
· 三角函数的定义域扩展
· 三角函数相关的公式
· 正余弦定理及其应用
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什么是三角函数
三角函数最初与我们见面是在六年级，我绝对不会告诉你是在《Mathematics Olympics 2021》收录的六年级竞赛中与我们见面的，当然你不知道这个也没关系，接下来我会向你介绍。
1. 锐角三角比
为什么说最初见面是在六年级？因为三角函数实际上就是直角三角形中线段的比值（六年级知识点：比和比例）。比如，告诉你 Rt△ABCRt_{\triangle ABC}Rt△ABC 中，∠C=90°,AC=4,BC=3,AB=5\angle C=90\degree,AC=4,BC=3,AB=5∠C=90°,AC=4,BC=3,AB=5，求BCAB的值\cfrac{BC}{AB}的值ABBC 的值。看着很简单：这不就是 35\dfrac{3}{5}53 嘛，又有什么？这就是锐角三角比 sinA\sin AsinA，或者叫它三角函数。
三角函数的最初形态就是锐角三角比，建立在直角三角形中。如下图所示，我们一般设 Rt△ABC,∠C=90°Rt_{\triangle ABC},\angle C=90\degreeRt△ABC ,∠C=90°，三个顶点 A、B、CA、B、CA、B、C 所对的边分别长为 a、b、ca、b、ca、b、c。
首先明确一点：三角函数，是 关于角的函数！它把角度作为自变量（也可以是后面介绍的弧度），等角算出来的结果相等。因此，它们具备周期性。
我们以顶点 AAA 为例，计算一下它的各种锐角三角比。首先，我们定义正弦函数 sinesinesine：
sinA=ac\sin A=\dfrac{a}{c} sinA=ca
以及它的好兄弟余弦函数 cosinecosinecosine：
cosA=bc\cos A=\dfrac{b}{c} cosA=cb
这二位真神的简称如上所示，他俩也是所有三角函数的基础。
接下来，我们定义一个稍微复杂点的函数正切 tangenttangenttangent：
tanA=sinAcosA=ab\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}=\dfrac{a}{b} tanA=cosAsinA =ba
正切函数的简写是 tan\tantan，当然你也可以写作 tg\tgtg。
然后我们看看余切 cotangentcotangentcotangent：
cotA=1tanA=ba\cot A=\dfrac{1}{\tan A}=\dfrac{b}{a} cotA=tanA1 =ab
余切函数简写为 cot\cotcot，你也可以写作 ctg\ctgctg。
到这里就是我们初中所学到的所有锐角三角比了，但并不代表三角函数就这四个。还有两个被人遗忘的函数：正割和余割。
正割 secantsecantsecant 的定义如下：
secA=1cosA=cb\sec A=\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{c}{b} secA=cosA1 =bc
我也不知道为什么正割一定要把 bbb 作为分母而不是 aaa，但是它确实是这样定义的。
最后看看余割 cosecantcosecantcosecant 的定义：
cscA=1sinA=ca\csc A=\dfrac{1}{\sin A}=\dfrac{c}{a} cscA=sinA1 =ac
注意一点：余割的简写并非取前三个字母得到 cos\coscos，因为 cos\coscos 是余弦函数！因此余割的简写较为特殊，改为了 csc\csccsc。
为什么我们说正余弦是最基本的？根据这些定义，tan\tantan 是由 sin\sinsin 和 cos\coscos 作比值得到的，而 cot\cotcot、sec\secsec、csc\csccsc 分别是 tan\tantan、cos\coscos、sin\sinsin 的倒数。不难发现，其余四个三角函数都和正余弦有关。因此，给你一个角度的正余弦，你就可以算出它的正余切和正余割。
当然，你也可以通过上面的定义进行一些等式的恒等变形，比如：
sinA=cosA×tanAcosA=sinAtanA\sin A=\cos A\times\tan A\\\cos A=\cfrac{\sin A}{\tan A} sinA=cosA×tanAcosA=tanAsinA
根据 tanA\tan AtanA 的定义可以轻松证明上面等式。
再比如：
tanAsecA=sinAcosA1cosA=sinA\cfrac{\tan A}{\sec A}=\cfrac{\cfrac{\sin A}{\cos A}}{\cfrac{1}{\cos A}}=\sin A secAtanA =cosA1 cosAsinA =sinA
同理，你可以试试证明：
secAtanA=cscA\cfrac{\sec A}{\tan A}=\csc A tanAsecA =cscA
下面是常见角度的锐角三角比比值，有需要的话可以把 30°,45°,60°30\degree,45\degree,60\degree30°,45°,60° 的背下来，其它的只要作直角三角形和等腰三角形再用勾股定理（下面会介绍）能够推出来就行了。
0°0\degree0° 30°30\degree30° 45°45\degree45° 60°60\degree60° 90°90\degree90° sin\sinsin 000 12\dfrac{1}{2}21 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}22 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}23 111 cos\coscos 111 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}23 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}22 12\dfrac{1}{2}21 000 tan\tantan 000 33\dfrac{\sqrt{3}}{3}33 111
3\sqrt{3}3 ∞\infty∞ cot\cotcot ∞\infty∞ 3\sqrt{3}3 111 33\dfrac{\sqrt{3}}{3}33 000 sec\secsec 111 233\dfrac{2}{3}\sqrt{3}32 3 2\sqrt{2}2 222 ∞\infty∞ csc\csccsc ∞\infty∞ 222 2\sqrt{2}2 233\dfrac{2}{3}\sqrt{3}32 3 111
15°15\degree15° 22.5°22.5\degree22.5° 67.5°67.5\degree67.5° 75°75\degree75° sin\sinsin 6−24\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}46 −2 2−22\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}22−2 2+22\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}22+2 6+24\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}46 +2 cos\coscos 6+24\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}46 +2
2+22\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}22+2 2−22\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}22−2 6−24\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}46 −2 tan\tantan 2−32-\sqrt{3}2−3 2−1\sqrt{2}-12 −1 2****qrt{2}+12 +1 2+32+\sqrt{3}2+3 cot\cotcot 2+32+\sqrt{3}2+3 2****qrt{2}+12 +1 2−1\sqrt{2}-12 −1 2−32-\sqrt{3}2−3 sec\secsec
6−2\sqrt{6}-\sqrt{2}6 −2 4−22\sqrt{4-2\sqrt{2}}4−22 4+22\sqrt{4+2\sqrt{2}}4+22 6+2\sqrt{6}+\sqrt{2}6 +2 csc\csccsc 6+2\sqrt{6}+\sqrt{2}6 +2 4+22\sqrt{4+2\sqrt{2}}4+22 4−22\sqrt{4-2\sqrt{2}}4−22 6−2\sqrt{6}-\sqrt{2}6 −2
接着，让我们看看三角函数之间的关联。
2. 三角恒等式
相信大家都听说过 勾股定理，但可能不知道怎么证明。勾股定理的证明可能需要 弦图，常见的弦图有赵爽弦图：
它是从小正方形向外作四个全等的直角三角形得到大正方形，因此得到：
4(12ab)+(a−b)2=c24(\frac{1}{2}ab)+(a-b)^2=c^2 4(21 ab)+(a−b)2=c2
化简得到勾股定理：
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 a2+b2=c2
当然，还有一种是邹元治弦图：
它是从大正方形向内作四个全等的直角三角形得到小正方形，因此有：
(a+b)2=c2+4(12ab)(a+b)^2=c^2+4(\frac{1}{2}ab) (a+b)2=c2+4(21 ab)
化简得到勾股定理：
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 a2+b2=c2
有了这些之后，我们就可以正式去看看三角恒等式了。还是那个 Rt△ABC,∠C=90°Rt\triangle_{ABC},\angle C=90\degreeRt△ABC ,∠C=90°，如下图：
我们已经知道了，在这个直角三角形中，有下面这些关系：
{a2+b2=c2sinA=accosA=bc\begin{cases}a^2+b^2=c^2\\\\\sin A=\dfrac{a}{c}\\\\\cos A=\dfrac{b}{c}\end{cases} ⎩⎨⎧ a2+b2=c2sinA=ca cosA=cb
最上面的是刚刚证明过的勾股定理，看上去十分简洁。它包含的项是三边的平方，因此我们也可以根据下面两个式子刻意地去构造平方项：
{sin2A=a2c2cos2A=b2c2\begin{cases}\sin^2A=\dfrac{a^2}{c^2}\\\\\cos^2A=\dfrac{b^2}{c^2}\end{cases} ⎩⎨⎧ sin2A=c2a2 cos2A=c2b2
我们发现，这两个式子分母都是斜边的平方，而上面分别是两条直角边的平方，长得很像勾股定理了。现在，将两个式子相加，再代入勾股定理，就得到：
sin2A+cos2A=a2+b2c2=c2c2=1\sin^2A+\cos^2A=\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=\dfrac{c^2}{c^2}=1 sin2A+cos2A=c2a2+b2 =c2c2 =1
这个式子和勾股定理长得很像，对吧。实际上，我们带入 c=1c=1c=1 的特殊情况，根据两者的定义，就有 a=sinA,b=cosAa=\sin A,b=\cos Aa=sinA,b=cosA，于是得到了这个三角恒等式。
除此之外，我们利用 tanA\tan AtanA 以及 secA\sec AsecA，也可以得到一个恒等式：
tan2A****ec2A\tan^2A+1=\sec^2A tan2A****ec2A
原因很简单，带入 tanA=ab\tan A=\dfrac{a}{b}tanA=ba ，则左边就是 tan2A+1=a2b2+1=a2+b2b2=c2b2=sec2A\tan^2A+1=\dfrac{a^2}{b^2}+1=\dfrac{a^2+b^2}{b^2}=\dfrac{c^2}{b^2}=\sec^2Atan2A+1=b2a2 +1=b2a2+b2 =b2c2 =sec2A
同理适用于 cotA\cot AcotA 和 cscA\csc AcscA：
cot2A+1=csc2A\cot^2A+1=\csc^2A cot2A+1=csc2A
这个证明和上面很像，不难，留给屏幕前的你来证明吧。
3. 三角函数的定义域扩展
回顾一下，我们刚才所说的关于三角函数的内容，你会发现它的适用范围很局限：都只存在于欧几里得平面中的直角三角形中（加上这几个字是为了确保三角形内角和是 180°180\degree180°），然而有人会问：为什么我们在计算器中看到的正弦函数图像是一条波浪线啊？而且好像也没有标角度符号啊？别急，接下来我会带你探究一下背后的原因。
3.1. 角度与弧度
我们先来解决一个问题：我们平时所说的测度（如长度、面积、体积）在题目中好像都可以不带单位。比如长度为3个单位，随便是什么单位；面积是9个平方单位，随便试什么单位；体积是27个立方单位，随便是什么单位。然而从来没有看到过题目中说 ∠A=3\angle A=3∠A=3，不带单位 °\degree°（度）有什么办法能够将它的度数符号去掉呢？
我们可以从单位圆中找到灵感：
众所周知，人们探秘了圆的周长和直径之间的比值探秘了好久，但我们都知道它是一个无理数，叫做 π\piπ。因此，我们可以用 π\piπ 来计算圆的周长：
C=πd=2πrC=\pi d=2\pi r C=πd=2πr
那么，如果我们要求圆心角为 θ°\theta\degreeθ° 所对的弧长呢？θ°\theta\degreeθ° 占 360°360\degree360° 的 θ360\dfrac{\theta}{360}360θ 份（我们同时去掉一个度数符号不会发生改变），同理，它所对的弧长 LLL 也占圆周长 CCC 的 θ360\dfrac{\theta}{360}360θ 份，因此，我们有：
L=θ360⋅C=πrθ180L=\dfrac{\theta}{360}\cdot C=\dfrac{\pi r\theta}{180} L=360θ ⋅C=180πrθ
上图是一个单位圆，也就是半径为 111 的圆，因此，L=πθ180L=\dfrac{\pi\theta}{180}L=180πθ 。这个时候，我们成功地把度数符号去掉了。由于单位圆半径为 111，得到了角度 θ\thetaθ 就相当于得到了圆心角所对的弧长 LLL，因此二者等价，我们可以用 LLL 来表示 θ\thetaθ，这就是所谓的弧度制。
我们有了弧度制，就可以去掉角度符号，换成几倍的 π\piπ。比如，(degree)180°=(radian)π(degree)180\degree=(radian)\pi(degree)180°=(radian)π。
你也可以练习一下，把常见角度转换成弧度，知道可以脱口而出下面几个结论：
0°=0,30°=16π,45°=14π,60°=13π,90°=12π0\degree=0,30\degree=\dfrac{1}{6}\pi,45\degree=\dfrac{1}{4}\pi,60\degree=\dfrac{1}{3}\pi,90\degree=\dfrac{1}{2}\pi 0°=0,30°=61 π,45°=41 π,60°=31 π,90°=21 π
120°=23π,135°=34π,150°=56π,180°=π,270°=32π,360°=2π120\degree=\dfrac{2}{3}\pi,135\degree=\dfrac{3}{4}\pi,150\degree=\dfrac{5}{6}\pi,180\degree=\pi,270\degree=\dfrac{3}{2}\pi,360\degree=2\pi 120°=32 π,135°=43 π,150°=65 π,180°=π,270°=23 π,360°=2π
如果有需要，你也可以算算，验证一下下面几个结论：
15°=112π,22.5°=18π,67.5°=38π,75°=512π15\degree=\dfrac{1}{12}\pi,22.5\degree=\dfrac{1}{8}\pi,67.5\degree=\dfrac{3}{8}\pi,75\degree=\dfrac{5}{12}\pi 15°=121 π,22.5°=81 π,67.5°=83 π,75°=125 π
3.2. 扩展定义域
相信你已经了解了锐角三角比的定义了，也已经知道了勾股定理。锐角三角比那些根据 sinA\sin AsinA 和 cosA\cos AcosA 的那些定义在任意角的三角比中也完全使用。
我们在小学学过，对于一个角而言，有两种定义，一种是静态定义：
> 角是由有公共端点的两条射线组成的图形，这个公共端点称为角的顶点，两条射线分别称为角的边；这种定义强调图形的静止状态，不涉及任何运动变化
还有一种动态定义如下：
> 角是一条射线绕其端点旋转而形成的图形，旋转前的射线称为始边，旋转后的射线称为终边；旋转的幅度决定了角的度量
当然，我们今天为了研究任意角的三角比（或者说弧度为任意实数的角的三角比），可以参考第二种动态定义，它包含了 [0°,360°][0\degree,360\degree][0°,360°] 的任意角的定义（对于 361°361\degree361°，可以看成是转了一圈又多转了 1°1\degree1°）。
一个好且有效的办法是借助平面直角坐标系，去理解三角函数。如下图所示，
（使用Python进行的绘图）
以第二象限角为例，我们按照动态定义，在半径为 rrr 的圆中做出一个角 θ∈(12π,π)\theta\in(\dfrac{1}{2}\pi,\pi)θ∈(21 π,π)，如图所示，绿色线段为始边，红色线段为终边。我们令红色线段与 xxx 轴的 夹角 为 ϕ\phiϕ，过终边与圆的交点 PPP 往 xxx 轴作垂线段，截距 为 yyy，xxx 轴上的 截距 为 xxx（详细见上图）。
由于 rrr 是半径，因此 rrr 恒为正数；然而，xxx 和 yyy 二者 受到象限的影响，从而导致有时为正，有时为负，当在一二象限时 yyy 为正，当在一四象限时 xxx 为正。这也导致在不同象限中，sin\sinsin 和 cos\coscos 函数结果的正负性会有所不同。如图所示的是第二象限的情况，此时，xxx 是在 xxx 轴的负方向上，故为负，而 yyy 在 xxx 轴的上方，故为正。
为什么要构造直角三角形？这是不是很熟悉？刚刚锐角三角比就是在欧式平面内的直角三角形中定义的，而这里正好也有一个欧式平面内的直角三角形，因此，套用刚才的定义：
sinθ=yrcosθ=xr\sin\theta=\cfrac{y}{r}\\\cos\theta=\cfrac{x}{r} sinθ=ry cosθ=rx
因此，我们也有：
tanθ=sinθcosθ=yx\tan\theta=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{y}{x} tanθ=cosθsinθ =xy
这三条结论对于任意角都适用。
根据终边所在的象限不同，三者的正负性也有所不同。简单来说可以用一句话概括：ASTCASTCASTC 原则。
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 对应字母 AAA SSS TTT CCC 字母含义解释 allallall，即全部为正 sin\sinsin，只有正弦为正 tan\tantan，只有正切为正 cos\coscos，只有余弦为正
不明白的话，画个图你就懂了。
现在我们来看三个例子，验证一下所谓的 ASTCASTCASTC 原则。
首先，让我们计算 θ=34π\theta=\dfrac{3}{4}\piθ=43 π 的 sin,cos,tan\sin,\cos,\tansin,cos,tan 的值
还是上面这张图，可知：
ϕ=π−θ=14π\phi=\pi-\theta=\dfrac{1}{4}\pi ϕ=π−θ=41 π
因此，就转换成了对应 ϕ\phiϕ 的三角比。如图，过点 PPP 作 PH⊥OHPH\perp OHPH⊥OH 于点 HHH，于是我们有了等腰 Rt△PHORt\triangle_{PHO}Rt△PHO ，其中 ∠PHO=12π\angle_{PHO}=\dfrac{1}{2}\pi∠PHO =21 π。注意到这里我们的 xxx 值为负，因此我们有了：
r=−2x=2y, x=−yr=-\sqrt{2}x=\sqrt{2}y,\,\,x=-y r=−2 x=2 y,x=−y
于是乎，我们可以带入求出我们的三个目标值：
sinθ=yr=y2y=22>0 cosθ=xr=x−2x=−22<0 tanθ=xy=x−x=−1<0\sin\theta=\cfrac{y}{r}=\cfrac{y}{\sqrt{2}y}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}>0\\\,\\ \cos\theta=\cfrac{x}{r}=\cfrac{x}{-\sqrt{2}x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}<0\\\,\\ \tan\theta=\cfrac{x}{y}=\cfrac{x}{-x}=-1<0sinθ=ry =2 yy =22 >0cosθ=rx =−2 xx =−22 <0tanθ=yx =−xx
=−1<0
所以第二象限角满足 ASTCASTCASTC 原则的 SSS。而且不难发现，在第二象限中，有下面的规律：
sinθ=sinϕ=sin(π−θ) cosθ=−cosϕ=−cos(π−θ) tanθ=−tanϕ=−tan(π−θ)\sin\theta=\sin\phi=\sin(\pi-\theta)\\\,\\ \cos\theta=-\cos\phi=-\cos(\pi-\theta)\\\,\\ \tan\theta=-\tan\phi=-\tan(\pi-\theta)sinθ=sinϕ=sin(π−θ)cosθ=−cosϕ=−cos(π−θ)tanθ=−tanϕ=−tan(π−θ)
这些实际上就是所谓的诱导公式的一部分，后面会提及。
接下来，算一下当 θ=43π\theta=\dfrac{4}{3}\piθ=34 π 时的 sin,cos,tan\sin,\cos,\tansin,cos,tan 值。你可以自己根据上面的文字自行绘图计算，再看看下面的解释。
（依旧是Python绘图）
我们刚刚提到过，ϕ\phiϕ 是终边与 xxx 轴的 夹角，因此它始终是个锐角！当我们的 θ\thetaθ 是第三象限角时（如上图）它会和一部分的 θ\thetaθ 重合，如上。因此，当 θ=43π\theta=\dfrac{4}{3}\piθ=34 π 时null
